Voir la source de Vecteur de Killing

{{Homonymes|Killing}}
[[Fichier:Killing-vector-s2.png|vignette|<nowiki>Le champ de vecteurs suivant l'expression K=sin⁡ϕeθ+cot⁡θcos⁡ϕeϕ et ses lignes intégrales crées avec POVRAY.</nowiki>]]
En [[mathématiques]], un '''vecteur de Killing'''{{note|groupe=N|texte=Le terme '''vecteur''' est un abus de langage classique en physique, qui assimile par facilité élément et ensemble, [[vecteur]] et [[champ vectoriel|champ de vecteurs]].}}, ou '''champ de Killing''', est un [[champ vectoriel]]{{sfn|Alkseevskiĭ|1995|p=391, {{col.|2}}}}{{,}}{{sfn|Penrose|2007|loc={{chap.|14}}, {{§|14.7}}|p=312}}{{,}}{{sfn|Taillet|Villain|Febvre|2018|loc={{s.v.}}Killing (vecteur de)|p=411, {{col.|1}}}} sur une [[Variété pseudo-riemannienne|variété (pseudo-)riemannienne]]{{sfn|Penrose|2007|loc={{chap.|14}}, {{§|14.7}}|p=312}} qui conserve la [[métrique (mathématiques)|métrique]] de cette variété et met en évidence les symétries continues{{sfn|Penrose|2007|loc={{chap.|14}}, {{§|14.7}}|p=312}}{{,}}{{sfn|Taillet|Villain|Febvre|2018|loc={{s.v.}}Killing (vecteur de)|p=411, {{col.|1}}}} de celle-ci.

Intuitivement un vecteur de Killing peut être vu comme un « champ de [[Déplacement (géométrie)|déplacement]] » <math>\xi</math>, c'est-à-dire associant à un point ''M'' de la variété le point ''M<nowiki>'</nowiki>'' défini par le déplacement de ''M'' le long de la courbe passant par ''M'' dont <math>\xi</math> est le vecteur tangent. Sa propriété fondamentale est que ce champ représente une [[isométrie]], c'est-à-dire qu'il conserve les distances. Ainsi, la distance entre deux points ''M'' et ''N'' est égale à la distance entre leurs images ''M<nowiki>'</nowiki>'' et ''N<nowiki>'</nowiki>'' par l'action de <math>\xi</math>.

Appliqué à une surface (variété de dimension 2) vue comme étant plongée dans un espace à trois dimensions, un tel champ permet par exemple de la faire « glisser » sur elle-même, sans qu'elle ne se déchire ni se plisse.

La formulation mathématique de cette propriété est appelée [[équation de Killing]]. Elle stipule que la [[dérivée de Lie]] de la [[métrique riemannienne]] par rapport au vecteur de Killing <math>\xi</math> est nulle, soit, dans un [[système de coordonnées]] quelconque,
:<math>D_a \xi_b + D_b \xi_a = 0</math>,
''D'' étant la [[dérivée covariante]] associée à la métrique.

À partir de celle-ci, on en déduit un certain nombre de propriétés associées aux vecteurs de Killing.

== Histoire ==
L'[[Éponymie|éponyme]] du vecteur est [[Wilhelm Killing|Wilhelm {{abréviation discrète|K. J.|Karl Joseph}} Killing]] ({{date-|1847|en science}}-{{date-|1923|en science}}), [[mathématicien]] [[Allemagne|allemand]] qui l'a introduit en {{date|1892|en science}}{{sfn|Hawkins|2000|loc={{chap.|4}}, {{§|4.5}}|p=128, {{n.|20}}}}{{,}}{{sfn|Hawkins|2000|p=530}}{{,}}{{sfn|Misner|Thorne|Wheeler|1973|loc={{chap.|25}}, {{§|25.2}}|p=650, {{n.|histor.}}}}{{,}}{{sfn|Misner|Thorne|Wheeler|1973|loc=|p=1238, {{col.|1}}}}{{,}}{{sfn|Killing|1892|p=167}}.

== Propriétés ==

=== Divergence ===

En contractant l'équation de Killing avec la métrique, on obtient immédiatement :
:<math>D_a \xi^a = 0</math>.
Un vecteur de Killing est toujours à [[Divergence (analyse vectorielle)|divergence]] nulle.

