Voir la source de Vecteur d'onde

{{Homon|onde (homonymie)}}
En [[physique]], un '''vecteur d'onde''' (ou « vecteur de phase » notamment en électronique) est un [[vecteur]] utilisé pour décrire une [[onde]] , avec un [[Norme (mathématiques)|module]]  et une direction. Le [[Norme (mathématiques)|module]] du vecteur d'onde est le [[nombre d'onde]] soit l'inverse de la longueur d'onde. Cependant on utilise communément le vecteur d'onde angulaire dans la plupart des champs de la physique où le module est égal à <math>2\pi </math> divisé par la longueur d'onde. La direction du vecteur d'onde est généralement la direction de propagation de l'onde (mais pas toujours, voir ci-dessous). Pour une [[onde monochromatique]], ce vecteur est perpendiculaire au [[front d'onde]].

Pour la [[lumière]], et en [[relativité restreinte]] et [[relativité générale|générale]], la [[fréquence]] est associée au vecteur d'onde, ce qui donne le [[quadrivecteur]] d'onde.

== Utilisation ==

Le vecteur d'onde est très utile pour généraliser l'équation d'une [[onde]] à la description d'une famille d'ondes. Si toutes les ondes d'une famille se propagent dans la même direction et possèdent la même [[longueur d'onde]], elles peuvent toutes être décrites par le même vecteur d'onde. Le cas le plus courant d'une famille d'ondes respectant ces conditions est celle d'une [[onde plane]], pour laquelle la famille d'ondes est également [[cohérence (physique)|cohérente]] (toutes les ondes possèdent la même [[Phase (onde)|phase]]).

== Définitions ==

[[Fichier:Sine wavelength.svg|vignette|''λ'', la [[longueur d'onde]] d'une [[Signal sinusoïdal|onde sinusoïdale]], est la distance physique entre deux points de la courbe qui possèdent la même [[phase (onde)|phase]], par exemple deux pics, deux creux ou deux passages à zéro avec la même pente.]]

Il existe deux définitions du vecteur d'onde, dont la différence est un facteur <math>2\pi</math> dans son module. L'une d'elles est préférée en physique et ses différents domaines, l'autre en [[cristallographie]]<ref>exemple de définition « physique »{{Ouvrage| auteur1=Harris| auteur2=Benenson| auteur3=Stöcker| titre=Handbook of Physics| éditeur=| année=2002| pages totales=1186| passage=288| isbn=978-0-387-95269-7| lire en ligne=https://books.google.com/books?id=c60mCxGRMR8C&pg=PA288}}. et de définition « cristallographique » {{Ouvrage| auteur1=Vaĭnshteĭn| titre=Modern Crystallography| éditeur=| année=1994| pages totales=482| passage=259| isbn=978-3-540-56558-1| lire en ligne=https://books.google.com/books?id=xjIGV_hPiysC&pg=PA259}}</ref>. Dans la suite de cet article, ces deux définitions seront appelées « définition physique » et « définition cristallographique ».

=== Définition physique ===

Une [[onde progressive]] parfaite unidimensionnelle peut s'exprimer comme :
:<math>\psi(x,t) = A \cos (k x - \omega t+\varphi)</math>
où :
* <math>
 x</math> est la position ;
* <math>
 t</math> est le temps ;
* <math>\psi</math> (une fonction de <math>
 x</math> et de <math>
 t</math>) est la perturbation décrivant l'onde (par exemple pour une [[vague]], <math>\psi</math> représenterait la hauteur supplémentaire d'eau, ou pour une [[onde sonore]], <math>\psi</math> serait la surpression de l'air) ;
* <math>
 A</math> est l'[[amplitude]] de l'onde (l'amplitude maximale de l'oscillation) ;
* <math>\varphi</math> est le [[déphasage]] de l'onde, décrivant la désynchronisation possible entre deux ondes ;
* <math>\omega</math> est la [[fréquence angulaire]] ou pulsation de l'onde, c'est-à-dire le nombre d'oscillations que l'onde complète par unité de temps ; elle est directement liée à la [[Phénomène périodique|période]] <math>T</math> de l'onde par l'équation <math>\omega=2\pi/T</math> ;
* <math>k</math> est appelé vecteur d'onde et est directement liée à la [[longueur d'onde]] par l'équation <math>|k|=2\pi/\lambda</math>. C'est la [[fréquence spatiale|fréquence angulaire spatiale]] de l'onde. Cette quantité indique la variation de la phase <math>k\,x - \omega \, t + \varphi</math> de l'onde quand la position <math>
 x</math> augmente d'une unité (d'où l'unité du vecteur d'onde, en radians par mètres).

