Voir la source de Variété (géométrie)

{{Voir homonymes|Variété}}
{{Sources à lier|date=21 mars 2013}}

[[Image:Frenet trihedron.svg|vignette|droite|Image en deux dimensions [[Représentation graphique d'une fonction mathématique|représentant]] une courbe dans un espace de trois dimensions. Cette courbe est une variété de dimension 1, aussi dite 1-variété.]]
[[Image:Whitehead manifold.png|vignette|droite|Image en deux dimensions représentant une [[variété de Whitehead]], variété de dimension trois.]]

En [[mathématiques]], une '''variété''' est un [[espace topologique]] qui ressemble localement à l'[[espace euclidien]] près de chaque point.

D'une manière intuitive, on dira par exemple qu'un cercle est une variété de dimension 1 car le voisinage de chacun de ses points "ressemble", si on "zoome" suffisamment, à un segment de droite. Et une sphère est une variété de dimension 2 car le voisinage de chacun de ses points "ressemble" à un "morceau" de plan. Au contraire, une croix n'est pas une variété car le voisinage de son "croisement" n'est pas assimilable à un segment de droite<ref>{{Lien web|titre=Variétés topologiques|url=https://www.cpt.univ-mrs.fr/~coque/book/sourcese1.html|site=Centre de Physique Théorique|consulté le=29/12/2024}}.</ref>.

Plus rigoureusement, une variété de [[dimension topologique|dimension]] n est un espace topologique possédant la propriété que chaque point possède un voisinage [[Homéomorphisme|homéomorphe]] à un sous-ensemble ouvert de l'espace euclidien n, c'est-à-dire dans lequel tout point appartient à une région qui s'apparente à un tel espace euclidien<ref>{{MacTutor|class=Glossary|id=manifold|title=Manifold}}</ref>.

[[Image:Möbius strip.jpg|vignette|droite|Réalisation du [[ruban de Möbius]] à partir du collage d'une bande de papier. Le « bord » n'est que d'un seul tenant.]]
On peut approcher les variétés de deux façons :
* En les construisant par [[Recollement (topologie)|recollement]] d'autres espaces simples, comme les enfants s'amusent à construire avec du papier des [[tétraèdre]]s, des [[cube]]s et autres [[polyèdre]]s en dessinant la figure d'un [[Patron (géométrie)|patron]] sur une feuille, en découpant convenablement les bords, en pliant et en recollant ou comme on construit un vêtement en cousant ensemble des morceaux de tissus. Par exemple, les mathématiciens obtiennent un [[cercle]] en repliant un segment sur lui-même, un [[cylindre]] ou un [[cône (géométrie)|cône]] en repliant une bande plane sur elle-même. Un autre exemple classique est le [[ruban de Möbius]] illustré ci-contre (en toute rigueur, c'est un exemple de [[#Variété à bord|variété à bord]]). Il est également possible de rajouter des [[Anse (mathématiques)|anses]] à une [[sphère]] ;
* En leur appliquant une trame dont la [[Métrique (mathématiques)|métrique]] dépend de la position. Par exemple, pour les [[coordonnées sphériques]] terrestres ([[altitude]], [[latitude]] et [[longitude]]), un changement de longitude correspond à une distance qui dépend de la latitude (un degré de longitude correspond à une distance plus longue à l'[[Équateur (ligne équinoxiale)|équateur]] qu'ailleurs). On parlera dans ce cas de [[variété riemannienne]].

Il est difficile de dire qui le premier a étudié les courbes ou les surfaces en tant qu'objets mathématiques abstraits. [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] disposait de la notion de surface abstraite, mais la notion générale de variété en dimension quelconque est due à [[Bernhard Riemann]]. Les variétés se sont imposées comme le cadre naturel de nombreux problèmes de mathématiques et de physique, permettant de travailler dans un cadre plus vaste que celui des [[espace vectoriel|espaces vectoriels]]. On donne parfois à ces derniers le nom d’''espaces plats'' ou d’''espaces euclidiens'' pour les distinguer des ''espaces courbes'' que sont les variétés.

La [[topologie algébrique]] cherche à classer les variétés (mais aussi des objets plus généraux) en en déterminant des [[invariant]]s, c'est-à-dire des objets mathématiques — qui peuvent être des [[Nombre réel|nombres réels]] — associés à chaque variété et qui en caractérisent la topologie. Certaines variétés sont munies de structures plus fortes : il est du ressort de la [[topologie différentielle]], puis de la [[géométrie différentielle]], de la [[géométrie riemannienne]] et de la [[géométrie symplectique]] de les étudier et de les classifier. Ces domaines sont encore aujourd'hui l'objet de nombreux travaux de recherches.

Les variétés constituent à la fois un cadre et un sujet d'étude communs pour les chercheurs en mathématiques et en physique. Elles se sont avérées les bons outils de travail pour formaliser la [[relativité générale]] d'Einstein et ont fortement servi dans la physique post-newtonienne, dont la [[théorie des cordes]], la théorie des membranes... Les variétés sont devenues tout aussi utiles (voire indispensables) dans des travaux récents de mécanique classique. Les variétés sont à l'origine d'une hypothèse sérieuse pour expliquer les étonnantes capacités de généralisation des algorithmes d'apprentissage profond.

== Introduction ==

Les difficultés qui existent pour représenter sur un plan une surface sphérique comme la [[Terre]] sont un bon moyen d'appréhender la géométrie différentielle. C'est aussi la raison pour laquelle le vocabulaire de cette branche des mathématiques emprunte beaucoup à celui de la [[cartographie]].

=== Les cartes ===

On se déplace sur la sphère [[terre]]stre en utilisant des [[carte géographique|cartes géographiques]] planes, rassemblées en un [[Atlas (géographie)|atlas]]. Au bord d'une carte figure l'information nécessaire pour y « recoller mentalement » la carte suivante. Pour opérer ce recollement, une certaine redondance dans l'information est nécessaire : ainsi la carte de l'[[Europe]] et celle de l'[[Asie]] peuvent toutes deux contenir [[Moscou]]. De manière similaire, il est possible de décrire une variété en utilisant une collection de '''cartes''', réunies en un '''atlas''' mathématique, indiquant comment passer d'une carte à l'autre. Le [[globe planétaire|globe terrestre]] fournit un exemple typique de variété, puisqu'il peut être représenté par une collection de cartes géographiques.

[[Image:Triangles (spherical geometry).jpg|vignette|gauche|La sphère est une [[variété riemannienne]]. On voit ici un triangle « infiniment petit » et un « gros » triangle.]]

Une carte est une portion de la variété analogue à une portion d'[[espace vectoriel]] ; les changements de cartes indiquent comment ces portions de variétés se raccordent entre elles. Ainsi, pour décrire un [[cercle]] il est possible de prendre comme cartes deux arcs qui se chevauchent ; le changement de cartes constitue une information sur le recollement au niveau de la zone de chevauchement.

Il n'est généralement pas possible de décrire une variété à l'aide d'une seule carte, parce que la structure globale de la variété est différente de la structure simple de l'espace modèle. Par exemple, aucune carte « plate » ne peut décrire convenablement la Terre entière. Les variétés apparaissent comme des espaces topologiques et leurs topologies sont uniquement déterminées par la donnée de leurs atlas respectifs.

Suivant la nature des applications de changement de [[carte locale|cartes]], la variété possède une structure plus ou moins forte : [[variété topologique]], [[variété différentielle]], variété [[Platitude locale|localement plate]] par exemple. Pour une variété topologique, la donnée d'un atlas équivaut simplement à la donnée d'une [[topologie]] dont les ouverts suffisamment petits s'identifient à l'espace plat. Pour les structures plus fines citées, l'introduction de cartes est indispensable pour les définir.

