Voir la source de Variété différentielle

En [[mathématiques]], les '''variétés différentielles''' ou '''variétés différentiables''' sont les objets de base de la [[topologie différentielle]] et de la [[géométrie différentielle]]. Il s'agit de [[variété (géométrie)|variétés]], « espaces courbes » localement modelés sur l'[[espace euclidien]] de dimension ''n'', sur lesquelles il est possible de généraliser une bonne part des opérations du [[Calcul infinitésimal|calcul différentiel et intégral]].

Une variété différentielle se définit donc d'abord par la donnée d'une [[variété topologique]], espace topologique localement homéomorphe à l'[[Espace euclidien#Exemples|espace ℝ{{exp|''n''}}]]. Les homéomorphismes locaux sont appelés cartes et définissent des systèmes de coordonnées locales. La [[structure différentielle]] est définie en exigeant certaines propriétés de régularité des applications de transition entre les cartes. Cette structure permet par exemple de donner une définition globale de la notion d'application différentiable, ou de [[champ de vecteurs]] avec ses courbes intégrales.

En revanche, à moins de munir la variété de structures supplémentaires (telle qu'une [[géométrie riemannienne|métrique riemannienne]]), les calculs de dérivées d'ordre 2, la notion de mesure d'une partie, n'admettent pas de généralisation naturelle.

== Définition par un atlas ==
[[Image:Two coordinate charts on a manifold.svg|vignette|droite|Deux cartes locales et les applications de changements de cartes]]
{{Article connexe|amorce=Pour une introduction informelle|Variété (géométrie)}}

=== Cartes locales et atlas ===

{{article détaillé|Carte locale}}

[[Image:Projection stereographique.png|vignette|L'application de [[projection stéréographique]] définit une carte locale sur la [[sphère]].]]
Une '''variété topologique''' ''M'' de dimension ''n'' est un [[espace topologique]] [[espace séparé|séparé]] à [[Espace à base dénombrable|base dénombrable]], tel que chacun de ses points admet un [[Voisinage (mathématiques)|voisinage]] [[Ouvert (topologie)|ouvert]] homéomorphe à un ouvert de l'espace topologique ℝ{{exp|''n''}}. Plus précisément :

<math>\forall x\in M </math>, il existe un voisinage ouvert <math>U_x</math> et un [[homéomorphisme]] <math>\varphi_x:U_x\longrightarrow \varphi_x(U_x)\subset\R^n.</math> On dit alors que <math>(U_x,\varphi_x)</math> est une '''carte locale''' de {{math|''M''}}.

Une famille de cartes <math>(U_i,\varphi_i)</math> qui recouvre (entièrement) {{math|''M''}} constitue un '''atlas''' de la variété {{math|''M''}}.

Un tel atlas est dit de classe C<sup>''k''</sup>, {{math|1 ≤ ''k'' ≤ +∞}}, si :
pour tous les indices ''i'' et ''j'' tels que <math>U_i\cap U_j\neq\varnothing</math>, l''''application de changement de cartes'''
:<math>\varphi_i\circ\varphi_j^{-1}: \varphi_j(U_i\cap U_j) \to \varphi_i(U_i\cap U_j)</math>
est un [[difféomorphisme]] de [[Classe de régularité|classe C<sup>k</sup>]], c'est-à-dire une [[bijection]] de classe C<sup>''k''</sup> dont la [[bijection réciproque]] est aussi de classe C<sup>''k''</sup>.

=== Structure de variété différentielle ===

Deux atlas de classe C<sup>''k''</sup> sur une même variété topologique {{math|''M''}} sont dits '''compatibles''' lorsque leur réunion est encore un atlas de classe C<sup>''k''</sup>.
La relation de compatibilité ainsi introduite est une [[relation d'équivalence]] pour les atlas.

Les classes d'équivalence définissent la structure de variété différentielle : une '''variété différentielle''' (ou variété différentiable) '''de classe C<sup>''k''</sup>''' est une variété topologique munie d'une famille d'atlas de classe C<sup>''k''</sup> tous compatibles avec un atlas donné. Une [[variété lisse]] est une variété différentielle de classe C<sup>∞</sup>.

Dans chaque classe d'équivalence existe un représentant privilégié, l''''atlas maximal''', obtenu en considérant toutes les cartes compatibles avec l'atlas initial.

Les exemples les plus classiques de variétés différentielles sont les ouverts de l'espace euclidien ℝ{{exp|''n''}}, la [[sphère]] de dimension ''n'', le [[tore]] de dimension ''n'', les [[espace projectif|espaces projectifs]] réels ou complexes.

