Voir la source de Variance (mathématiques)

{{Voir homonymes|Variance}}
[[Fichier:Comparison standard deviations.svg|vignette|Exemple d'échantillons pour deux populations ayant la même moyenne mais des variances différentes. La population en rouge a une moyenne de 100 et une variance de 100 (écart-type = SD = ''standard deviation'' = 10). La population en bleu a une moyenne de 100 et une variance de {{formatnum:2500}} (écart-type = SD = 50).]]
En [[statistique]] et en [[théorie des probabilités]], la '''variance''' est une mesure de la [[Indicateur de dispersion|dispersion]] des valeurs d'un [[échantillon (statistiques)|échantillon]] ou d'une [[variable aléatoire]]. Elle exprime la moyenne des carrés des écarts à la moyenne, aussi égale à la différence entre la moyenne des carrés des valeurs de la variable et le carré de la moyenne, selon le [[théorème de König-Huygens]]. Ainsi, plus l'écart à la moyenne est grand plus il est prépondérant dans le calcul total (voir la [[fonction carré]]) de la variance qui donnerait donc une bonne idée sur la dispersion des valeurs.

La variance est toujours positive, et ne s’annule que s’il n’y a essentiellement qu’une seule valeur. Sa [[racine carrée]] définit l’[[écart type]] σ, d’où la notation <math>\sigma^2 = V = \mathbb{V}(X) = \mathrm{Var(X)}</math>.

La variance est quadratique et invariante par translation. Elle peut être [[estimateur (statistique)|estimée]] à l’aide d’un échantillon et de la [[moyenne empirique]] ou déterminée grâce à l’[[Espérance mathématique|espérance]] si celle-ci est connue.

La variance apparait comme un cas particulier de [[covariance]]. Elle se généralise aussi pour des [[vecteur aléatoire|vecteurs aléatoires]].

== Pour une série statistique ==
=== Formules ===
Étant donné une [[série statistique]] d’une variable [[nombre réel|réelle]] {{math|(''x''{{ind|1}}, ''x''{{ind|2}}, ..., ''x{{ind|n}}'')}}, dont on a calculé la [[statistique (indicateur)#Moyenne|moyenne]]
<math>\overline{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i</math>, 
la variance est la [[moyenne arithmétique|moyenne]] des [[carré (algèbre)|carrés]] des écarts à cette moyenne :
:<math>V = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left(x_i - \overline{x}\right)^2</math>.
Un développement du carré mène à la reformulation suivante<ref>{{Lien web |langue=fr-FR |titre=D'autres formules de la variance |url=https://www.youtube.com/watch?v=I0ble42x-dc |consulté le=2022-04-13}}</ref> :
:<math>V = \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^2 \right) - \overline{x}^2</math>,
autrement dit la variance est la différence entre la moyenne des carrés et le carré de la moyenne.

Quand la série prend les valeurs {{math|''x''{{ind|1}}, ''x''{{ind|2}}, ..., ''x{{ind|n}}''}} avec les [[fréquence (statistiques)|fréquences]]  {{math|''f''{{ind|1}}, ''f''{{ind|2}}, ..., ''f{{ind|n}}''}}, sa variance est :
:<math>V = \sum_{i=1}^n f_i\left(x_i-\overline{x}\right)^2 =\left(\sum_{i=1}^n f_i x_i^2\right) - \overline{x}^2 .</math>