=== La dimension et la topologie ===

[[Image:Conics and cubic.png|droite|vignette|Exemples de courbes : <span style="color:#bc1e47">■</span>&nbsp;cercles, <span style="color:#fec200">■</span>&nbsp;parabole, <span style="color:#0081cd">■</span>&nbsp;hyperbole, <span style="color:#009246">■</span>&nbsp;cubique.]]

La première notion attachée à une variété est sa [[dimension]]. Elle désigne le nombre de paramètres indépendants qu'il faut se fixer pour positionner ''localement'' un point sur la variété.
* Les [[courbe]]s sont des variétés de dimension un puisque l'[[abscisse curviligne]] par exemple suffit à décrire la position.
* Sur une [[surface (géométrie)|surface]], il faut deux coordonnées : ainsi sur une sphère il faudra préciser latitude et longitude, comme c'est le cas pour indiquer l'emplacement d'une ville sur le globe terrestre.
* Il existe de nombreuses variétés de [[dimension]] supérieure à deux, qu'il est difficile de représenter graphiquement. Elles ne peuvent en effet se représenter dans notre espace environnant, qui est de dimension trois (largeur, longueur, hauteur).

Toutes les variétés de même dimension ''n'' — ou ''n''-variétés — ont la même [[topologie]] locale. Par définition, une petite portion de ces variétés ressemble toujours à un [[espace vectoriel]] réel de dimension ''n''. Ainsi une petite portion de courbe est l'analogue courbe d'une droite, une petite portion de surface l'analogue courbe d'un plan, et ainsi de suite.

En revanche, les variétés se distinguent par leur aspect global. Par exemple sur la figure ci-contre, la variété rouge est formée de deux morceaux bornés (deux cercles), et il est visiblement impossible de déformer continûment celle-ci pour obtenir une des trois autres courbes.

Autre exemple, une sphère et un [[tore]] ne se ressemblent pas topologiquement. Tout cercle tracé sur une sphère la sépare en au moins deux morceaux disjoints ; cependant, il existe de nombreux cercles tracés sur un tore qui ne le séparent pas en morceaux disjoints. Plus généralement, la topologie peut se compliquer par la présence de « [[trou]]s », d'« [[Anse (mathématiques)|anses]] », etc.
{{clr}}

=== Variété abstraite et sous-variété ===

[[Image:BouteilleKlein3d.PNG|vignette|droite|Représentations imparfaites de la [[bouteille de Klein]] dans un espace à trois dimensions : elles présentent une auto-intersection dont il faut s'abstraire.]]

De nombreux sous-ensembles particuliers du plan et de l'espace de [[Espaces euclidiens|dimension 3]] peuvent être naturellement munis d'une structure de variétés : le cercle, le [[cylindre]], la [[sphère]], le [[ruban de Möbius]], etc. ; on les appelle '''sous-variétés''' ou variétés [[plongement|plongées]]. Il existe en outre une notion de variété abstraite, qui sont construites sans qu'on les considère comme une sous-variété. L'exemple le plus simple est l'[[espace projectif]] de dimension ''n'' : c'est simplement l'ensemble de toutes les droites passant par l'origine dans un espace vectoriel de dimension ''n ''+ 1. Un autre exemple de variété abstraite est la [[bouteille de Klein]], représentée ci-contre de façon imparfaite. Pour mieux l'appréhender visuellement, il faut imaginer un artisan verrier prenant une bouteille ordinaire, perçant son fond, allongeant le goulot, le courbant et le faisant traverser le flanc de la bouteille pour le raccorder au fond (chose importante, le goulot passe à travers le flanc « comme par magie », sans y faire de trou). La bouteille de Klein peut être décrite par un système de cartes et de coordonnées représenté ici par un maillage de [[méridien]]s et de [[parallèle (géographie)|parallèles]], elle est donc de dimension 2.

Le [[théorème de plongement de Whitney]] montre que toute variété abstraite de dimension ''n'' peut être réalisée comme sous-variété d'un espace de dimension suffisamment grande, à savoir de dimension ''2n''. Ainsi la bouteille de Klein (de dimension 2) ne peut être plongée dans l'espace à trois dimensions, mais forme une sous-variété de l'espace à quatre dimensions.

L'introduction des variétés abstraites peut paraître superfétatoire au premier abord. Cependant, il y a des avantages à s'affranchir de la considération de l'« espace ambiant », celui dans lequel serait plongée la variété. En particulier, de nombreux ''modes de construction'' de nouvelles variétés à partir de variétés déjà définies, à l'exemple des quotients et des recollements topologiques (voir plus loin), ne font intervenir que les variétés elles-mêmes, et (surtout) pas l'espace qui pourrait éventuellement les entourer. Quand bien même en théorie il est possible de les réaliser comme sous-variétés d'un espace vectoriel, il ne serait pas judicieux de le faire en pratique, et cela ne présenterait aucun intérêt.

== Histoire ==

On se contente ici d'une esquisse du mouvement historique qui a conduit à l'émergence du concept général de variété ; pour une histoire plus détaillée de l'évolution et de l'application de ce concept dans diverses branches des mathématiques (ex : [[géométrie riemannienne]], [[géométrie symplectique]]), on renvoie aux articles dédiés.

=== Premiers résultats de géométrie intrinsèque ===

Il est difficile de dater quand précisément les questions de géométrie intrinsèque intéressèrent particulièrement les géomètres. Les Grecs posaient des problèmes invoquant les propriétés métriques d'un ensemble de points définis et positionnés ''dans le plan'' et ''dans l'espace''. L'intérêt était explicitement porté sur le point de vue extrinsèque.

On attribue traditionnellement à [[Leonhard Euler|Euler]] la découverte en 1752 d'une propriété des [[polyèdre]]s convexes<ref>La paternité pourrait en être cependant attribuée à Descartes, voir l'article [[théorème de Descartes-Euler]].</ref>. En notant respectivement ''S'', ''A'' et ''F'' les nombres de sommets, arêtes et faces, il démontre l'identité ''S – A + F ''= 2, identité connue aujourd'hui sous le nom de [[théorème de Descartes-Euler|relation d'Euler]]. Le résultat est d'autant plus surprenant qu'il ne fait intervenir ni les [[longueur]]s, ni les [[Aire (géométrie)|aires]]. Il est en fait encore valable pour les nombres de sommets, faces et arêtes d'une [[triangulation]] de la sphère. C'est le premier exemple de calcul de la [[caractéristique d'Euler]] d'une surface.

En 1813, [[Simon Antoine Jean L'Huilier|L'Huilier]] remarque que la formule d'Euler est modifiée pour un polyèdre non-convexe, par exemple ayant la forme d'un solide avec des trous (comme le [[tore]], qui a un trou). Elle devient {{nobr|1=''S – A + F ''= 2 – 2''g'',}} en notant ''g'' le nombre de trous<ref>{{article|auteur=[[Simon Antoine Jean L'Huilier|M. Lhuilier]]|titre=Mémoire sur la polyédrométrie […]|journal=[[Annales de Gergonne]]|volume=3|année=1812-1813|pages=169–189|url=http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=AMPA_1812-1813__3__169_0|archiveurl=https://web.archive.org/web/20100706224804/http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=AMPA_1812-1813__3__169_0|archivedate=6 juillet 2010}}.</ref>. C'est là le premier calcul d'un [[invariant]] topologique permettant de classer les [[surface (géométrie)|surfaces]] de l'espace. Cependant, le point de vue reste extrinsèque car les trous sont vus de l'extérieur. Comment une fourmi marchant sur une chambre à air peut-elle se représenter le trou ?