=== Variantes ===

On obtient une '''variété analytique''' en exigeant que les applications de changements de cartes soient des [[fonction analytique|fonctions analytiques]].

La [[géométrie complexe]] étudie les variétés analytiques complexes (ou [[variété complexe|variétés complexes]]), définies de façon analogue sur le corps des complexes, avec des applications de changement de cartes qui sont biholomorphes.

Il est possible d'étudier des variétés modelées sur des [[Espace vectoriel|espaces vectoriels]] de dimension infinie, comme les [[variété banachique|variétés de Banach]] ou de [[variété de Fréchet|Fréchet]].

Enfin on peut aussi changer les hypothèses formulées sur le modèle local, par exemple en introduisant la notion de [[variété à bord]], modelée sur les ouverts d'un demi-espace.

== Applications différentiables ==

=== Définition ===

La différentiabilité d'une fonction ''f'' entre deux variétés différentielles ''M'' et ''N'' se définit en procédant à la lecture de ''f'' dans des cartes locales au voisinage de chaque point.

Formellement, on considère deux variétés ''M'' et ''N'' de classe C<sup>''k''</sup> et un entier ''j'' inférieur à ''k''. Une application ''f'' : ''M'' → ''N'' est dite de classe C<sup>''j''</sup> quand, pour tout point ''m'' de ''M'', on peut trouver une carte locale <math>(U, \phi)</math> de ''M'' contenant ''m'' et une carte locale <math>(V, \psi)</math> de ''N'' contenant ''n = f''(''m'') telles que
:<math>\phi(f^{-1}(V)\cap U)</math> est un ouvert et <math>f_{\phi,\psi}=\psi \circ f \circ \phi^{-1}</math> est de classe C<sup>''j''</sup> de <math>\phi(f^{-1}(V)\cap U)</math> dans <math>\psi(V)</math>.

Si on considère de nouvelles cartes locales, la régularité des applications de changement de cartes assure que les fonctions <math>f_{\phi',\psi'}</math> correspondantes seront régulières, ce qui montre la cohérence de la définition.

Il est un peu plus délicat de définir la notion de [[différentielle]] d'une application différentiable, puisque cela demande d'introduire au préalable les vecteurs tangents. Cependant, le rang de la différentielle de <math>f_{\phi,\psi}</math> au point ''m'' ne dépend pas des cartes choisies. On parle notamment d'[[Immersion (mathématiques)|immersion]] si ce rang est égal en tout point à la dimension de ''M'', de [[submersion (mathématiques)|submersion]] s'il est égal en tout point à la dimension de ''N''<ref>Cet ordre d'exposition, où l'on définit l'immersion avant la différentielle, peut par exemple être trouvé dans {{Harvsp|Gallot|Hulin|Lafontaine|texte=Gallot, Hulin et Lafontaine 2004}}.</ref>.

=== Variétés isomorphes ===

La composée d'applications de classe C<sup>''j''</sup> entre deux variétés, quand elle existe, est de classe C<sup>''j''</sup>.
Les variétés différentielles de classe C<sup>''k''</sup> forment une [[Théorie des catégories|catégorie]] dont les morphismes sont les applications de classe C<sup>''k''</sup>.

Deux variétés différentielles ''M'' et ''N'' de classe C<sup>''k''</sup> sont isomorphes lorsqu'il existe un C<sup>''k''</sup>-difféomorphisme de ''M'' dans ''N'' (c'est-à-dire une application bijective de classe C<sup>''k''</sup> ainsi que sa réciproque).

Du point de vue du calcul différentiel, il est possible d'identifier deux variétés isomorphes.
La [[géométrie différentielle]] a pour objet premier l'étude des structures différentielles modulo la relation d'isomorphisme.

L’ensemble des isomorphismes forme un [[groupe (mathématiques)|groupe]] [[groupe topologique|topologique]] dont les [[Connexité (mathématiques)#Composantes connexes|composantes connexes]] sont les [[difféotopie]]s (ou [[homéotopie]]s dans le cas {{math|1={{mvar|k}}=0}}) qui constituent le ''{{lang|en|mapping class group}}'' de la variété.