La variance est un indicateur de [[Indicateur de dispersion|dispersion des valeurs]], c’est-à-dire qu’elle est toujours positive, ne s’annule que pour une série statistique dont tous les termes ont la même valeur, elle est d’autant plus grande que les valeurs sont étalées, et invariante par ajout d’une constante. Son calcul peut sembler plus compliqué que celui d’autres indicateurs de dispersion, comme l’[[écart interquartile]] ou l’[[écart absolu moyen]], mais contrairement à ces derniers, elle est cumulative : si on rassemble {{mvar|k}} séries statistiques en une seule, la variance globale peut être calculée à partir de l’effectif {{mvar|n{{ind|i}}}}, la variance {{mvar|V{{ind|i}}}} et la moyenne <math>\overline{x}_i</math> de chaque série initiale par la formule
:<math>V = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^k n_i (V_i + (\overline{x} - \overline{x}_i)^2)</math>
où <math>N = \sum_{i=1}^k n_i</math> est l’effectif total et <math>\overline{x} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^k n_i\overline{x}_i</math>, 
est la moyenne globale. Autrement dit, la variance globale est la somme de la variance des moyennes et de la moyenne des variances, même si cette deuxième composante est souvent négligée.

=== Transformation affine ===
Si on applique une [[fonction affine]] <math>f : x \mapsto ax+b</math> aux termes d’une série statistique {{math|(''x''{{ind|1}}, ''x''{{ind|2}}, ..., ''x{{ind|n}}'')}}, la variance est multipliée par {{math|''a''{{2}}}}. Autrement dit, la variance est [[fonction homogène|homogène]] de degré 2 et invariante par translation.

=== Calcul itératif ===
Le calcul effectif de la variance pour une série statistique ne repose pas sur la traduction directe des formules ci-dessus, sauf pour le calcul à la main sur de petites séries. On utilise plutôt un algorithme itératif qui améliore la précision<ref name=Saporta5 group="alpha">{{Harvsp|Saporta|2011|loc=§5.3.2.3 « La variance et l’écart-type »|id=Gilbert Saporta2006}}</ref> :
 c = 0
 s = x{{ind|1}}
 pour j de 2 à n
   s = s+x{{ind|j}}
   c = c+(j x{{ind|j}} − s){{exp|2}}/(j(j−1))
 renvoyer c/n
{{Article détaillé|Algorithme de calcul de la variance}}

== Pour une variable aléatoire réelle ==
=== Expression ===
Étant donné une [[variable aléatoire réelle]] {{mvar|X}} admettant une [[espérance mathématique|espérance]] <math>\mathbb{E}(X)</math>, la variance<ref name=Saporta25 group="alpha">{{Harvsp|Saporta|2006|p=25|id=Gilbert Saporta2006}}</ref> est le [[moment (probabilités)|moment]] centré d’ordre 2 : <math>\mathbb{V}(X) = \mathbb{E}\left[(X-\mathbb{E}(X))^2\right]</math>. 
La [[Théorème de König-Huygens|formule de Koenig-Huygens]] donne l’expression équivalente <math>\mathbb{V}(X) = \mathbb{E}(X^2)-(\mathbb{E}(X))^2</math>.

Ces deux formules n’ont de sens que si <math>\mathbb{E}(X^2)</math> existe<ref>L’existence d’un moment d’ordre 2 implique notamment l’existence de l’espérance.</ref>, autrement dit si la variable admet un moment d’ordre 2. Cela est toujours le cas pour une variable aléatoire [[fonction bornée|bornée]], et en particulier pour une variable aléatoire qui n’a qu’un nombre [[ensemble fini|fini]] de valeurs possibles. Mais pour une variable aléatoire non bornée, l’existence de l’espérance et du moment d’ordre 2 dépendent de la [[estimateur (statistique)#Convergence|convergence]] d’une [[série (mathématiques)|série]] ou d’une [[intégration (mathématiques)|intégrale]]. Ainsi, une [[loi de Pareto (probabilités)|loi de Pareto]] n’admet une espérance que si son paramètre {{mvar|k}} est strictement supérieur à 1, et n’admet une variance que si {{math|''k'' > 2}}.