L'un des plus grands mathématiciens de son temps, [[Carl Friedrich Gauss]], en s'intéressant à la géométrie des surfaces, établit un « résultat remarquable » (le [[theorema egregium]]) : {{début citation}}la [[courbure de Gauss]] d'une surface de l'espace ne dépend pas de la façon dont celle-ci est plongée dans l'espace ambiant<ref>[[Carl Friedrich Gauss|C.F. Gauss]], ''Disquisitiones generales circa superficies curvas'', 1827.</ref>.{{fin citation}}

La [[formule de Gauss-Bonnet]], pressentie par Gauss et démontrée par [[Pierre-Ossian Bonnet]] en 1848, donnera l'expression de la caractéristique d'Euler en termes de courbure, témoignant de l'imbrication des considérations géométriques et topologiques.

=== De nouveaux espaces aux propriétés étranges ===

La [[géométrie non euclidienne]] naît de l'impossibilité de démontrer le [[Axiome des parallèles|cinquième postulat d'Euclide]]. On peut en trouver la première trace dans une tentative de démonstration par l'absurde de [[Giovanni Gerolamo Saccheri|Saccheri]] en 1733<ref>{{la}} [[Giovanni Gerolamo Saccheri|Saccheri]], ''{{Lang|la|Euclides ab omni naevo vindicatus}},'' 1733.</ref>. [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] serait le premier à avoir compris la possibilité qu'il existe des géométries alternatives à celles d'[[Euclide]]<ref>{{MacTutor|id=Gauss|title=Gauss biography}}.</ref>. De telles géométries seront effectivement développées par [[Nikolaï Lobatchevski|Lobatchevski]] et [[János Bolyai|Bolyai]].

Le [[ruban de Möbius]] est introduit presque simultanément en 1858 par deux mathématiciens allemands [[August Ferdinand Möbius]] et [[Johann Benedict Listing]]. Il s'agit d'une surface de l'espace, facile à réaliser avec une bande de papier, et qui n'a qu'une seule face, une seule arête. C'est le premier exemple de surface [[orientation (mathématiques)|non orientable]].

=== Les variétés de Riemann ===

[[Image:Bernhard riemann.jpg|vignette|gauche|Bernhard Riemann.]]

[[Bernhard Riemann]] fut le premier à étendre de façon systématique la notion de surface à des objets de dimension plus grande, qu'il baptisa ''Mannigfaltigkeit''<ref>{{de}} [[Bernhard Riemann|B. Riemann]], ''{{Lang|de|Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse}}'', thèse de doctorat de 1851.</ref>{{,}}<ref>{{de}} B. Riemann, ''{{Lang|de|Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen}}'', soutenance d'habilitation de 1854.</ref>. Cette terminologie a d'ailleurs donné le terme anglais ''manyfold'' ou ''manifold''. Il en donne une description intuitive, une variété de dimension ''n'' étant un empilement continu de variétés de dimension ''n-1''. Notons que cette description intuitive n'est en fait valable que localement, c'est-à-dire au voisinage de chaque point de la variété, dans l'acception moderne de variété. Riemann utilise ce concept pour décrire l'ensemble des valeurs d'une variable soumise à certaines contraintes, comme l'ensemble des paramètres décrivant la position d'une figure dans l'espace.

Les variétés connaissent rapidement beaucoup d'applications, pour l'étude du [[prolongement analytique]] et des [[variété abélienne|variétés abéliennes]] en [[analyse complexe]], pour l'étude des flots différentiables avec l'application de premier retour de Poincaré, pour la définition des [[mécanique hamiltonienne|mécaniques hamiltonienne]] et [[mécanique lagrangienne|lagrangienne]] en physique. En 1904, en étudiant les variétés de dimension trois, [[Henri Poincaré]] soulève un des problèmes les plus célèbres de la théorie des variétés, connu sous le nom de [[conjecture de Poincaré]], et dont la preuve par [[Grigori Perelman]] a été validée en {{date-|juin 2006}}.

La notion de variété, bien qu'ayant trouvé une popularité certaine, restait floue. [[Hermann Weyl]] donna en 1912<ref>{{en}} [[Hermann Weyl|H. Weyl]], ''{{Lang|en|The concept of a Riemann surface}}'', Addison Wesley, éd. de 1955.</ref> une définition intrinsèque des [[variété différentielle|variétés différentielles]]. Les publications des années 1930, notamment à l'occasion de la preuve du [[théorème de plongement de Whitney|théorème de plongement]] par [[Hassler Whitney]]<ref>{{en}} [[Hassler Whitney|H. Whitney]], ''{{Lang|en|Differentiable Manifolds}}'', [[Annals of Mathematics]] '''37''', 1936, {{p.|645-680}}.</ref>, établirent les résultats fondateurs de la théorie et donnèrent une popularité au nouvel objet<ref>Voir par exemple {{Hirsch}}, {{p.|2}}.</ref>.

== Applications des variétés ==

Les applications des variétés en mathématiques sont nombreuses. Contentons-nous de quelques exemples. Pour commencer, l'analyse réelle classique et l'analyse fonctionnelle ont vu leur terrain d'investigation s'étendre logiquement des espaces vectoriels topologiques aux variétés. De même, les [[processus stochastique]]s à l'exemple du [[mouvement brownien]] s'étendent des espaces réels de dimension finie aux variétés. Aussi les variétés apparaissent-elles de manière épisodique en [[statistique]]s. Plus encore, des ensembles intéressants ont à la fois une [[structure algébrique]] et une structure de variété ''compatibles''. Ainsi l'ensemble des [[Rotation dans l'espace|rotations]] dans un espace à 3 dimensions forme une 3-variété et un groupe. La théorie des [[groupe de Lie|groupes de Lie]] étudie ces variétés à propriétés algébriques. La théorie des [[espace homogène|espaces homogènes]] étudie leurs actions transitives.

=== L'espace des configurations d'un système physique ===

En physique, l'étude des systèmes mécaniques fait entrer en ligne de compte l'ensemble des positions que le système est ''a priori'' susceptible d'adopter, appelé espace des configurations. Celui-ci possède souvent une structure de variété ; cependant, il peut ne pas avoir la structure plus rigide de [[variété différentielle]] : des [[singularité (mathématiques)|singularités]] peuvent apparaître. La dimension de cette variété s'interprète comme le nombre de paramètres physiques indépendants qui permettent de décrire l'état du système.

Ainsi dans le cas du [[pendule double]] dans le plan, l'état du système est complètement décrit par la donnée de deux angles. On pourrait donc être tenté de dire que l'espace des configurations est {{nobr|[0, 2π] × [0, 2π].}} Mais en réalité, l'état décrit par le couple d'angles (0, 0) est le même que celui décrit par (2π, 2π). Donc il s'agit d'identifier les côtés opposés du carré [0, 2π] × [0, 2π] deux à deux. On obtient ainsi un [[tore]]. De manière équivalente, un angle est paramétré de manière bijective par un point du cercle '''S'''{{1}}, donc un couple d'angles est paramétré de manière bijective par un point de l'espace '''S'''{{1}} × '''S'''{{1}}, qui définit aussi le tore.
Le premier angle permet de désigner un point sur le cercle rouge, le second un point sur le cercle rose. Le point du tore désigné par les deux angles s'obtient à l'intersection de deux cercles de coordonnées (en gris).

{| border="0" align="center"
|+ Le [[pendule double]] et son espace de configuration : le [[tore]]
|[[Image:Pendule double.gif|vignette|centré|La position du pendule double est décrite par deux paramètres angulaires.]]
|[[Image:Torus cycles.png|vignette|upright=1.3|centré|La position d'un point sur le tore également.]]
|}

Les lois de la physique s'interprètent alors comme des [[équation différentielle|équations différentielles]] écrites sur la variété, et peuvent être traitées dans le cadre de la [[mécanique lagrangienne]]. Une reformulation, qui se présente comme un changement de coordonnées locales, débouche sur la [[mécanique hamiltonienne]]. Celle-ci utilise comme soubassement mathématique les [[variété symplectique|variétés symplectiques]], modélisant l'[[espace des phases]].

