Voir la source de Variation totale d'une fonction

{{Voir homonymes|Variation totale}}
{{Confusion|texte = Ne doit pas être confondu avec la [[Variation d'une mesure|variation totale d'une mesure]].}}

[[Image:Total variation.gif|frame|Alors que le point vert se déplace sur le graphe de la fonction donnée, la longueur du chemin parcouru par la projection sur l'axe ''y'' de ce déplacement, ici montré par un point rouge, représente la variation totale de la fonction.]]

En [[mathématiques]], la '''variation totale''' est liée à la structure (locale ou globale) du [[codomaine]] d'une [[Fonction (mathématiques)|fonction]]. 

Pour une [[Continuité (mathématiques)|fonction continue]] à valeurs réelles ''f'', définie sur un [[intervalle (mathématiques)|intervalle]] [''a'', ''b''] ⊂ ℝ, sa variation totale sur l'intervalle de définition est une mesure de la [[Longueur d'un arc|longueur d'arc]] de la projection sur l'axe des ordonnées de la courbe paramétrée (''x'', ''f''(''x'')), pour ''x'' ∈ [''a'', ''b''].

== Note historique ==
L'idée de variation totale pour les fonctions d'une variable réelle a d'abord été introduite par [[Camille Jordan (mathématicien)|Camille Jordan]]<ref>{{article
| auteur = Camille Jordan
| titre = Sur la série de Fourier
| journal = [[Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences]]
| volume = 92
| pages = 228-230
| année = 1881
| url = https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k7351t/f227
| zbl = 13.0184.01
}}, selon {{Lien web|lang=en|url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Variation_of_a_function|site=[[Encyclopædia of Mathematics]]|titre= Variation of a function|auteur=B. I. Golubov}}.</ref>, afin de démontrer un théorème de convergence pour les [[série de Fourier|séries de Fourier]] de fonctions discontinues périodiques à variation bornée. L'extension du concept aux [[Fonction de plusieurs variables|fonctions de plusieurs variables]] n'est pas si simple.

== Définition ==

=== Fonctions d'une variable réelle ===
La variation totale d'une fonction d'une variable réelle (ou complexe) ''f'', définie sur un intervalle <math> [a , b] \subset \mathbb{R}</math> est donnée par :

:<math> V^a_b(f)=\sup_{\mathcal{P}} \sum_{i=0}^{n_P-1} | f(x_{i+1})-f(x_i) |, \,</math>

où le [[supremum]] vaut sur l'ensemble des partitions <math>  \mathcal{P} =\left\{P=\{ x_0, \dots , x_{n_P}\}|P\text{ est une partition de } [a,b] \right\} </math> de l'intervalle donné.

=== Fonctions de plusieurs variables réelles ===
Soit Ω un sous-ensemble ouvert de ℝ<sup>''n''</sup>. Pour une fonction ''f'' dans ''L''{{1}}(Ω), la variation totale de ''f'' sur Ω est définie par :

:<math> V(f,\Omega):=\sup\left\{\int_\Omega f(x)\operatorname{div}\phi(x)\,\mathrm{d}x\colon \phi\in C_c^1(\Omega,\mathbb{R}^n),\ \Vert \phi\Vert_{L^\infty(\Omega)}\le 1\right\}, </math>

où <math>  C_c^1(\Omega,\mathbb{R}^n)</math> est l'ensemble des [[fonction à valeurs vectorielles|fonctions à valeurs vectorielles]] continûment différentiables à support compact contenu dans Ω, et <math> \Vert\;\Vert_{L^\infty(\Omega)}</math> est la norme liée à la borne supérieure essentielle. On remarquera qu'il n'est pas utile ici d'avoir un domaine <math>\Omega \subseteq \mathbb{R}^n</math> borné.

== Propriétés ==

=== Variation totale de fonctions différentiables ===
La variation totale d'une fonction différentiable peut être donnée par une intégrale dépendant de la fonction plutôt que la borne supérieure de fonctionnelles comme vu auparavant.