Pour une variable aléatoire n’admettant qu’un nombre fini de valeurs notées {{math|(''x''{{ind|1}}, ... , ''x{{ind|k}}'')}}, et en notant {{math|(''p''{{ind|1}}, ... , ''p{{ind|k}}'')}} les probabilités associées, on retrouve l’expression de la variance
:<math>\mathbb{V}(X)=\sum_{i=1}^k p_i(x_i-\overline{x})^2 = \left(\sum_{i=1}^kp_ix_i^2\right)-\overline{x}^2 =\left( \sum_{i=1}^kp_i x_i^2\right)-\left( \sum_{i=1}^kp_i x_i\right)^2</math> 

Pour une variable aléatoire discrète avec un nombre infini de valeurs, on reprend la même formule en remplaçant la somme par une série<ref>Une variable aléatoire discrète ne peut admettre qu’un [[ensemble dénombrable]] de valeurs avec une probabilité non nulle.</ref>.

Dans le cas d’une [[variable aléatoire à densité]], la variance est définie par :
:<math>\mathbb{V}(X) =\sigma^2 =\int (x-\mu)^2 \, f(x) \, dx\,</math>
où {{mvar|f}} est la densité de probabilité et {{mvar|μ}} est l'espérance mathématique de la variable aléatoire {{mvar|X}} 
:<math>\mu = \int x \, f(x) \, \mathrm{d}x\, </math>

La variance d'une variable aléatoire continue {{mvar|X}} peut aussi se calculer de la façon suivante :
:<math>\mathbb{V}(X)=\int x^2 \, f(x) \, \mathrm{d}x\, - \mu^2</math>

=== Propriétés ===
==== Transformation affine ====
Comme pour une série statistique, l’effet d’une [[Application affine|transformation affine]] sur une variable aléatoire affecte celle-ci par la formule<ref>Pour cette démonstration, il est utile de rappeler une des propriétés de l'espérance : <math> \mathbb{E}(aX + b)= a \operatorname{E}(X) + b</math>.
On a alors <math>\operatorname{Var}(aX+b) =\mathbb E[(aX+b -\mathbb E[aX+b])^2] =\mathbb E[(aX+b -a\mathbb E[X]-b)^2] =\mathbb E[(aX -a\mathbb E[X])^2] =\mathbb E[a^2(X -\mathbb E[X])^2] = a^2\mathbb E[(X -\mathbb E[X])^2] = a^2\operatorname{Var}(X) </math>
</ref>{{,}}<ref name=Rioul142 group="alpha">{{Harvsp|Rioul|2008|p=142}}</ref> :
<math>\mathbb{V}(aX+b) = a^2 \mathbb{V}(X)</math>.
==== Combinaison linéaire ====
Si deux variables aléatoires {{mvar|X}} et {{mvar|Y}} admettent une variance, alors leur somme aussi et elle s’écrit<ref name=Saporta26 group="alpha">{{Harvsp|Saporta|2006|p=26|id=Gilbert Saporta2006}}</ref> <math>\mathbb{V}(X + Y) = \mathbb{V}(X) + \mathbb{V}(Y) + 2 \mathrm{Cov}(X, Y)</math>,
où <math>\mathrm{Cov}(X, Y)</math> est la [[covariance]]. La relation s’étend à toute [[combinaison linéaire]] de variables admettant une variance<ref name=Rioul183 group="alpha">{{Harvsp|Rioul|2008|p=183-185}}</ref> :
<center><math>\mathbb{V}\left(\sum_{i=1}^n{a_i\,X_i}\right) = \sum_{i=1}^na_i^2\,\mathbb{V}(X_i) + 2\sum_{1\le i<j\le n}\,a_ia_j\,\operatorname{Cov}(X_i,X_j) = \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_ia_j\operatorname{Cov}(X_i,X_j) </math></center><center><math>\mathbb{V}\left(\sum_{i=1}^n{X_i}\right) = \sum_{i=1}^n\mathbb{V}(X_i) + 2\sum_{1\le i<j\le n}\operatorname{Cov}(X_i,X_j)</math></center>

==== Somme de variables indépendantes ====
Si {{mvar|X}} et {{mvar|Y}} sont deux variables [[Indépendance (probabilités)|indépendantes]], leur covariance est nulle donc on trouve <math>\mathbb{V}(X + Y) = \mathbb{V}(X) + \mathbb{V}(Y)</math>
mais la réciproque est fausse<ref name=Saporta26 group="alpha"/>. Cette relation ne doit pas être confondue avec la [[linéarité]] satisfaite par l’espérance. En particulier <math>\mathbb{V}(X-Y) = \mathbb{V}(X) + \mathbb{V}(Y)</math> et plus généralement <math>\mathbb{V}(aX+bY) = a^2\mathbb{V}(X) + b^2\mathbb{V}(Y)</math>.