L'espace des phases ne se résume pas à l'espace des configurations. La raison en est que la dynamique hamiltonienne fait intervenir des dérivées secondes. De même que dans l'étude des [[équation différentielle|équations différentielles ordinaires d'ordre 2]], on ajoute la vitesse à la position pour obtenir des équations ordinaires d'ordre 1. L'opération cependant est plus délicate ici et nécessite une bonne maîtrise des structures impliquées : elle fait appel à la théorie des [[fibré vectoriel|fibrés vectoriels]].

=== Variétés et physique théorique ===

La [[physique théorique]] contemporaine utilise abondamment les variétés différentielles ; mentionnons par exemple :

* L'[[espace temps]] de la [[relativité générale]], qui est un [[espace-temps|continuum]] courbé à 4 dimensions (espace+temps), modélisé par une variété à quatre dimensions munie de ce qu'on appelle une [[tenseur métrique|pseudo-métrique]] lorentzienne de signature (–, +, +, +).
* Les [[théorie de jauge|théories de champs de jauge]] dans l'espace-temps, modélisé comme précédemment par une variété lorentzienne à quatre dimensions (pas nécessairement courbe), utilisent pour leurs parts la notion enrichie d'[[espace fibré]] différentiel. Il s'agit encore d'une variété différentielle, mais de dimension ''plus grande'' que celle de l'espace-temps, qui joue ici le rôle d'''espace de base'' du fibré. On considère plus précisément un [[fibré principal]], dont la ''fibre'' s'identifie au groupe de structure qui est un [[groupe de Lie]] précisant la symétrie (« invariance de jauge ») de la théorie. Un champ de jauge ''A'' y apparaît comme une [[connexion d'Ehresmann]], et la forme de Yang-Mills associée ''F ''= d''A'' s'interprète comme la [[courbure]] associée à cette connexion. (Ces outils se définissent plus généralement dans la théorie des fibrés principaux.) Ont ainsi été démontrées pertinentes pour le monde réel :
** La théorie de jauge classique ''U''(1), qui s'identifie à la théorie [[équations de Maxwell|électromagnétique]] de [[James Clerk Maxwell|Maxwell]]. C'est une théorie ''abélienne''. Cette théorie admet des extensions non abéliennes intéressantes appelées ''[[Théorie de Yang-Mills|théories de Yang-Mills]]'', basées sur les groupes non abéliens [[Groupe spécial unitaire|''SU''(''n'')]].
** Après [[théorie quantique des champs|quantification]], deux des théories de Yang-Mills constituent l'actuel « [[modèle standard (physique)|modèle standard]] » de la [[physique des particules]] :
*** Le [[force électrofaible|modèle électro-faible]] de [[Sheldon Glashow|Glashow]], [[Abdus Salam|Salam]] et [[Steven Weinberg (physicien)|Weinberg]] est basé sur le groupe ''U''(1) × ''SU''(2) et décrit de façon unifiée l'électromagnétisme et l'interaction nucléaire faible.
*** La [[chromodynamique quantique]] est basée sur le groupe ''SU''(3) et décrit l'interaction nucléaire forte entre les [[quark]]s et les [[gluon]]s.
** La [[théorie du tout exceptionnellement simple]], soutenue par [[Garrett Lisi]], et basée sur [[E8 (mathématiques)|E8]], le plus grand [[groupe de Lie]] simple exceptionnel. Cette théorie n'est pas à ce jour validée par l'expérience, mais constitue actuellement la seule{{refnec}} tentative (invalidée rapidement par plusieurs publications, comme précisé sur la page de [[Garrett Lisi]]) de poursuite du développement de la physique théorique à partir de la seule utilisation d'une théorie de jauge. On peut noter que la [[correspondance AdS/CFT]] est une tentative des plus sérieuses de théorie du tout dont la définition non-perturbative repose sur une théorie de jauge.

== Un exemple détaillé : le cercle ==

[[Image:Circle with overlapping manifold charts.png|droite|vignette|Les quatre cartes du premier atlas.]]

Après la droite réelle, l'exemple le plus simple de variété est le [[cercle]]. Il existe essentiellement deux manières de l'introduire : on pense ici à un cercle tracé dans le plan euclidien ℝ{{2}}, dont les [[coordonnée]]s usuelles sont notées ''x'' et ''y''. Par une [[Similitude (géométrie)|similitude]], on se ramène à un cercle de centre (0, 0) et de rayon 1. Un tel cercle est implicitement défini par l'équation ''x''{{2}} + ''y''{{2}} = 1.

=== Un premier atlas ===

Localement, le cercle ressemble à une ligne, qui est à une dimension. En d'autres termes, une seule coordonnée suffit pour décrire un petit arc de cercle. Considérons par exemple la partie supérieure du cercle, pour laquelle la coordonnée ''y'' est positive (partie jaune sur la Figure 1). N'importe quel point de cette partie peut être décrit par la coordonnée ''x''. Il y a donc un [[homéomorphisme]] χ<sub>haut</sub>, qui relie la partie jaune du cercle à l'[[Intervalle (mathématiques)|intervalle ouvert]] ]−1, 1[ en représentant chaque point du cercle par sa première coordonnée :
<center><math> \chi_{\mathrm{haut}}(x,y) = x.</math> </center>

Une telle fonction est appelée une ''carte''. De manière similaire, il existe des cartes pour les parties inférieure (rouge), gauche (bleue) et droite (verte) du cercle. Ensemble, elles recouvrent la totalité du cercle et on dit que les quatre cartes forment un ''atlas'' de ce cercle.

Les deux cartes supérieure et gauche se recouvrent. Leur intersection est située dans le quart de cercle où les coordonnées ''x'' et ''y'' sont respectivement négative et positive. La carte χ<sub>haut</sub> réalise une bijection qui à (''x'', ''y'') associe ''x'', partant de la zone de recouvrement vers l'intervalle ]–1, 0[.
La carte χ<sub>gauche</sub> par laquelle (''x'', ''y'') donne ''y'' associe à cette même zone de recouvrement l'intervalle ]0, 1[. Ainsi, il est possible de créer une fonction ''T'' de l'intervalle ]–1, 0[ vers ]0, 1[ :

<center><math> T_{\mathrm{haut}\rightarrow\mathrm{gauche}}(x) = \chi_{\mathrm{gauche}}\left(\chi_{\mathrm{haut}}^{-1}(x)\right) = \chi_{\mathrm{gauche}}\left(x, \sqrt{1-x^2}\right) = \sqrt{1-x^2}.</math></center>

Une telle fonction est appelée une ''application de changement de carte'' ou ''de transition''. Elle permet de passer du système de coordonnées ''x'' choisi pour la première carte au système de coordonnées ''y'' choisi pour la seconde.

=== Un autre atlas ===

[[Image:Circle manifold chart from slope.png|droite|vignette|L'application pente forme une carte décrivant tous les points du cercle sauf un.]]

Les cartes supérieure, inférieure, gauche et droite montrent que le cercle est une variété, mais ne constituent pas le seul atlas envisageable. Les cartes n'ont pas besoin d'être des projections géométriques, et le nombre de cartes est presque arbitraire.

Voici un autre exemple de description du cercle. Prenons pour point de base le point de coordonnées (-1, 0) et traçons les différentes droites issues de ce point ; la droite de pente ''s'' recoupe le cercle en un point unique. La correspondance entre la pente de la droite et les coordonnées du point d'intersection est dans un sens :
<center><math>\chi_{\mathrm{moins}}(x,y) = s = {y\over{1+x}}</math></center>
et dans l'autre sens :
<center><math>x = {{1-s^2}\over{1+s^2}},\qquad y = {{2s}\over{1+s^2}}.</math></center>
Cette première carte décrit tous les points du cercle hors le point de base.