Une telle onde progressive se déplace avec une vitesse (plus précisément, [[vitesse de phase]]) <math>\omega/k</math>.

Dans le cas d'une onde plane progressive tridimensionnelle, le vecteur d'onde est vraiment un vecteur, noté <math>
 \vec k</math>, et la variable d'espace est le vecteur position <math>
 \vec r</math> :

:<math>
 \psi \left(\vec r, t \right) = A \cos
 \left(
 \vec k \cdot \vec r - \omega t - \varphi
 \right)</math>
Le produit <math>k \, x</math> précédent était un cas particulier du produit scalaire <math>{\vec k} \cdot {\vec r}</math> pour <math>\vec k = k \, \vec e_x</math>.

Par convention, on continue à appeler "vecteur d'onde" la norme <math>
 k = \left \| \vec k \right \| = 2 \pi / \lambda</math> du vecteur d'onde <math>
 \vec k</math>. Le contexte est en général clair.

Certains nomment aussi <math>k=2\pi/\lambda</math> le nombre d'onde ''angulaire'', puisque <math>1/\lambda</math> est le [[nombre d'onde]] qui est la fréquence spatiale.

=== Définition cristallographique ===

En [[cristallographie]], cette même onde est décrite par une équation légèrement différente<ref>{{Ouvrage|prénom1=Boris Konstantinovich|nom1=Vaĭnshteĭn|titre=Modern Crystallography|éditeur=|année=1994|pages totales=482|passage=259|isbn=978-3-540-56558-1|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=xjIGV_hPiysC&pg=PA259}}</ref>. Pour une onde unidimensionnelle :
:<math>\psi(x,t) = A \cos (2 \pi (k x - \nu t)+\varphi)</math>

et pour une onde tridimensionnelle :
:<math>\psi \left({\mathbf r}, t \right) = A \cos \left(2\pi({\mathbf k} \cdot {\mathbf r} - \nu t) + \varphi \right)</math>

Les différences sont :
* <math>\nu</math>, la [[fréquence]], utilisée à la place de la fréquence angulaire, <math>\omega</math>. Ces deux quantités sont liées par l'équation <math>2\pi \nu=\omega</math>.
* Le nombre d'onde ''k'' et le vecteur d'onde '''k''' sont définis de façons différentes. Ici, <math>k=|{\mathbf k}| = 1/\lambda</math>, alors que dans la définition physique, <math>k=|{\mathbf k}| = 2\pi/\lambda</math>.

La direction de '''k''' est discutée ci-dessous.

== Direction du vecteur d'onde ==
{{article principal|Vitesse de groupe}}

La direction dans laquelle pointe un vecteur d'onde doit être différenciée de la direction de propagation de l'onde. Cette dernière est la direction du flux d'énergie de l'onde, et la direction dans laquelle un petit [[paquet d'onde]] va bouger, c'est-à-dire la direction de la [[vitesse de groupe]]. Pour les [[Onde électromagnétique|ondes électromagnétiques]], c'est également la direction du [[vecteur de Poynting]]. La direction du vecteur d'onde correspond, elle, à celle de la [[vitesse de phase]], c'est-à-dire qu'il pointe dans la direction [[Normale à une surface|normale]] à la surface d'égale phase de l'onde, c'est-à-dire le [[front d'onde]].