Plus généralement, la variance d’une somme de variables indépendantes est égale à la somme des variances. Ce résultat implique que pour un échantillon de {{mvar|n}} variables de même variance {{math|''σ''{{2}}}}, la variance de la [[moyenne empirique]] s’écrit<ref><math>\operatorname{Var}(\overline{X})=\operatorname{Var}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\right)=\frac{1}{n^2}\operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \frac {1}{n^2} n \operatorname{Var}(X) = \frac {\operatorname{Var}(X)} {n}</math></ref>{{,}}<ref name=Dodge508 group="alpha">{{Harvsp|Dodge|2010|p=508}}</ref> <math>\mathbb{V}(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{n}</math>.

==== Produit de variables indépendantes ====
La variance d'un produit de deux variables aléatoires indépendantes {{mvar|X}} et {{mvar|Y}} de variances finies est exprimée en fonction de celles des deux variables par la formule suivante<ref name=Saporta26 group="alpha"/>{{,}}<ref group="note">Les deux autres formes sont déduites de la première par factorisation des variances, puis substitution de l'égalité du théorème de Koenig-Huygens <math>\mathbb{V}(X) = \mathbb{E}(X^2) - (\mathbb{E}(X))^2 \iff \mathbb{V}(X) + (\mathbb{E}(X))^2 = \mathbb{E}(X^2)</math>.</ref>
<center> <math>\begin{align}\mathbb{V}(XY) &= \mathbb{V}(X) \mathbb{V}(Y) + \mathbb{V}(X) (\mathbb{E}(Y))^2 + \mathbb{V}(Y) (\mathbb{E}(X))^2\\
&= \mathbb{V}(X) \mathbb{E}(Y^2)+ \mathbb{V}(Y) (\mathbb{E}(X))^2\\ 
&= \mathbb{V}(Y) \mathbb{E}(X^2)+ \mathbb{V}(X) (\mathbb{E}(Y))^2
\end{align}</math></center>

== Estimation ==
=== Estimateur ponctuel ===
À partir d’un [[échantillon (statistiques)|échantillon]] de variables aléatoires réelles {{math|(''X''{{ind|1}}, ... , ''X{{ind|n}}'')}} indépendantes et relevant d’une même [[loi de probabilité]], la variance {{math|''σ''{{2}}}} de cette loi peut être [[estimateur (statistique)|estimée]] à l’aide de la variance empirique<ref group="alpha" name="Dodge556">{{Harvsp|Dodge|2010|p=556}}</ref>
:<math>S^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2</math>
où <math>\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i</math> est la [[moyenne empirique]].

Cet estimateur est cependant [[biais (statistique)|biaisé]], car <math>\mathbb{E}(S^2) = \frac{n-1}{n}\sigma^2</math>.
{{Démonstration|On note {{mvar|μ}} l’espérance commune aux variables de l’échantillon.

On développe <math>nS^2 = \sum_{i=1}^n X_i^2 -2\overline{X}\sum_{i=1}^n X_i + n\overline{X}^2 = \sum_{i=1}^n X_i^2 - n\overline{X}^2</math>.

Or on trouve <math>\overline{X}^2 = \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^nX_i X_j</math>
avec pour tout {{mvar|i}}, <math>\mathbb{E}(X_i^2) = \mathbb{V}(X_i) + (\mathbb{E}(X_i))^2 = \sigma^2 + \mu^2</math> d’après la formule de Koenig-Huygens, 
et pour tout <math>i \ne j</math>, <math>\mathbb{E}(X_i X_j) = \mathbb{E}(X_i)\mathbb{E}(X_j) = \mu^2</math> par indépendance.