==== Variation totale d'une fonction d'une variable réelle dérivable ====
La '''variation totale''' d'une [[Dérivée|fonction dérivable]] ''f'', définie sur un intervalle réel [''a'' , ''b''], peut être exprimée ainsi si sa dérivée ''f{{'}}'' est Riemann-intégrable
:<math> V^a_b(f) = \int _a^b |f'(x)|\mathrm{d}x</math>

==== Variation totale d'une fonction de plusieurs variables réelles différentiable ====
Soit une fonction ''f''  définie et différentiable sur un ensemble ouvert borné <math>\Omega \subseteq \mathbb{R}^n</math>, la variation totale de ''f'' est alors donnée par

:<math>V(f,\Omega) = \int\limits_\Omega\left|\nabla f(x)\right|\mathrm{d}x</math>

où <math>|.|</math> désigne la norme ''l''{{ind|2}}.

{{démonstration|1=On commence par prouver une égalité qui vient du [[théorème de Green-Ostrogradsky]].

:Sous les conditions du théorème, on a :
::<math> \int_\Omega f\,\mathrm{div}\phi = -\int_\Omega\nabla f\cdot\phi </math>

En effet, par le théorème de Green-Ostrogradsky
: <math> \int_\Omega \mathrm{div}\mathbf F = \int_{\partial\Omega}\mathbf F\cdot \mathbf n </math>
en prenant <math>\mathbf F:= f\mathbf\phi</math>, il vient :

:<math> \int_\Omega\text{div}\left(f\mathbf\phi\right) = \int_{\partial\Omega}\left(f\mathbf\phi\right)\cdot\mathbf n </math>
où <math>\mathbf\phi </math> est nulle sur le bord de Ω par définition :
:<math> 0=\int_\Omega\text{div}\left(f\mathbf\phi\right)= \int_\Omega \partial_{x_i} \left(f\mathbf\phi_i\right)= \int_\Omega (\mathbf\phi_i\partial_{x_i} f + f\partial_{x_i}\mathbf\phi_i) \,\Leftrightarrow \,
 \int_\Omega f\partial_{x_i}\mathbf\phi_i = - \int_\Omega \mathbf\phi_i\partial_{x_i} f  \,\Leftrightarrow \, \int_\Omega f\text{div} \mathbf\phi = - \int_\Omega \mathbf\phi\cdot\nabla f </math>

Ainsi, l'égalité suivante est vérifiée :
:<math> \int_\Omega f\text{div} \mathbf\phi = - \int_\Omega \mathbf\phi\cdot\nabla f \leq \left| \int_\Omega \mathbf\phi\cdot\nabla f \right|\leq \int_\Omega \left|\mathbf\phi\right|\cdot\left|\nabla f\right|\leq \int_\Omega \left|\nabla f\right| </math>
Dans le dernier terme, <math>\mathbf\phi</math> peut être écarté, car par définition, sa borne supérieure essentielle vaut au plus 1.

Maintenant, considérons <math>\theta(x):=\frac{\nabla f(x)}{\left|\nabla f(x)\right|}</math> lorsque <math>|\nabla f(x)|\neq 0</math> et <math>\theta(x)=0</math> sinon. Pour <math>\varepsilon>0</math>, soit ensuite <math>\theta^*_\varepsilon</math> une approximation de <math>\theta</math> à <math>\varepsilon</math> près dans <math> C^1_c(\Omega;\mathbb{R}^n)</math> et de même intégrale. Cette approximation est possible car <math> C^1_c</math> est dense dans ''L''{{1}}. Maintenant, en remplaçant dans l'égalité du lemme précédent :

:<math>\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow 0}\int_\Omega f\text{div}\theta^*_\varepsilon  =
\lim\limits_{\varepsilon \rightarrow 0}\int_\Omega\mathbb \theta^*_\varepsilon  \cdot \nabla f =
\int_\Omega \theta \cdot \nabla f = \int_\Omega\left|\nabla f\right|
</math>
On a ainsi une suite convergente de <math>\int_\Omega f\text{div}\mathbf\phi</math> qui tend vers <math>\int_\Omega\left|\nabla f\right|</math> alors qu'on avait <math>\int_\Omega f\text{div}\mathbf\phi \leq \int_\Omega\left|\nabla f\right| </math>, ce qui permet de conclure.