Dans un milieu [[isotropie|isotrope]] sans perte, tel que l'air, n'importe quel gaz, liquide et certains solides (comme le [[verre]]), ces deux directions sont identiques : le vecteur d'onde pointe alors exactement dans la même direction que celle de la propagation de l'onde. En revanche, dans un milieu avec pertes, le vecteur d'onde pointe en général dans une direction différente. La condition pour que les deux pointent dans la même direction est que l'onde soit homogène, ce qui n'est pas nécessairement le cas dans un milieu avec pertes. Dans une onde homogène, la surface d'égale phase de l'onde est aussi la surface d'égale amplitude. Pour les ondes inhomogènes, ces deux surfaces ont des orientations différentes, et le vecteur d'onde reste toujours perpendiculaire à la surface d'égale phase.

Quand une onde se propage dans un milieu [[anisotropie|anisotrope]], par exemple quand une onde lumineuse passe dans un cristal non cubique ou qu'une onde sonore passe à travers une [[roche sédimentaire]], le vecteur d'onde peut ne pas pointer dans la direction exacte de propagation de l'onde<ref name=fowles>{{Ouvrage|prénom1=Grant|nom1=Fowles|titre=Introduction to modern optics|éditeur=Holt, Rinehart, and Winston|année=1968|passage=177}}</ref>{{,}}<ref name=pollard>{{citation|Cet effet a été expliqué par Musgrave (1959), qui a montré que l'énergie d'une onde inélastique dans une milieu anisotrope ne va, en général, pas se propager par le même chemin que la normale au front d'onde...}}, ''Sound waves in solids'' by Pollard, 1977. [https://books.google.com/books?id=EOUNAQAAIAAJ link]</ref>.

== Onde plane électromagnétique ==

La valeur <math>\psi</math> peut aussi bien désigner la valeur complexe de la projection suivant un axe (x par exemple) d'un champ électrique

<math>
 \vec {\mathbf E} = \begin{bmatrix}
 E_{0} \cdot 
 e^{ i \phi_{E} }\cdot 
 e^{ i \left( \vec k \cdot \vec r - \omega t \right ) } \\
 0 \\
 0 \\ 
 \end{bmatrix}
</math>

Ou tout aussi bien la valeur complexe de la projection suivant un axe (y par exemple) d'un champ magnétique

<math>
 \vec {\mathbf B} = \begin{bmatrix}
 0 \\ 
 B_{0} \cdot 
 e^{ i \phi_{B} }\cdot 
 e^{ i \left( \vec k \cdot \vec r - \omega t \right ) } \\
 0 \\
 \end{bmatrix}
</math>

Dans le cas de l'approximation d'une [[onde plane]] ces deux vecteurs et le vecteur d'onde (placé dans ce cas suivant l'axe z) forment un [[trièdre]] orthogonal.

<math>
 \vec {\mathbf K} = 
 \begin{bmatrix}
 0 \\ 0 \\ k_{z} \\ 
 \end{bmatrix} 
</math>

De nombreuses démonstrations faites avec les [[Nombre complexe|nombres complexes]] (et des exponentielles) s'avèrent non seulement plus élégantes mais aussi plus simples à comprendre. Le résultat doit cependant être transformé en [[nombre réel]] en respectant la convention de signe choisie : i ou -i.