=== Existence et unicité de structures différentielles ===

Alors que la théorie des variétés différentielles est foncièrement différente de celle des variétés topologiques, le degré de différentiabilité utilisé est sans importance autre que technique. On a en effet le théorème<ref>{{harvsp|Hirsch|texte=Hirsch 1976}}.</ref> :

{{énoncé|Soient ''k''<sub>1</sub> ≤ ''k''<sub>2</sub> dans (ℕ\{0})∪{∞, ω} (ω pour analytique). Toute variété de classe C<sup>''k''<sub>1</sub></sup> est C<sup>''k''<sub>1</sub></sup>-difféomorphe à une variété de classe C<sup>''k''<sub>2</sub></sup>. Si deux variétés de classe C<sup>''k''<sub>2</sub></sup> sont C<sup>''k''<sub>1</sub></sup>-difféomorphes, alors elles sont C<sup>''k''<sub>2</sub></sup>-difféomorphes.}}

Ce théorème s'interprète naïvement en disant qu'on peut retirer d'un atlas C<sup>''k''<sub>1</sub></sup> des cartes qui se recollent mal (dont les applications de changement de carte ne sont pas de classe C<sup>''k''<sub>2</sub></sup>). On obtient alors un atlas avec moins de cartes, mais de classe C<sup>''k''<sub>2</sub></sup>. À l'extrême s'il ne reste plus qu'une seule carte dans l'atlas (la variété étant alors homéomorphe à un ouvert de ℝ{{exp|''n''}}), l'atlas est analytique.

On connaît au contraire des variétés topologiques qui admettent plusieurs structures différentielles non isomorphes. Le premier exemple, découvert en 1956 par [[John Milnor]]<ref>{{Article|lang=en|auteur=John Milnor|titre=On manifolds homeomorphic to the 7-sphere|revue=[[Annals of Mathematics|Ann. Math.]]|vol=64|année=1956|p.=399-405}}.</ref>, est la sphère de dimension 7 (voir l'article « [[Sphère exotique]] »). Il existe par ailleurs des variétés topologiques qui n'admettent aucune structure différentielle<ref>{{Article|lang=en|auteur=[[Michel Kervaire]]|titre=A manifold which does not admit any differentiable structure|revue=[[Liste des journaux scientifiques en mathématiques#C|Comm. Math. Helv.]]|vol=34|année=1960|p.=257-270|url=https://web.math.rochester.edu/people/faculty/doug/otherpapers/kervaire.pdf}}.</ref>.

Les questions d'existence et d'unicité ne se posent qu'à partir de la dimension 4, puisqu'une variété topologique de dimension inférieure à 3 possède une unique structure différentielle<ref>Pour la dimension 3, {{Article|auteur=C. Lescop|titre=Quelques présentations des variétés de dimension 3|url=http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~lescop/preprints/fem.pdf|revue=Femmes et maths|vol=4|année=2000|p.=19-29}} présente (page 8 du .pdf) la cascade de résultats (1934-1960) qui concourent à donner cette propriété.</ref>.
La dimension 4 est la première dimension pour laquelle l'existence et l'unicité sont mises en défaut.

Cette dimension joue à plusieurs égards un rôle particulier : on sait ainsi que pour toute valeur de ''n'' différente de 4, l'espace ℝ<sup>''n''</sup> possède une unique structure différentiable, alors qu'il existe une infinité non dénombrable de structures non isomorphes sur ℝ{{4}} (voir l'article {{Lien|trad=Exotic R4|R4 exotique|texte=ℝ{{4}} exotique}}). En toute dimension autre que 4, une variété topologique compacte possède au plus un nombre fini de structures différentielles non isomorphes. Ces découvertes reposent sur une succession de travaux publiés entre 1982 et 1987<ref>Une partie de cette séquence est retracée dans {{Harvsp|Donaldson|Kronheimer|1997|p=28-30}}.</ref>. En 1982, [[Michael Freedman]] établit la classification des variétés topologiques compactes simplement connexes de dimension 4<ref>{{Article|lang=en|auteur=Michael Freedman|titre=The topology of four-dimensional manifolds|revue=[[Liste des journaux scientifiques en mathématiques#J|J. Diff. Geom.]]|vol=17|année=1982|p.=357-454}}.</ref>. L'année suivante, [[Simon Donaldson]] montre que les structures différentielles sont soumises à des contraintes beaucoup plus fortes<ref>{{Article|lang=en|auteur=Simon Donaldson|titre=Self-dual connections and the topology of smooth 4-manifolds|revue=[[Bulletin of the American Mathematical Society|Bull. Amer. Math. Soc.]]|vol=8|année=1983|p.=81-83|url=http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.bams/1183550021}}.</ref> ; il découvre également de nouveaux invariants de la structure différentielle<ref>{{Article|lang=en|auteur=Simon Donaldson|titre=An application of gauge theory to four-dimensional topology|revue=J. Diff. Geom.|vol=18|année=1983|p.=279-315}}.</ref>. Ces travaux sont exploités pour montrer l'existence de structures exotiques sur ℝ{{4}} : [[Clifford Taubes]] montre même en 1987 qu'il en existe une infinité non dénombrable, représentée sous la forme d'une famille à deux paramètres<ref>{{Article|lang=en|auteur=Clifford Taubes|titre=Gauge theory on asymptotically periodic 4-manifolds|revue=J. Diff. Geom.|vol=25|p.=363-430|année=1987|zbl=0615.57009}}.</ref>.