Pour fabriquer la deuxième carte on effectue une symétrie en prenant comme point de base (+1, 0) et comme pente ''-t'' avec :
<center><math>\chi_{\mathrm{plus}}(x,y) = t = {y\over{1-x}}.</math></center>

Ces deux cartes fournissent un second atlas du cercle, avec pour application de changement de carte
<center><math>t = {1\over s}=\varphi(s).</math></center>

Noter que chaque carte omet un point unique, soit (–1,0) pour ''s'' ou (+1,0) pour ''t'', donc aucune des cartes seule ne peut décrire complètement le cercle.

=== Bilan ===

On vérifierait que les deux atlas présentés sont compatibles, c'est-à-dire qu'en regroupant les quatre cartes du premier et les deux cartes du second, on obtient un nouvel atlas, encore plus redondant. Chacun des deux atlas, ainsi que l'atlas global, définissent donc la même notion de repérage par carte et coordonnées locales, c'est-à-dire la même structure de variété. On montrerait encore, à l'aide du [[théorème des fonctions implicites]] que la donnée de l'équation <math>x^2+y^2=1</math> permet aussi de créer des systèmes de cartes locales adaptées.

On voit donc à travers ces exemples la flexibilité amenée par l'utilisation de cartes : on dispose d'un choix infini d'atlas compatibles sur le cercle, qu'il faut prendre adaptés à la géométrie du problème étudié. Cependant, à l'aide d'arguments topologiques on peut montrer qu'une carte seule ne peut jamais couvrir l'ensemble du cercle.

=== En dimension supérieure ===

[[Image:Variété.svg|gauche|vignette|upright=0.8|Cette carte associe la partie rouge de la sphère à un disque.]]

[[Image:Projection azimutale stereographique.jpg|droite|vignette|Carte tracée par [[projection stéréographique]], représentant toute la sphère sauf son pôle nord.]]
La méthode envisagée pour le premier atlas du cercle peut aisément être généralisée pour des sphères de dimension supérieure. La [[hypersphère|''n''-sphère]] '''S'''<sup>''n''</sup> est une généralisation de l'idée de cercle (1-sphère) et de sphère (2-sphère) à des dimensions supérieures. Une ''n''-sphère '''S'''<sup>''n''</sup> peut être construite en considérant 2(''n ''+ 1) cartes correspondant aux deux projections sur chacun des ''n ''+ 1 [[hyperplan]]s de coordonnées, et les applications de changement de cartes. Une carte pour un tel atlas est illustrée ci-contre dans le cas de la 2-sphère.

Dans le cas de la 2-sphère, c'est-à-dire du globe usuel, le deuxième atlas envisagé pour le cercle admet aussi une généralisation : c'est un atlas constitué des deux [[projection stéréographique|projections stéréographiques]] depuis les pôles nord et sud respectivement.
{{clr}}

== Définition des variétés ==
=== Définition des variétés topologiques ===

{{Article détaillé|Variété topologique}}

La définition précise des variétés nécessite l'usage d'un vocabulaire relativement spécialisé. Si on veut entrer dans les détails, une '''variété topologique de dimension ''n''''', ou '''''n''-variété''', est un [[espace topologique]] [[glossaire topologique#Axiomes de séparation|séparé]], localement homéomorphe à un espace vectoriel réel de dimension ''n''. On la supposera en outre généralement [[Espace à base dénombrable|à base dénombrable d'ouverts]]. Ces hypothèses et d'autres sont évoquées dans l'article « [[Variété topologique]] » et motivées de façon détaillée dans sa version anglophone.

[[Image:LemniscateB.png|vignette|droite|La [[lemniscate de Bernoulli]] dans le plan. Ce n'est pas une variété car elle ressemble à une croix au voisinage du point double.]]
Dans l'exemple du cercle, il est possible de trouver des homéomorphismes locaux (les cartes) avec la droite réelle. En revanche sur la [[lemniscate de Bernoulli]] de la figure ci-contre, il n'existe pas de carte locale au voisinage du point double. En effet en prenant un voisinage en forme de disque, si petit soit-il, de ce point, le morceau de lemniscate est une croix ce qui en topologie est distinct d'un morceau de droite.

Les variétés peuvent être un seul morceau, ce qui se formalise par la notion de [[Connexité (mathématiques)|connexité]], ou constituées de plusieurs morceaux portant le nom de [[Connexité (mathématiques)|composantes connexes]].

Au moins dans le cas connexe, il est possible de ne pas fixer ''a priori'' de dimension dans la définition d'une variété. En effet dans ce cas le [[Théorème de l'invariance du domaine|théorème d'invariance de la dimension]] de [[Luitzen Egbertus Jan Brouwer|Brouwer]] (1912) montre que les homéomorphismes locaux définis sur les ouverts de l'espace topologique aboutissent tous à des espaces vectoriels d'une même dimension<ref>{{de}} [[Luitzen Egbertus Jan Brouwer|L. E. J. Brouwer]], ''{{Lang|de|Zur Invarianz des ''n''-dimensionalen Gebiets}}, [[Mathematische Annalen]]'' '''72''', 1912, {{p.|55-56}}.</ref>. On retrouve dans cette dimension commune la dimension de la variété.

=== Structures différentielles ===
{{Article détaillé|Variété différentielle}}

Sur une variété topologique, il n'est pas possible de définir une notion de fonction différentiable. De ce fait, les méthodes fécondes et théorèmes importants issus du [[calcul différentiel]] sont inapplicables, alors même que certains — le [[théorème des fonctions implicites]] par exemple — prennent tout leur sens par une interprétation géométrique et sont, au fond, des énoncés destinés à l'étude des variétés.

Il est donc nécessaire d'introduire quelques restrictions à la notion de variété si on souhaite disposer de ce vaste champ de méthodes, notamment du concept de [[espace tangent|vecteur tangent]] ou de celui de [[ensemble négligeable|sous-ensemble de mesure nulle]]. Pour essayer de donner une analogie, une simple variété topologique de dimension 1 est une courbe absolument quelconque ; sa structure très souple ne permet pas de distinguer un [[cercle]] d'une courbe [[fractale]], par exemple un [[flocon de Koch]]. Au contraire, la ressemblance entre une variété différentielle de dimension 1 et un cercle est bien plus rigide.

Techniquement, la définition la plus usuellement rencontrée consiste à ajouter une information supplémentaire à la structure topologique de la variété ; on introduira un sous-ensemble de l'ensemble de tous les homéomorphismes entre un ouvert de la variété et un ouvert de ℝ{{exp|''n''}} qu'on appellera un '''atlas''', les homéomorphismes appartenant à la variété étant appelés des '''cartes'''. On exige d'abord que les cartes couvrent toute la variété. Pour pouvoir ensuite définir des fonctions ''p'' fois différentiables sur la variété, il est nécessaire d'exiger une condition technique supplémentaire : que les applications de « changement de cartes » (obtenues par composition d'une carte et de la réciproque d'une autre) soient elles-mêmes ''p'' fois continûment différentiables. On parle alors de variété de classe C<sup>''p''</sup>, ou de variété analytique si on requiert la ℝ-[[Fonction analytique|analyticité]] des changements de cartes.

=== Autres structures additionnelles ===

De même que spécifier une structure différentielle particularise une variété topologique, et offre une nouvelle boîte à outils à l'utilisateur, on peut énumérer d'autres définitions particularisant cette fois le concept de variété différentielle.