== Quadrivecteur d'onde en relativité ==
Le {{terme défini|quadrivecteur d'onde}}{{sfn|Heyvaerts|2012|loc={{chap.|7}}, {{nobr|sect. 7.6}}, {{§|7.6.3}}|p=143}}{{,}}{{sfn|Pérez|2016|loc={{chap.|3}}, {{nobr|sect. {{IV}}}}, {{§|{{IV}}.2}}|p=57}}{{,}}{{sfn|Taillet|Villain|Febvre|2013|loc={{s.v.}} quadrivecteur d'onde|p=564, {{col.|1}}}} est le [[quadrivecteur]] qui réunit la [[Fréquence#Pulsation|pulsation]]{{sfn|Pérez|2016|loc={{chap.|3}}, {{nobr|sect. {{IV}}}}, {{§|{{IV}}.2}}|p=57}} et le vecteur d'onde{{sfn|Pérez|2016|loc={{chap.|3}}, {{nobr|sect. {{IV}}}}, {{§|{{IV}}.2}}|p=57}}{{,}}{{sfn|Taillet|Villain|Febvre|2013|loc={{s.v.}} quadrivecteur d'onde|p=564, {{col.|1}}}}.

Avec <math>\mu=\left(0,1,2,3\right)=\left(ct,x,y,z\right)</math>, il est noté{{sfn|Cheng|2005|loc={{nobr|part. {{III}}}}, {{chap.|10}}, {{nobr|sect. 10.2}}, {{nobr|box 10.1}}|p=204}} :
:<math>k^\mu=\left(\frac{\omega}{c},k_x,k_y,k_z\right)</math>.

En ce qui concerne les ondes électromagnétiques, on peut introduire un [[quadrivecteur]] d'onde <math>K_{4} = \left({\omega \over c} ; k_{x} ; k_{y} ; k_{z} \right)</math> et un quadrivecteur position <math>\ R_{4}= (ct ; x ; y ; z)</math> issus de l'[[espace de Minkowski]], et en utilisant la [[forme bilinéaire]] de l'espace de Minkowski, on a :
:<math>\psi \left( t , \vec {\mathbf r} \right) = A_{0} \cdot e^{i \phi} \cdot e^{i K_{4} \cdot R_{4}}</math>
avec c la [[vitesse de la lumière]].

Le comportement des composantes du quadrivecteur d'onde sous une [[Transformations de Lorentz|transformation de Lorentz]] permet de rendre compte de l'[[effet Doppler relativiste]] et de l'[[Aberration de la lumière|effet d'aberration]]{{sfn|Taillet|Villain|Febvre|2013|loc={{s.v.}} quadrivecteur d'onde|p=564, {{col.|1}}}}.

Le quadrivecteur d'onde <math>k</math> est relié au [[Quadri-moment|quadrivecteur énergie-impulsion]] <math>p</math> par{{sfn|Taillet|Villain|Febvre|2013|loc={{s.v.}} quadrivecteur d'onde|p=564, {{col.|1}}}} :
:<math>p=\hbar k</math>,
où <math>\hbar=\frac{h}{2\pi}</math> est la constante dite de Dirac.

L'égalité est utilisée afin d'exprimer, par cette seule équation quadrivectorielle, les relations respectivement proposées par [[Albert Einstein]] ({{date-|1879}}-{{date-|1955}}) et [[Louis de Broglie]] ({{date-|1892}}-{{date-|1987}}) pour la [[dualité onde-corpuscule]] des [[Physique quantique|particules quantiques]], à savoir : <math>E=\hbar\omega</math> et <math>\vec{p}=\hbar\vec{k}</math>{{sfn|Taillet|Villain|Febvre|2013|loc={{s.v.}} quadrivecteur d'onde|p=564, {{col.|1}}}}. Pour une onde se propageant à la vitesse <math>c</math>, ce qui correspond à une particule de masse nulle, la quadrivecteur d'onde est de [[Genre (relativité)|genre lumière]], sa norme étant nulle{{sfn|Taillet|Villain|Febvre|2013|loc={{s.v.}} quadrivecteur d'onde|p=564, {{col.|1}}}}.