On en déduit <math>\mathbb{E}(\overline{X}^2) = \frac{1}{n^2}(n(\sigma^2 + \mu^2) + n(n-1)\mu^2) = \frac{1}{n}(\sigma^2 + n\mu^2)</math>
d’où l’on tire <math>\mathbb{E}(nS^2) = n(\sigma^2 + \mu^2) - (\sigma^2 + n\mu^2) = (n-1)\sigma^2</math>
donc <math>\mathbb{E}(S^2) = \frac{n-1}{n}\sigma^2</math>.
}}
Si {{math|''n'' > 1}}, on définit alors un estimateur non biaisé <math>\widetilde{S}^2 = \frac{n}{n-1}S^2</math> par linéarité de l’espérance.

Pour estimer la variance d'une population entière à partir de celle mesurée sur un échantillon de taille {{mvar|n}}, la variance estimée est obtenue en multipliant la variance mesurée sur l'échantillon par {{sfrac|''n''|''n'' – 1}}. Dans le cas (plus rare en pratique) d'un tirage sans remise dans une population de taille {{mvar|N}}, il faut utiliser l'estimateur<ref>Rémy Clairin, Philippe Brion, ''Manuel de sondages, Applications aux pays en développement'', Documents et manuels du CEDEP, février 97, {{ISBN|2-87762-082-4}}, page 17 ).</ref> <math>\frac {N-1}N\widetilde{S}^2</math>
.
Dans le cas où l’espérance {{mvar|μ}} des variables de l’échantillon est connue, l’estimateur direct <math>T = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2</math> est déjà sans biais.
{{Démonstration|Comme dans la démonstration du biais de {{math|''S''{{2}}}}, on trouve :

<math>nT = \sum_{i=1}^n X_i^2 -2\mu\sum_{i=1}^n X_i + \mu^2</math>.

Donc <math>\mathbb{E}(nT) = n(\sigma^2 + \mu^2) - 2n\mu\mathbb{E}(\overline{X}) + n\mu^2 = n(\sigma^2 + \mu^2) - 2n\mu^2 + n\mu^2 = n\sigma^2</math> et <math>\mathbb{E}(T) = \sigma^2</math>.}}
Ces trois estimateurs sont [[estimateur (statistique)#Convergence|convergents]].
{{Démonstration|D’après la [[loi des grands nombres]], la moyenne empirique [[convergence de variables aléatoires|converge presque sûrement]] vers l’espérance {{mvar|μ}} et la moyenne empirique des carrés
<math>\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i^2</math> converge presque sûrement vers {{math|''σ''{{2}} + ''μ''{{2}}}}, ce qui montre que les trois estimateurs de la variance convergent vers {{math|''σ''{{2}}}}
lorsque {{math|''n'' → +∞}}.
}}

=== Intervalle de confiance ===
L’obtention d’un [[intervalle de confiance]] pour la variance d’une loi de probabilité à partir d’un échantillon dépend du type de loi.

Pour une famille de lois dépendant d’un seul paramètre, comme les [[loi de Bernoulli|lois de Bernoulli]], les [[loi géométrique|lois géométriques]], [[loi exponentielle|exponentielles]] ou les [[loi de Poisson|lois de Poisson]], il suffit d’utiliser un intervalle de confiance sur le paramètre. Pour une famille de lois dépendant d’au moins deux paramètres, on utilise un estimateur convergent ayant un seul paramètre directement relié à la variance de la loi initiale.
Ainsi, pour un échantillon de {{mvar|n}} variables [[loi normale|gaussiennes]] {{math|(''X''{{ind|1}}, ... , ''X{{ind|n}}'')}} dont l’espérance est inconnue, le quotient de la variance empirique sans biais multiplié par {{math|(''n''-1)}} par la variance réelle suit une loi de [[Loi du χ²|khi-deux]] avec {{math|''n'' – 1}} degrés de liberté d’après le [[théorème de Cochran]].