Ainsi ceux de :

* [[Variété riemannienne]] : une variété riemannienne est une variété munie d'un [[métrique riemannienne]], ce qui permet non seulement le calcul des [[distance (mathématiques)|distances]] mais aussi l'[[analyse fonctionnelle (mathématiques)|analyse fonctionnelle]] sur les variétés. En physique, on emploie plus couramment ''tenseur métrique'' au lieu de ''métrique riemannienne''. Une [[variété pseudo-riemannienne]] dispose d'un tenseur métrique qui n'est pas défini positif. Ces variétés sont à la base de la [[relativité générale]] ;
* [[Variété symplectique]] : une variété symplectique est une variété utilisée pour représenter les espaces de phase en [[mécanique classique]]. Elle est munie d'une [[forme différentielle]] qui définit l'opérateur [[crochet de Poisson]] ;
* [[Groupe de Lie]] : un groupe de Lie est une [[variété différentielle]] disposant d'une structure de [[groupe (mathématique)|groupe]] compatible avec sa structure de variété.

== Construction de variétés ==

Une même variété peut être construite de différentes manières, chacune mettant en valeur un aspect différent de la variété, menant par conséquent à un point de vue légèrement différent. Pour ''construire'' effectivement une variété, il faut disposer d'un matériau de base, d'une (ou d'un ensemble de) variétés. Parmi les modes de construction les plus connus, citons :
* Le produit cartésien, permettant d'accéder facilement à des variétés de dimensions supérieures ;
* Le [[recollement de variétés]], permettant en pratique de complexifier la topologie des variétés tout en préservant leur dimension ;
* Le [[Variété quotient|quotient de variétés]], autre moyen de complexifier la topologie, mais avec éventuellement une perte de dimensions.

=== Variété abstraite construite par recollement ===

{{Article détaillé|Recollement de variétés}}

Dans les exemples proposés jusqu'ici, une partie d'un espace vectoriel était munie d'un atlas lui conférant une structure de variété. Il est possible également de considérer des variétés abstraites, c'est-à-dire définies à partir d'une collection d'applications formant un '''atlas abstrait'''. La variété est alors construite par assemblage, les ouverts de cartes servant de briques de base pour de telles constructions, et l'atlas donnant les instructions nécessaires aux raccordements.
Du fait qu'aucun espace extérieur n'est impliqué, cette construction mène à une vue intrinsèque de la variété.

==== Construction du cercle et de l'hypersphère par recollement ====

Un bon exemple de construction intrinsèque est celle du [[cercle]]. En se donnant deux droites disjointes, l'une étant décrite par la coordonnée réelle ''s'', et l'autre par la coordonnée ''t'', on assemble les deux en collant (en identifiant) le point de coordonnée ''t'' de la deuxième sur le point de coordonnée {{Nobr|1=''s'' = {{exp|1}}⁄<sub>''t''</sub>}} de la première (le point {{Nobr|1=''t'' = 0}} de la seconde droite n'est identifié avec aucun point de la première droite ; de même pour le point {{Nobr|1=''s'' = 0}} de la première droite). Cette construction fournit un espace topologique, muni de cartes, qui peut facilement être identifié au cercle plongé dans le plan usuel, muni du deuxième atlas proposé dans l'exemple ci-dessus.

La [[hypersphère|''n''-sphère]] '''S'''<sup>''n''</sup> est une généralisation de l'idée de cercle (1-sphère) et de [[sphère]] (2-sphere) à des dimensions supérieures. Une ''n''-sphère '''S'''<sup>''n''</sup> peut être construite en assemblant deux copies de ℝ<sup>''n''</sup>. L'application de transition est alors définie par
<center><math>\R^n \setminus \{0\} \to \R^n \setminus \{0\}: x \mapsto x/\|x\|^2</math></center>
qui généralise l'exemple du cercle donné précédemment.

==== Identifier des points d'une variété ====

La construction est la même en général : la variété est construite en partant d'un atlas abstrait, défini par des ouverts de ℝ<sup>''n''</sup> et des applications de transition compatibles entre elles. Un point de la variété est une [[Relation d'équivalence|classe d'équivalence]] (opération de collage) de points qui sont associés par les cartes de transition. Cette construction par recollement conduit à une variété qui n'est pas incluse dans un espace de référence, mais définie par elle-même. Ce point de vue abstrait est purement ''intrinsèque''.

L'action d'assembler ces points en un seul, correspond à la notion d'[[relation d'équivalence|espace quotient]]. Néanmoins des difficultés topologiques surgissent et il n'y a pas de raison ''a priori'' pour qu'un tel espace quotient soit une variété. C'est ce qui explique qu'on introduise des variantes de la notion de variétés, notamment [[orbifold]]s, [[CW-complexe]]s, qui généralisent la notion de variété, ou [[variété à singularités coniques|variétés à singularités coniques]], qui généralisent plus spécifiquement la notion de variété différentielle.

L'opération de passage au quotient est une des méthodes fondamentales de construction de variétés, qui dépasse la question du recollement. Une méthode classique d'identification des points est l'utilisation d'une [[action de groupe (mathématiques)|action de groupe]] sur la variété. Deux points sont identifiés si l'un d'eux est envoyé sur l'autre par un élément du groupe. Sous certaines conditions topologiques, on peut affirmer que l'espace quotient forme une variété. C'est exactement le mode de construction des [[tore]]s, des [[espace projectif|espaces projectifs réels]], ou des [[espace projectif|espaces projectifs complexes]] (à partir d'un plan, d'une [[Sphère#Sphères euclidiennes de dimensions supérieures|''n''-sphère]] et d'un espace vectoriel complexe respectivement). Cette construction connue sous le nom de [[variété quotient]] recouvre en partie les concepts de [[revêtement (mathématiques)|revêtement]] et d'[[espace homogène]]. Elle n'est pas davantage développée ici.

=== Définition par équations ===

{{Article détaillé|Variété implicite}}

[[Image:Topographic map example.png|vignette|gauche|Exemple d'une carte topographique.]]

Un autre mode de définition classique des variétés est la donnée d'une équation, ou d'un système d'équations. Un des exemples les plus simples est celui du cercle unité, courbe du plan défini par l'équation <math>x^2+y^2=1</math> par exemple. La même équation dans l'espace à trois dimensions définit une [[surface de révolution]], à savoir le [[cylindre]]. Plus généralement, dans l'espace <math>\R^n\,</math>, en se donnant une équation de la forme <math>F(x_1,...x_n)=0</math>, et sous certaines conditions sur la fonction ''F'' (vecteur [[gradient]] jamais nul), on obtient une variété de dimension ''n ''– 1, ou [[hypersurface]]. Cet ensemble de valeurs s'appelle un '''ensemble de niveau'''. Le géographe a l'habitude de les manipuler en cartographiant une région montagneuse : sur les cartes, des courbes sont tracées indiquant des points d'égale altitude. Les cartes obtenues sont appelées [[carte topographique|cartes topographiques]].

En [[algèbre linéaire]], on définit un sous-espace vectoriel de codimension ''p'' à l'aide de ''p'' formes linéaires. Ces formes linéaires forment une famille linéairement indépendante du dual, et le sous-espace est le lieu des points d'annulation de ces ''p'' formes. De même, il est possible de considérer un système (non linéaire en général) de ''p'' équations à ''n'' inconnues. La situation locale revêt alors une analogie forte avec la résolution d'un [[système d'équations|système d'équations linéaires]]. Sous de bonnes hypothèses (à savoir, l'indépendance linéaire des vecteurs gradients), l'ensemble des solutions du système forme une variété de dimension ''n-p''. L'outil de base pour étudier ces questions est le [[théorème des fonctions implicites]], avec les corollaires associés.

Si la condition donnée est locale, c'est que la vérification qu'un ensemble est une sous-variété est locale. De fait, le discours se généralise au monde des variétés. Sous de bonnes hypothèses, un ensemble de fonctions sur une variété permettent d'en définir des sous-variétés. Cette technique est couramment utilisée en pratique.