=== Sous-variétés, plongements ===

{{article détaillé|Plongement}}

[[Image:LemniscateB.png|droite|vignette|La [[lemniscate de Bernoulli|lemniscate]] n'est pas une sous-variété du plan, car elle a un point double. On peut la voir comme l'image d'un cercle par une immersion, mais pas un plongement.]]
Soit ''M'' une variété différentielle et <math>\mathcal A</math> son atlas maximal de classe C<sup>''k''</sup>. Une partie ''N'' de ''M'' est une '''sous-variété différentielle''' de codimension ''d'', si ''N'' en est une sous-variété topologique de dimension ''n – d'' et si ''N'' respecte l'atlas <math>\mathcal A</math> au sens suivant
: Au voisinage de chaque point ''x'' de ''N'', il existe une carte locale <math>(U,\varphi)\in\mathcal{A}</math> pour laquelle
:<math>\varphi(U\cap N) = \varphi(U)\cap (\R^{n-d}\times\{0\}^d)</math>.
Autrement dit, un point ''p'' est dans ''N'' ssi les ''d'' dernières coordonnées de ''φ(p)'' sont nulles. La partie ''N'' est alors naturellement munie d'une structure de variété C<sup>k</sup> de dimension ''n-d'', induite par celle de ''M'' ; à savoir la classe de C<sup>k</sup>-équivalence dans ''N'' de l'atlas formé par les cartes φ dont les ''d'' dernières coordonnées s'annulent sur ''N''.

Tout ouvert d'une variété est une sous-variété de [[codimension]] 0.

Certaines [[courbe]]s et [[surface (géométrie)|surfaces]] classiques du plan ou de l'espace forment des sous-variétés, mais pas toutes, par exemple à cause de l'existence de points multiples. Si la courbe ou la surface est définie de façon paramétrique, on peut donner des conditions suffisantes sur l'application de [[paramétrage]] pour que l'image soit une sous-variété, ce qui conduit à la notion générale de plongement. On peut aussi donner des conditions pour qu'une courbe ou surface définie par une ou des équations soit une sous-variété. L'équivalence locale entre ces différents points de vue est donnée par le [[théorème des fonctions implicites]].

De façon générale, un '''plongement''' permet d'inclure une variété dans une autre en respectant la structure différentielle. Une application ''p'' d'une variété ''X'' dans ''M'' est appelée [[plongement]] quand ''p'' est une immersion et un homéomorphisme sur son image ''Y = p''(''X''). Dans ce cas, ''Y'' est une sous-variété de ''M''. Le [[théorème de plongement de Whitney]] montre que toute variété différentielle peut être plongée dans un espace ℝ{{exp|''p''}} pour un ''p'' suffisamment grand, c'est-à-dire que toute variété peut être vue comme sous-variété d'un tel espace vectoriel.

On dispose d'une généralisation de la définition d'une sous-variété par équation. Si ''f'' : ''M'' → ''N'' est une submersion entre les variétés différentielles ''M'' et ''N'', et si ''n'' appartient à ''N'', alors l'[[image réciproque]] ''f''{{-1}}({''n''}) est une sous-variété de codimension égale à la dimension de ''N''.

Notamment, les sous-variétés de codimension 1 sont appelées [[hypersurface]]s de ''M''. Elles peuvent être obtenues, localement, comme images réciproques pour des fonctions numériques définies sur ''M'' et sans [[point critique (mathématiques)|point critique]].

== Calcul différentiel sur une variété ==

=== Vecteurs tangents et différentielle d'une application ===

{{article détaillé|Fibré tangent}}

On peut définir de façon relativement simple la notion de vecteur tangent à une sous-variété de ℝ{{exp|''p''}}, et cette définition donne des vecteurs de l'espace ambiant. Cependant, il est utile et important de disposer d'une construction qui ne fasse pas intervenir de plongement, mais qui soit valable au niveau des variétés abstraites.