<!--- énoncé assez imprécis...:
On déduit également de la preuve que la borne est atteinte en
: <math>\phi\to \frac{-\nabla f}{\left|\nabla f\right|}.</math> 
--->
}}

On dit que ''f'' est à variation bornée si sa variation totale est finie.

== Applications ==
La variation totale peut être vue comme une fonctionnelle positive d'une variable réelle (pour le cas à une seule variable) ou sur l'espace des fonctions intégrables (pour le cas à plusieurs variables). Comme fonctionnelle, la variation totale trouve plusieurs applications en mathématiques et ingénierie, comme le [[contrôle optimal]], l'[[analyse numérique]], ou le [[calcul variationnel]], où la solution d'un problème doit être à variation totale minimale. On pourra citer deux types de problèmes courants :
* '''analyse numérique des équations différentielles''' : trouver des solutions approchées d'une [[équation différentielle]].
* '''débruitage d'une image''': en [[traitement de l'image]], le débruitage consiste à réduire le [[bruit électronique]] d'une [[image]] reconstruite à partir des données obtenues de façon électronique, par [[transmission de données]] ou [[captation]].

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Total variation|650645354|type=n}}
{{Références}}

==Voir aussi==

===Articles connexes===
* [[Test de Kolmogorov-Smirnov]]
*[[Fonction à variation bornée]]
*[[Décomposition de Jordan]]

{{sources à lier|date=décembre 2015}}
===Bibliographie===
*{{article|lang=en
| auteur1 ={{Lien|Clarence Raymond Adams|texte=C. Raymond Adams}}
| auteur2 ={{Lien|James A. Clarkson}}
| titre = On definitions of bounded variation for functions of two variables
| journal = [[Transactions of the American Mathematical Society|Trans. Amer. Math. Soc.]]
| volume = 35
| pages = 824-854
| année = 1933
| url = http://www.ams.org/journals/tran/1933-035-04/S0002-9947-1933-1501718-2/home.html
| mr = 1501718 
| zbl = 0008.00602
}}
*{{article| lang = it| auteur =[[Cesare Arzelà]]
| titre = Sulle funzioni di due variabili a variazione limitata (On functions of two variables of bounded variation)
| journal = Rendiconto delle sessioni della [[Académie des sciences de l'institut de Bologne|Reale Accademia delle scienze dell'Istituto di Bologna]]
| collection = Nuova serie
| volume = IX
| numéro = 4
| pages = 100-107
| langue =it
| date =1905
| url = https://archive.org/details/rendicontodelle04bologoog
| archiveurl = https://archive.org/stream/rendicontodelle04bologoog#page/n121/mode/2up
| archivedate = 2007-08-07
| doi =
| zbl = 36.0491.02
}}
*{{article
| auteur={{Lien|trad=Lamberto Cesari|Lamberto Cesàri}}
| titre = Sulle funzioni a variazione limitata
| journal =Annali della [[Scuola Normale Superiore]]
| série = II
| volume = 5
| numéro = 3-4
| langue =it
| pages = 299-313
| date =1936
| url = http://www.numdam.org/item?id=ASNSP_1936_2_5_3-4_299_0
| doi =
| mr = 1556778
| zbl = 0014.29605
}}
*{{Ouvrage
| langue=de
| auteur=[[Hans Hahn (mathématicien)|Hans Hahn]]
| titre=Theorie der reellen Funktionen
| lieu=Berlin
| éditeur=[[Springer Verlag]]
| année=1921
| pages totales=VII+600
| lire en ligne=https://archive.org/details/theoriederreelle01hahnuoft
| archiveurl=https://archive.org/details/theoriederreelle01hahnuoft
| archivedate=2008-12-31
}}
*{{Rudin}}
*{{Ouvrage
| auteur =[[Stanisław Saks]]
| titre = Théorie de l'intégrale
|date=1933
| url =http://pldml.icm.edu.pl/pldml/element/bwmeta1.element.dl-catalog-815db228-e798-4436-9812-63c332f30e5b
}}
* {{article
| auteur=[[Giuseppe Vitali]]
| titre = Sui gruppi di punti e sulle funzioni di variabili reali
| journal =Atti dell'[[Accademia delle Scienze di Torino]]
| année = 1908
| volume = 43
| langue =it
| pages = 75-92
| url = https://archive.org/details/attidellarealeac43real
| archiveurl = https://archive.org/stream/attidellarealeac43real#page/228/mode/2up
| archivedate = 2009-03-31
| zbl = 39.0101.05
}}