Enfin, ce mode de définition est le mode de définition général pour les [[variété algébrique|variétés algébriques]].

=== Variété à bord ===

[[Image:Red cylinder.png|droite|vignette|Un [[cylindre]] fini est une variété avec bord.]]

La définition des variétés interdit la présence de « bord » comme dans le cas d'un disque plein par exemple. Il est possible de définir cependant une notion de « [[Variété topologique#Variété à bord|variété à bord]] », en acceptant des cartes ayant pour domaine des ouverts de ℝ{{exp|''n ''– 1}}×ℝ{{ind|+}}. Le bord d'une telle variété à bord sera une variété de dimension ''n ''– 1. Ainsi une sphère pleine, ou [[Boule (mathématiques)|boule]], est une 3-variété à bord, dont le bord est une 2-variété, la sphère.

==== Assemblage par les bords ====

Deux variétés à bords peuvent être assemblées en les collant le long d'un bord. Si ceci est fait correctement, le résultat est aussi une variété. De la même manière, deux composantes du bord d'une même variété peuvent être collées. De nouveau, l'assemblage est défini par un [[homéomorphisme]] permettant d'identifier les points d'un bord à ceux de l'autre.

Un [[cylindre]] fini peut être construit en partant d'un carré [0,1]&nbsp;×&nbsp;[0, 1] et en cousant ensemble deux côtés opposés. Les deux cercles qui forment le bord de la figure obtenue peuvent ensuite être repliés l'un sur l'autre pour former un [[tore]] ou une bouteille de Klein.

L'opération de topologie amusante la plus célèbre est certainement celle qui consiste à recoller deux bords d'un carré, mais en renversant l'orientation ; on n'obtient plus alors un cylindre mais un [[anneau de Möbius]], aussi appelé bande de Möbius ou ruban de Möbius, qui est l'exemple standard pour illustrer la notion de [[orientation (mathématiques)|variété non orientable]]. Il s'agit d'une variété à bord dont le bord est un cercle. En recollant un disque le long de ce cercle, on obtient un [[surface de Boy|plan projectif réel]]. Si le ruban de Möbius peut être visualisé dans ℝ{{3}}, le recollement ne peut pas être effectué dans l'espace tridimensionnel : un quatrième degré de liberté est indispensable.

=== Produit cartésien ===

De même que le produit cartésien d'espaces vectoriels est un espace vectoriel, le [[produit cartésien]] de variétés est aussi une variété. Sa topologie est la [[Glossaire topologique|topologie produit]] et un produit cartésien de cartes est par convention une carte pour le produit. Ainsi, un atlas de ce qu'on appelle la [[variété produit]] peut être construit à l'aide d'un atlas de chaque facteurs. Si ces atlas définissent une structure différentielle sur les facteurs, l'atlas correspondant définit une structure différentielle sur la variété produit. Ceci est vrai pour toute autre structure définie à l'aide des facteurs. La dimension de la variété produit est la somme des dimensions de ses facteurs. Les produits cartésiens peuvent être utilisés pour construire des [[tore]]s et des [[cylindre]]s finis, par exemple : '''S'''{{exp|1}}&nbsp;×&nbsp;'''S'''{{exp|1}} et '''S'''{{exp|1}}&nbsp;×&nbsp;[0,&nbsp;1], respectivement.

Toutes les variétés ne peuvent pas être écrites à l'aide d'un produit, mais certaines peuvent s'écrire comme une réunion disjointe d'un ensemble de sous-variétés qui a localement la structure d'un produit ; elles portent le nom de [[feuilletage]]s. Par exemple, l'hypersphère de dimension trois admet un feuilletage remarquable en cercles (disjoints), connu sous le nom de [[fibration de Hopf]], du nom du topologue [[Heinz Hopf]].

== Approfondissements ==
=== Structures connexes ===

Pour mettre en œuvre la [[géométrie]] sur des variétés, il est souvent requis d'ajouter des structures additionnelles à ces espaces, tels que ceux vus plus haut pour les variétés différentielles. Il existe de nombreuses autres possibilités, dépendant du type de géométrie qu'on cherche à introduire :

* '''[[Variété analytique]]''' : la définition est analogue à celle de variété différentielle, mais on impose que les applications de changement de cartes soient des difféomorphismes analytiques. Toute variété différentiable admet une structure de variété analytique.
* '''[[Variété complexe]]''' : une variété holomorphe est une variété construite sur ℂ<sup>''n''</sup> à l'aide de fonctions de transitions [[fonction holomorphe|holomorphes]] sur des recouvrements de cartes. Ces variétés sont les objets de base pour l'étude de la [[géométrie complexe]]. Une variété à une dimension complexe est appelée [[surface de Riemann]]. (Noter qu'une variété complexe à ''n'' dimensions a 2 ''n'' dimensions en tant que variété différentielle ''réelle''.)
* '''[[Variété de Banach]] ou [[variété banachique]] et [[Variété de Fréchet]]''' : pour permettre l'extension aux dimensions infinies, on peut considérer des variétés de Banach qui soient localement homéomorphes à des [[espace de Banach|espaces de Banach]]. De même, les variétés de Fréchet sont localement homéomorphes à des [[espace localement convexe#Espace de Fréchet|espaces de Fréchet]].
* '''[[Variété à singularités coniques]]''' : incluent les variétés différentielles, les variétés différentielles à bord, les cônes, les polyèdres, aussi bien en tant que surfaces qu'en tant que solides.
* '''[[Orbifold]]''' : Un orbifold est la généralisation des variétés pour certains types de singularité dans la topologie.
* '''[[Variété algébrique]] et [[schéma (géométrie algébrique)|schéma]]''' : une variété algébrique est construite par assemblage de variétés algébriques affines, qui sont des ensembles de zéros de polynômes construits sur des [[corps commutatif]]s. La domestication des recollements à opérer n'est plus basée sur la régularité des changements de cartes, mais en décrivant lesquelles des fonctions définies localement sur la variété méritent d'être considérées comme régulières ; la notion de [[faisceau]] se substitue alors à celle d'atlas comme outil technique pour la définition. Les schémas sont de même construits à partir de schémas affines, qui sont eux-mêmes une généralisation des variétés algébriques affines.
* [[CW-complexe]] : un CW-complexe est un espace topologique formé d'objets de différentes dimensions par recollements successifs. Pour cette raison, ce n'est généralement pas une variété. Cependant, il est d'un intérêt central en [[topologie algébrique]] : il permet de coder la topologie et d'en donner une approche essentiellement combinatoire. Toute variété topologique admet une ''décomposition'' en CW-complexe.

=== Classification des variétés ===

Un problème central en mathématiques concerne la possibilité d'identifier deux objets ensemblistement distincts mais dont les propriétés sont semblables. En ce sens, deux variétés sont identifiées lorsqu'il existe une [[bijection]] entre elles qui soit compatible avec la topologie. Une telle bijection est appelée [[homéomorphisme]]. Par exemple, le cercle considéré comme sous-variété du plan, ou le cercle abstrait construit par recollement, s'ils sont ensemblistement différents, sont homéomorphes. Du point de vue de la topologie, la surface d'un ballon de foot ou d'un ballon de rugby est la même. Les différences entre ces deux objets sont de nature métrique.

Le problème général devient : quand peut-on identifier deux variétés topologiques à homéomorphisme près ? Deux variétés différentielles à difféomorphisme près ?