Un mode de définition possible est basé sur la relation de tangence entre les courbes.
On peut, par lecture dans une carte locale, définir la notion de courbes tangentes en un point ''m'' de la variété ''M''. Les '''vecteurs tangents''' en ''m'' à la variété sont alors les classes d'équivalence pour cette relation. Ils forment un espace vectoriel ''T<sub>m</sub>M'' qui a la même dimension ''n'' que ''M''.

La [[réunion disjointe]] de tous les espaces tangents ''T<sub>m</sub>M'' pour ''m'' appartenant à ''M'' forme une variété ''TM'' de dimension 2''n'', appelée '''fibré tangent''' à la variété. L'espace ''TM'' possède une structure de [[fibré vectoriel]] de base ''M''. Cependant cette construction engendre une perte de différentiabilité : si ''M'' est de classe C<sup>''k''+1</sup>, le fibré tangent est de classe C<sup>''k''</sup>.

On peut ensuite définir la '''différentielle''' d'une application différentiable ''f'' entre deux variétés ''M'' et ''N''. On note ''m'' un point de ''M'' et ''n'' son image ; alors la différentielle ''T<sub>m</sub>f'' de ''f'' au point ''m'' est une [[application linéaire]] de l'espace tangent ''T<sub>m</sub>M'' vers ''T<sub>n</sub>N''. Pour la définir, on réintroduit les applications ''f<sub>ϕ, ψ</sub>'' représentant la fonction ''f'' lue dans des cartes locales, et on en prend la différentielle au point ϕ(''m'') correspondant à ''m''. Une nouvelle fois, l'objet ainsi construit est indépendant des cartes utilisées.
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=== Fibrés associés ===
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=== Formes différentielles et dérivée extérieure ===
{{...}}

=== Le problème de la dérivation ===

Si on dispose uniquement d'une structure différentielle, le calcul différentiel ne peut plus être mené à tout ordre de dérivation. Pour une fonction numérique définie sur la variété, il existe des notions naturelles de [[dérivée directionnelle]] et de [[différentielle]]. En revanche, il n'est pas possible de dériver à nouveau. En effet cela demanderait d'être capable de comparer les valeurs d'un champ de vecteurs en deux points voisins, or ces valeurs appartiennent à deux [[Espace tangent|espaces tangents]] distincts entre lesquels il n'y a pas d'isomorphisme canoniquement défini. Ceci explique que la notion de [[matrice hessienne|hessienne]] d'une fonction n'est pas définie en général (sauf aux points critiques).
Sans ajout de structure supplémentaire, seules les [[Forme différentielle|formes différentielles]] disposent d'un [[opérateur différentiel]] naturel : la dérivation extérieure.

Il existe différentes façons de surmonter cette difficulté, moyennant un choix supplémentaire : d'une part la [[dérivée de Lie]] qui consiste à dériver « le long du flot » donné par un champ de vecteurs. Et d'autre part, le choix d'une [[Connexion (mathématiques)|connexion]], c'est-à-dire d'un mode de dérivation respectueux de l'idée de [[covariance et contravariance|covariance]]<ref>{{Jost2}}, p. 48-49</ref>. Un cas très fréquent est celui où l'on se dote d'une [[métrique riemannienne]], à laquelle est canoniquement associée une connexion ([[connexion de Levi-Civita]]) et donc un procédé de dérivation, valable à tout ordre.

Même en '''[[géométrie riemannienne]]''', les opérateurs différentiels usuels ne possèdent pas pour autant une extension univoque. Ainsi il existe plusieurs généralisations couramment utilisées de l'[[opérateurs laplaciens en géométrie riemannienne|opérateur laplacien]]. Ils partagent le même [[symbole d'un opérateur différentiel|symbole principal]], et donc le même caractère d'[[opérateur elliptique]]. Il est possible de les relier les uns aux autres par des formules dites de Weitzenböck, qui font intervenir la [[courbure]] de la variété.

=== Le problème de la mesure ===
{{...}}

== Notes et références ==

=== Notes ===
{{Références}}

=== Références ===
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Simon Donaldson|S. K. Donaldson]]|auteur2=[[Peter Kronheimer]]|titre=The Geometry of Four-Manifolds|éditeur=|collection=Oxford Mathematical Monographs|année=1997|pages totales=440|isbn=978-0-19-850269-2|lire en ligne={{Google Livres|LbHmMtrebi4C}}}}
* {{GallotHulinLafontaine}}, 2004
* {{Hirsch}}, 1976
* {{Lafontaine1}}

{{Palette|Variété différentielle}}
{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Variété topologique ou différentielle]]
[[Catégorie:Topologie différentielle]]