== Éléments d'histoire ==
[[Ronald Aylmer Fisher|Ronald Fisher]] employa, le premier, le mot de variance, dans un article de 1918 intitulé {{Citation étrangère|lang=en|The Correlation between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance}}
<ref name=RAFisher group="@"> {{pdf}} {{Article
 | langue =en
 | prénom1                = Ronald A.
 | nom1                   = Fisher
 | titre                  = The Correlation between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance.
 | périodique             = Philosophical Transactions of the Royal Society of Edinburgh.
 | volume                 = 52
 | année                  = 1918
 | pages                  = 399–433
 | url texte              = http://digital.library.adelaide.edu.au/dspace/bitstream/2440/15097/1/9.pdf
 | consulté le            = 25 avril 2012
}}.</ref> où il définit la variance comme le carré de l'écart type. Dans ce document il préfère clairement la variance à l'écart type en tant que mesure de la variabilité d'un phénomène observé. Il utilise ce terme à nouveau au congrès de mathématiques de [[Toronto]] en 1924<ref name=JPBHist3 group="@">{{pdf}} {{article|langue=fr|prénom1=Jean-Paul|nom1=Benzécri| titre=Histoire et Préhistoire de l'Analyse des données : Partie 3 | périodique=Les Cahiers de l'analyse des données| volume=1| numéro=3| pages=221-241| mois= |année=1976 |url=http://archive.numdam.org/ARCHIVE/CAD/CAD_1976__1_3/CAD_1976__1_3_221_0/CAD_1976__1_3_221_0.pdf | consulté le=24 avril 2012}}.</ref>. C'est lui qui définit aussi l'[[analyse de la variance]] telle qu'on la pratique aujourd'hui dans son livre {{Citation étrangère|lang=en|Statistical methods for research workers}} paru en 1925<ref name=JMFaverge group="@"> {{pdf}} {{Article
 | prénom1                = J.-M.
 | nom1                   = Faverge
 | titre                  = III. - L'analyse de la variance en psychologie
 | périodique             = L'Année psychologique
 | volume                 = 49
 | numéro                 = 1
 | année                  = 1948
 | pages                  = 341-358
 | url texte              = http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/psy_0003-5033_1948_num_49_1_8365
 | consulté le            = 24 avril 2012
}}.</ref>{{,}}<ref name=Dodge556 group="alpha"/>.

== Applications ==
Le calcul de la variance permet d’en déduire l’[[écart type]]<ref name=Dodge506 group="alpha">{{Harvsp|Dodge|2010|p=506}}</ref> <math>\sigma(X) = \sqrt{\mathbb{V}(X)}</math>, qui est homogène à la variable aléatoire, au [[fonction homogène|sens mathématique]] du terme comme en [[analyse dimensionnelle]].

La variance d’une série statistique apparait dans le calcul des coefficients de la [[régression linéaire]].

L’[[analyse de la variance]] (ANOVA) rassemble des méthodes d’études de comparaisons entre échantillons sur une ou plusieurs variables quantitatives.

La variance d’une variable aléatoire intervient dans le [[théorème central limite]] ainsi que dans l’[[inégalité de Bienaymé-Tchebychev]].

== Variance conditionnelle ==
{{article détaillé|Probabilité conditionnelle}}

Soient deux variables aléatoires {{mvar|Y}} et {{mvar|X}}. On appelle '''variance conditionnelle de {{mvar|Y}} sachant {{mvar|X}}''' la variable aléatoire correspondant à l'[[espérance conditionnelle]] sachant ''X'' du carré de l'écart de Y à l'espérance conditionnelle :
:<math>\operatorname{Var}(Y | X) = \mathbb{E} \left( [Y- \mathbb{E}(Y | X)]^2  | X\right).</math>

Comme toute variable conditionnelle, elle est fonction de {{mvar|X}}.