===Liens externes===
*{{MathWorld|auteur=Todd Rowland|titre=Total Variation|nom_url=TotalVariation}}
*{{Lien web|lang=en|url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Arzel%C3%A0_variation|site=[[Encyclopædia of Mathematics]]|titre=Arzelà variation|auteur=B. I. Golubov}}
*{{Lien web|lang=en|url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Vitali_variation|site=Encyclopædia of Mathematics|titre=Vitali variation|auteur=B. I. Golubov}}
*{{Lien web|lang=en|url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Hardy_variation|site=Encyclopædia of Mathematics|titre=Hardy variation|auteur=B. I. Golubov}}
*{{Lien web|lang=en|url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Pierpont_variation|site=Encyclopædia of Mathematics|titre=Pierpont variation|auteur=B. I. Golubov}}
*{{Lien web|lang=en|url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Tonelli_plane_variation|site=Encyclopædia of Mathematics|titre=Tonelli plane variation|auteur=B. I. Golubov}}
*{{Lien web|lang=en|url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Variation_of_a_function|site=Encyclopædia of Mathematics|titre=Variation of a function|auteur1=Boris I. Golubov|auteur2 = [[Anatoli Vitushkine|Anatoli G. Vitushkin]]}}

=== Applications ===
*{{article|lang=en| auteur1 = Vincent Caselles | auteur2 =Antonin Chambolle | auteur3 = Matteo Novaga |titre=The discontinuity set of solutions of the TV denoising problem and some extensions
 | url = {{Lien brisé|url=http://cvgmt.sns.it/papers/caschanov07/|titre=lire en ligne}}
 | éditeur = [[Society for Industrial and Applied Mathematics|SIAM]]
 | périodique = Multiscale Modeling and Simulation
 | volume = 6 
 | numéro = 3
 | année = 2007}} (application de la variation totale en débruitage pour le traitement de l'image).
*{{article|lang=en
 | auteur1 = Leonid I. Rudin | auteur2 = Stanley Osher | auteur3 = Emad Fatemi 
 | titre = Nonlinear total variation based noise removal algorithms
 |doi=10.1016/0167-2789(92)90242-F
 | périodique = Physica D: Nonlinear Phenomena 
 | numéro = 60.1
 | pages = 259-268
 | année = 1992}}.
*{{article|lang=en
 | auteur1 = Peter Blomgren | auteur2 = Tony F. Chan
 | titre = Color TV: total variation methods for restoration of vector-valued images
 |doi=10.1109/83.661180
 | périodique = Image Processing, IEEE Transactions 
 | volume = 7 
 | numéro = 3 
 | pages = 304-309
 | année = 1998}}.
*{{en}} Tony F. Chan et Jackie (Jianhong) Shen (2005), ''Image Processing and Analysis - Variational, PDE, Wavelet, and Stochastic Methods'', [[Society for Industrial and Applied Mathematics|SIAM]], {{ISBN|0-89871-589-X}} {{Traduire
 | texte original = (with in-depth coverage and extensive applications of Total Variations in modern image processing, as started by {{Harvsp|Rudin|Osher|Fatemi|1992}}).| traduction =}}

{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Fonction mathématique]]