=== Constantes du mouvement ===

Le [[produit scalaire]] d'un vecteur de Killing avec le [[vecteur tangent]] d'une [[géodésique]] est constant le long d'une trajectoire. Si on note <math>u^a</math> ce vecteur tangent, on a donc
:<math>\frac{D}{d \tau} (u^a \xi_a) = 0</math>,
l'opérateur <math>D / d \tau</math> représentant la dérivée par rapport à un [[paramètre affine]] de la géodésique. 
{{boîte déroulante|align=left|titre=Démonstration|contenu=
L'opérateur <math>D / d \tau</math> peut se réécrire, d'après la définition d'une géodésique, 
:<math>D / d \tau = u^b D_b</math>.
On a donc
:<math>\frac{D}{d \tau} (u^a \xi_a) = u^b D_b (u^a \xi_a)</math>.
En utilisant la [[Règle du produit|règle de Leibniz]] des dérivées, on obtient alors
:<math>u^b D_b (u^a \xi_a) = u^b u^a D_b \xi_a + u^b \xi_a D_b u^a</math>.
Le second terme de l'égalité est nul. En effet, la définition même d'une géodésique est que son vecteur tangent est conservé le long de la géodésique, soit
:<math>\frac{D}{d \tau} u^a = u^b D_b u^a = 0</math>.
Le premier terme de l'égalité est également nul. En effet, l'équation de Killing indique que le tenseur <math>D_a \xi_b</math> est antisymétrique. Sa contraction avec un tenseur symétrique est donc nulle. Ainsi, on a bien
:<math>\frac{D}{d \tau} (u^a \xi_a) = 0</math>.
}}
Cette propriété est particulièrement utile pour intégrer l'équation des géodésiques. En effet, l'existence d'un nombre suffisant de vecteurs de Killing permet alors d'exhiber un nombre suffisant de [[constante du mouvement|constantes du mouvement]] qui permettent la résolution immédiate et explicite de l'[[équation des géodésiques]]. Un exemple simple est celui de la [[métrique de Schwarzschild]], qui est à la fois à [[symétrie sphérique]] et statique. La première propriété permet d'exhiber deux vecteurs de Killing et la seconde un vecteur de Killing supplémentaire. Les constantes du mouvement associées sont la norme du [[moment cinétique]], sa projection le long d'un axe, et une quantité qui dans une approche [[non relativiste]] pourrait être identifiée à l'[[énergie]] de la particule. Ainsi les lois habituelles de conservation de l'énergie et du moment cinétique de la [[mécanique classique]] se traduisent-elles en [[relativité générale]] par l'existence de vecteurs de Killing.

=== Relation avec le [[tenseur de Riemann]] ===

En prenant la dérivée de l'équation de Killing et en utilisant les propriétés de commutation des dérivées covariantes, l'on obtient une équation reliant la [[dérivée seconde]] d'un vecteur de Killing au [[tenseur de Riemann]]. Cette relation s'écrit :
:<math>D_{ab} \xi_c = - R^d_{\;acb} \xi_d</math> .
{{boîte déroulante|align=left|titre=Démonstration|contenu=
À partir de l'équation de Killing, on effectue une dérivation supplémentaire. On obtient donc :
:<math>D_{ca} \xi_b + D_{cb} \xi_a = 0</math>.
Les dérivées covariantes ne commutent pas en général, mais peuvent être commutées si on leur adjoint un terme supplémentaire faisant appel au tenseur de Riemann (c'est même la définition du tenseur de Riemann) :
:<math>D_{cb} \xi_a = D_{bc} \xi_a - R^d_{\;acb} \xi_d</math> .
On obtient ainsi
:<math>D_{ca} \xi_b + D_{bc} \xi_a = R^d_{\;acb} \xi_d</math> .
On peut réécrire cette équation en effectuant des permutations sur les indices ''a'', ''b'' et ''c'' :
:<math>D_{ab} \xi_c + D_{ca} \xi_b = R^d_{\;bac} \xi_d</math> .
:<math>D_{bc} \xi_a + D_{ab} \xi_c = R^d_{\;cba} \xi_d</math> .
En effectuant la somme de ces trois égalités, on obtient
:<math>2 D_{ca} \xi_b + 2 D_{bc} \xi_a + 2 D_{ab} \xi_c = (R^d_{\;acb} + R^d_{\;bac} + R^d_{\;cba}) \xi_d</math> .
En vertu de la première [[Identités de Bianchi|identité de Bianchi]], les termes du membre de droite s'annulent. On a donc
:<math>D_{ca} \xi_b + D_{bc} \xi_a + D_{ab} \xi_c = 0</math> .
En soustrayant ceci à la première égalité faisant intervenir le tenseur de Riemann, il vient alors
:<math>D_{ab} \xi_c = - R^d_{\;acb} \xi_d</math> .
}}