La variance de {{mvar|Y}} est liée à la variance et l'espérance conditionnelles par le [[théorème de la variance totale]] :
: <math>\operatorname{Var}(Y)=\mathbb{E}(\operatorname{Var}[Y| X])+\operatorname{Var}(\mathbb{E}[Y|X]).</math>

== Variance d'un vecteur aléatoire ==
Si l'on définit {{math|''X''{{ind|''k'' × 1}}}} comme un [[vecteur aléatoire]] qui comporte {{mvar|k}} variables et {{math|Μ}} comme le vecteur des {{mvar|k}} espérances de {{mvar|X}}, on définit alors la variance comme :

{{Théorème|Définition|<math>\Sigma_{k\times k} \equiv \operatorname{Var}[X_{k\times 1}]\equiv \mathbb{E}\left[(X_{k\times 1}-\Mu)\ ^{\operatorname{t}}(X_{k\times 1}-\Mu)\right]</math>}}

Il s'agit alors d'une [[matrice carrée]] de taille {{mvar|k}}, appelée [[matrice de variance-covariance]], qui comporte sur sa diagonale les variances de chaque composante du vecteur aléatoire et en dehors de la diagonale les covariances. Cette matrice est [[matrice symétrique|symétrique]] et [[Matrice autoadjointe positive|semi-définie positive]] ; elle est [[matrice définie positive|définie positive]] si et seulement si la seule combinaison linéaire certaine (c'est-à-dire [[presque sûrement]] constante) des composantes du vecteur aléatoire est celle dont tous les coefficients sont nuls. Le cas contraire signifie que les réalisations du vecteur {{mvar|X}} sont presque sûrement confinées à un [[hyperplan]].

On a les propriétés suivantes :

{{Théorème|Propriété|Si {{mvar|V}} est une matrice carrée de taille <math>k, \operatorname{Var}[V_{k\times k}X_{k\times 1}]=V\operatorname{Var}[X]\ ^{\operatorname{t}}V</math>}}

== Notes et références ==
=== Notes ===
{{Notes}}
<references/>

==== Ouvrages spécialisés ====
{{Références|colonnes = 3|groupe=alpha}}

==== Articles publiés sur internet ====
{{Références|colonnes = 1|group="i"}}
{{Références|colonnes = 1|group="@"}}

== Voir aussi ==

=== Bibliographie ===
* {{fr}} {{Saporta1}}.{{plume}}
* {{fr}} {{Ouvrage|langue=fr|prénom1=Olivier|nom1=Rioul|titre=Théorie des probabilités|lieu=Paris|éditeur=Editions Hermes sciences|année=2008|pages totales=364|isbn=978-2-7462-1720-1|consulté le=5 mars 2012}}.{{plume}}
* {{Ouvrage|prénom1=Yadolah|nom1=Dodge|titre={{Citation étrangère|langue=en|The Concise Encyclopaedia of Statistics}}|lieu=New York|éditeur=Springer|année=2010|pages totales=622|isbn=978-0-387-31742-7|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=k2zklGOBRDwC&printsec=frontcover|consulté le=8 mars 2012}}.{{plume}}

=== Articles connexes ===
* [[Écart type]]
* [[Covariance]]
* [[Analyse de la variance]]
* [[Mesure secondaire]]
* [[Valeur absolue des écarts]]

=== Liens externes ===
{{Liens}}
* {{Lien web
 | auteur                 = Eric W. Weisstein
 | url                    = http://mathworld.wolfram.com/Variance.html
 | titre                  = Variance
 | éditeur                = MathWorld--A Wolfram Web Resource
 | consulté le            = 25 avril 2012
}}
* {{Lien web
 | url                    = http://calculis.net/variance
 | titre                  = Calcul en ligne de la variance
 | éditeur                = Calculis
}}

{{Palette|Probabilités et statistiques}}
{{Portail|probabilités et statistiques}}

[[Catégorie:Statistique descriptive]]
[[Catégorie:Moment (mathématiques)]]