== Notes et références ==

{{Références}}

== Voir aussi ==

=== Bibliographie ===
* {{Ouvrage | langue=en | prénom=Ta-Pei | nom=Cheng | titre=Relativity, gravitation, and cosmology | sous-titre=a basic introduction | lieu=Oxford et New York | éditeur=[[Oxford University Press|OUP]] | collection=Oxford master series in physics | série=particle physics, astrophysics, and cosmology | numéro dans collection=11 | date=2/2005 | numéro d'édition=1 | pages totales={{XIII}}-340 | format livre={{dunité|18,9|24,6|cm}} | isbn1=0-19-852956-2 | isbn2=0-19-852957-0 | ean=9780198529576 | oclc=424022544 | bibcode=2005rgc..book.....C | sudoc=093613520 | présentation en ligne=https://global.oup.com/ukhe/product/relativity-gravitation-and-cosmology-9780199573646 | lire en ligne={{Google Livres|id=zsAiTl5hTLMC}} | consulté le=20 mars 2022 | libellé=Cheng 2005}}.
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom=Jean | nom=Heyvaerts | titre=Astrophysique | sous-titre=étoiles, univers et relativité | lieu=Malakoff | éditeur=[[Éditions Dunod|Dunod]] | collection=Science sup | date=8/2012 | numéro d'édition=2 | réimpression={{date-|3/2021}} | année première édition={{date-|8/2006}} | pages totales={{X}}-384 | format livre={{dunité|17|24|cm}} | isbn10=2-10-058269-0 | isbn1=978-2-10-058269-3 | isbn2=978-2-10-082759-6 | ean=9782100582693 | oclc=816556703 | bnf=42740481q | sudoc=163817030 | présentation en ligne=https://www.dunod.com/sciences-techniques/astrophysique-etoiles-univers-et-relativite-0 | lire en ligne={{Google Livres|id=hFQmEAAAQBAJ}} | consulté le=20 mars 2022 | libellé=Heyvaerts 2012}}.
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom=José-Philippe | nom=Pérez | champ libre=collab. Éric Anterrieu | titre=Relativité | sous-titre=fondements et applications | lieu=Paris | éditeur=[[Éditions Dunod|Dunod]], hors {{coll.}} | date=5/2016 | réimpression={{date-|10/2017}} | numéro d'édition=3 | année première édition={{date-|9/1999}} | pages totales={{XXIII}}-439 | format livre={{dunité|17,7|24|cm}} | isbn10=2-10-074717-7 | isbn1=978-2-10-077295-7 | isbn2=978-2-10-074717-7 | ean=9782100772957 | oclc=949876980 | bnf=450330711 | sudoc=193153297 | présentation en ligne=https://www.dunod.com/sciences-techniques/relativite-fondements-et-applications-avec-150-exercices-et-problemes-resolus-0 | lire en ligne={{Google Livres|id=qeA3DAAAQBAJ}} | consulté le=20 mars 2022 | libellé=Pérez 2016}}.
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom1=Richard | nom1=Taillet | prénom2=Loïc | nom2=Villain | prénom3=Pascal | nom3=Febvre | titre=Dictionnaire de physique | lieu=Louvain-la-Neuve | éditeur=[[Groupe De Boeck|De Boeck Supérieur]], hors {{coll.}} | date=2/2013 | numéro d'édition=3 | année première édition={{date-|5/2008}} | pages totales={{X}}-899 | format livre={{dunité|17|24|cm}} | isbn10=2-8041-7554-5 | isbn=978-2-8041-7554-2 | ean=9782804175542 | oclc=842156166 | bnf=435416710 | sudoc=167932349 | présentation en ligne=https://www.deboecksuperieur.com/ouvrage/9782807307445-dictionnaire-de-physique | lire en ligne={{Google Livres|id=BKOqDgAAQBAJ}} | consulté le=20 mars 2022 | libellé=Taillet, Villain et Febvre 2013}}.

=== Articles connexes ===
* [[Onde]]
* [[Nombre d'onde]]
* [[Espace réciproque]]
* [[Vecteur de Poynting]]
* [[Équations de Maxwell]]

{{Portail|physique}}

[[Catégorie:Mécanique ondulatoire]]
[[Catégorie:Électromagnétisme]]
[[Catégorie:Vecteur|Onde]]