Cette relation possède nombre de conséquences intéressantes :
* En la contractant sur ''a'' et ''b'', on obtient une relation entre le [[d'alembertien]] du champ et le [[tenseur de Ricci]] :
*:<math>D_a D^a \xi_c = - R^d_{\;c} \xi_d</math> .
*Il s'agit là d'une équation assez semblable à celle du [[potentiel vecteur]] en [[électromagnétisme]] dans la [[jauge de Lorentz]] (d'autant que de même que le potentiel vecteur est de divergence nulle dans la jauge de Lorentz, le vecteur de Killing est également par construction de divergence nulle). La seule différence vient du signe du tenseur de Ricci qui est l'opposé de celui que l'on trouve en électromagnétisme. Dans le cas où le tenseur de Ricci s'annule, l'analogie entre vecteur de Killing et potentiel vecteur est encore plus grande (les deux obéissent exactement à la même équation).
* Cette équation, appliquée le long d'une géodésique, implique que le vecteur de Killing le long de cette géodésique est entièrement déterminé par sa valeur et celle de ses dérivées en un point. Par extension, le vecteur de Killing dans toute la variété est entièrement déterminé par ses valeurs et celle de ses dérivées en un seul point.
* Par suite, si la dimension de la variété est ''n'', la donnée du vecteur de Killing est déterminée par ''n'' nombres (ses composantes), et ses dérivées par ''n''&nbsp;(''n''&nbsp;-&nbsp;1)&nbsp;/&nbsp;2 composantes (du fait de l'antisymétrie de l'équation de Killing). Le nombre maximum de vecteurs de Killing pouvant exister sur une variété de dimension ''n'' est donc ''n''&nbsp;(''n''&nbsp;+&nbsp;1)&nbsp;/&nbsp;2. Une variété possédant son nombre maximum de vecteurs de Killing est dite à [[espace à symétrie maximale|symétrie maximale]]. L'[[espace de de Sitter]] est un exemple d'espace à symétrie maximale.
* Plus généralement, il est commode de classer les variétés de dimension données en fonction de leurs vecteurs de Killing. Cette classification, appliquée à une certaine catégorie d'espace-temps de dimension 4 (les [[espace homogène|espaces homogènes]]), s'appelle [[classification de Bianchi]].

=== Relations avec le [[théorème de Noether (physique)|théorème de Noether]] ===

La contraction d'un vecteur de Killing avec le [[tenseur énergie-impulsion]] <math>T^{ab}</math> permet d'exhiber un vecteur de divergence nulle.
{{boîte déroulante|align=left|titre=Démonstration|contenu=
En effet, la divergence de la quantité <math>T^{ab} \xi_b</math> donne
:<math>D_a (T^{ab} \xi_b) = T^{ab} D_a \xi_b + \xi_b D_a T^{ab}</math>.
Le premier terme est nul, car il est la contraction d'un tenseur symétrique (<math>T^{ab}</math>) et d'un tenseur antisymétrique (<math>D_a \xi_b</math>, d'après l'équation de Killing). Le second terme est également nul car le tenseur énergie impulsion est par définition de divergence nulle (<math>D_a T^{ab} = 0</math>).
On a donc
:<math>D_a (T^{ab} \xi_b) = 0</math>.
}}
L'existence de ce vecteur de divergence nulle permet alors de définir des quantités conservées par l'intermédiaire du [[théorème de Noether (physique)|théorème de Noether]].