Les premiers résultats dans ce sens, très partiels, concernent la classification des surfaces, aujourd'hui bien connue. Cette classification repose sur la [[caractéristique d'Euler]], et le [[Genre (mathématiques)|genre]]. Cette caractéristique se généralise aisément aux dimensions supérieures, grâce à la notion de faces de dimension supérieure. Ce qui importe est alors la configuration des triangulations des variétés, et la caractéristique d'Euler ne code qu'une partie des informations sur ces triangulations. Pour avoir accès aux informations restantes, il faut abandonner l'idée d'invariants numériques, et étudier des invariants algébriques associés aux triangulations : c'est la naissance des méthodes [[homologie et cohomologie|homologiques et cohomologiques]], suivant les idées de Poincaré sur l'[[homologie singulière]]. Des méthodes homotopiques, dont le niveau élémentaire est l'étude de la [[connexité simple|simple connexité]], apportent aussi des réponses.

Ces méthodes s'adaptent, dans un certain sens, en considérant d'autres cohomologies, aux types de variété plus [[Rigidité (mathématiques)|rigides]] : par exemple, la [[cohomologie de De Rham]] pour l'étude des variétés différentielles. Les invariants obtenus ne forment en général pas des systèmes complets d'invariants : c'est-à-dire que deux variétés peuvent topologiquement se distinguer, alors qu'elles sont cohomologiquement semblables, au sens où leurs groupes de cohomologie sont identiques.

[[Image:TrefoilKnot 01.svg|droite|vignette|[[Nœud de trèfle]] dans l'espace de dimension trois.]]

Un autre problème intéressant de classification provient des déformations des sous-variétés plongées : on ne s'autorise alors plus n'importe quelle déformation, mais seulement certaines qui respectent la topologie de l'espace sous-jacent, les [[homotopie]]s, ou bien les [[Homotopie#Isotopie|isotopies]], suivant le problème considéré. À nouveau, des méthodes cohomologiques et homotopiques sont utiles. On obtient des classifications plus fines, où le nœud trèfle, et le cercle, confondues homéomorphiquement, sont cette fois bien distincts. La [[théorie des nœuds]] notamment s'intéresse au plongement d'un cercle dans l'espace à trois dimensions, ou dans la sphère tridimensionnelle.

Toujours plus en avant, la théorie des nœuds a permis de donner la construction effective des variétés de dimension 3. En quelques mots, toute variété compacte de dimension 3 s'obtient en effectuant un nombre fini d'opérations sur la sphère tridimensionnelle au voisinage d'un nombre fini de nœuds disjoints. Pour chaque nœud, il s'agit d'en retirer un voisinage, un tore plein, et de le recoller différemment. La topologie de la variété ne dépend que de la classe d'homotopie des données de recollement, qui sont des homéomorphismes du tore. L'argumentation est détaillée dans l'article [[3-variété]], ou l'ouvrage de Dale Rolfsen. L'utilisation d'un unique nœud trivial donne naissance à un ensemble de variétés compactes de dimension 3, appelées [[Espace lenticulaire|espaces lenticulaires]].

=== Discussions autour des variétés ===

Lors d'études plus approfondies sur la topologie des variétés sont rencontrées des discussions récurrentes portant sur la dimension des variétés ou la rigidité des structures :
* Les petites dimensions offrent peu de degrés de liberté. De fait, il n'est pas rare que des structures pourtant différentes en grandes dimensions coïncident en dimensions 1, 2, 3, éventuellement 4, 5. Cependant, l'excès de contraintes peut rendre l'approche difficile. À cet égard, citons le problème posé par Poincaré concernant la caractérisation topologique d'une sphère de dimension ''n''. La preuve en dimension ''n ''≥ 5 a valu la médaille Fields à [[Stephen Smale]] en 1966, la preuve en dimension 4 a valu la médaille Fields à [[Michael Freedman]] en 1986, la preuve en dimension 3 a valu la médaille Fields à [[Grigori Perelman]] en 2006 (mais celui-ci l'a refusée) ;
* La seconde thématique concerne la souplesse ou la rigidité des structures additionnelles sur les variétés.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==

=== Articles connexes ===
* [[Courbe]] (variété de dimension 1)
* [[surface (géométrie)|Surface]] (variété de dimension 2)
* [[3-variété]] (variété de dimension 3)
* [[Topologie algébrique]]
* [[Géométrie différentielle]]
** [[Géométrie différentielle des surfaces]]
** [[Géométrie riemannienne]]
** [[Géométrie symplectique]]
* [[Orientation (mathématiques)|Orientation d'une variété]]
* [[Relativité générale]]
* [[Chirurgie (topologie)]]
* [[Limite (théorie des catégories)|Colimite]]
* [[Topologie en basses dimensions]]

=== Lien externe ===
{{MacTutor|class=~history/Indexes|id=Geometry_Topology|title=History Topics: Geometry and Topology Index}}

=== Bibliographie ===

* {{Bourguignon1}}{{commentaire biblio|Introduction non technique au sujet.}}

==== Aspects techniques ====

* {{DoubrovineFomenkoNovikov}} (Première partie : géométrie des surfaces, des groupes de transformations et des champs){{commentaire biblio|Une introduction très pédagogique à la géométrie, avec des applications à la physique, écrite par des spécialistes russes. L'approche étant plutôt intuitive, cet ouvrage est accessible à partir du premier cycle universitaire pour un bon étudiant motivé.}}
* {{BergerGostiaux1}}{{commentaire biblio|Ouvrage issu d'un cours de [[Magistère (diplôme)|magistère]] de mathématiques.}}
* {{Spivak1}}{{commentaire biblio|Traité de référence en  cinq volumes.}}
* {{Rolfsen}}
* {{Milnor1}}
* {{Lafontaine1}}{{commentaire biblio|Ouvrage élémentaire pour les étudiants de [[Master (France)|master]].}}

==== Ouvrages de mathématiques pour physiciens théoriciens ====

* {{en}} Theodore Frankel, ''The Geometry of Physics - An introduction'', Cambridge University Press, 2004, {{2e}} éd. révisée et illustrée {{ISBN|978-0-52153927-2}}
* {{en}} Mikio Nakahara, ''Geometry, Topology and Physics'', Institute of Physics Publishing, 2003, {{2e}} éd. illustrée {{ISBN|978-0-75030606-5}}
* {{en}} Charles Nash et Siddhartha Sen, ''Topology and Geometry for Physicists'', Academic Press, 1983 {{ISBN|978-0-12514080-5}}
* {{en}} [[Yvonne Choquet-Bruhat]] et [[Cécile DeWitt-Morette]], ''Analysis, Manifolds and Physics - Part I: Basics'', North-Holland, 1989 {{ISBN|978-0-44486017-0}}

==== Aspects historiques ====

* Luciano Boi, ''Le problème mathématique de l'espace - Une quête de l'intelligible'', Springer, 1995 {{ISBN|978-3-54058922-8}}{{commentaire biblio|Une histoire philosophique du concept mathématique d'espace, de la géométrie euclidienne au développement des géométries modernes non euclidiennes. Niveau premier cycle universitaire minimum.}}
* {{en}} Marvin Jay Greenberg, ''Euclidean and non-Euclidean geometries – Development and history'', Freeman, {{4e}} éd. 2007 {{ISBN|978-0-71679948-1}}{{commentaire biblio|Un livre de mathématiques qui retrace l'histoire et le développement des géométries non euclidiennes, essentiellement à deux dimensions (géométries de Gauss, Bolai et Lobachevsky). Accessible à l'« honnête homme » cultivé.}}
* {{en}} [[Max Jammer]], ''Concepts of Space - The History of Theories of Space in Physics'', Dover, {{3e}} éd. 1993 {{ISBN|978-0-48627119-4}}{{commentaire biblio|Une histoire érudite du concept d'espace, depuis l'Antiquité jusqu'à nos jours. Niveau premier cycle universitaire.}}

{{Portail|géométrie}}

{{DEFAULTSORT:Variete (geometrie)}}
[[Catégorie:Variété|*]]