Dans l'[[espace de Minkowski]] et des [[coordonnées cartésiennes]], le vecteur <math>\partial / \partial t</math>, noté <math>\partial_t</math> est un vecteur de Killing, qui dit simplement que l'espace de Minkowski est [[invariant]] par translation dans le temps. Cela implique alors la [[conservation de l'énergie]]{{note|groupe=N|texte=La quantité conservée est le [[facteur de Lorentz]] &gamma;, qui a une constante près est égal dans la limite non relativiste à la somme de l'[[énergie de masse]] et de l'[[énergie cinétique]].}}. De même, les vecteurs <math>\partial_{x^i}</math> sont également des vecteurs de Killing. Cela implique la conservation de la [[quantité de mouvement]]. Aucun de ces vecteurs n'est cependant un vecteur de Killing dans un univers en [[expansion de l'Univers|expansion]]. C'est la raison pour laquelle l'énergie du [[rayonnement électromagnétique]] n'est pas conservée au cours du temps : c'est le phénomène de [[décalage vers le rouge]]. D'une manière générale, il n'y a pas forcément de vecteurs de Killing dans un [[espace-temps]] quelconque. Cela implique qu'en [[relativité générale]], il n'y a ''pas'' conservation de l'énergie, sauf cas particuliers, comme celui des espaces [[platitude asymptotique|asymptotiquement plat]]s.

Toujours dans l'espace de Minkowski, les vecteurs <math>x \partial_y - y \partial_x</math>, <math>y \partial_z - z \partial_y</math>, <math>z \partial_x - x \partial_z</math> sont également des vecteurs de Killing. L'existence de ces vecteurs implique la conservation du [[moment cinétique]]. De même, les vecteurs <math>x_i \partial_t + t \partial_{x_i}</math> sont trois vecteurs de Killing. Dans la limite non relativiste, ils correspondent à la quantité <math>x^i - v^i t</math>, soit la valeur de la ''i''{{e}} coordonnée à l'instant <math>t = 0</math>{{note|groupe=N|texte=Dans le cas relativiste, la quantité conservée est la position multipliée par le [[facteur de Lorentz]], qui lui-même est une quantité conservée du fait que <math>\partial_t</math> est un vecteur de Killing (voir plus haut).}}. Ces vecteurs, au nombre de 10, forment tous les vecteurs de Killing [[Indépendance linéaire|linéairement indépendants]] de l'espace de Minkowski.

=== [[Algèbre de Lie]] des vecteurs de Killing ===

Le [[crochet de Lie]] de deux vecteurs de Killing <math>\xi</math> et <math>\zeta</math> est également un vecteur de Killing
{{boîte déroulante|align=left|titre=Démonstration|contenu=
Le crochet de Lie de <math>\xi</math> par <math>\zeta</math> s'écrit, en termes de composantes,
:<math>\zeta^b D_b \xi^a - \xi^b D_b \zeta^a</math>. 
Pour que ce vecteur soit un vecteur de Killing, il faut et il suffit qu'il satisfasse à l'équation de Killing. On calcule donc
:<math>D_a \left(\zeta^c D_c \xi_b - \xi^c D_c \zeta_b \right) - D_b \left(\zeta^c D_c \xi_a - \xi^c D_c \zeta_a \right)</math>
:<math> =   \zeta^c \left(D_{ac} \xi_b - D_{bc} \xi_a \right) + \xi^c \left(D_{bc} \zeta_a - D_{ac} \zeta_b\right)
   + D_a \zeta^c \; D_c \xi_b - D_c \zeta_b \; D_a \xi^c - D_b \zeta^c \; D_c \xi_a + D_c \zeta_a \; D_b \xi^c
</math>.
Les termes comprenant des produits de deux dérivées premières peuvent être manipulés en utilisant l'équation de Killing pour <math>\xi</math> et <math>\zeta</math>, de sorte que l'indice ''c'' ne porte pas sur la dérivée covariante, mais sur le vecteur. Ainsi, on a
:<math>D_a \zeta^c \; D_c \xi_b - D_c \zeta_b \; D_a \xi^c - D_b \zeta^c \; D_c \xi_a + D_c \zeta_a \; D_b \xi^c
 = - D_a \zeta^c \; D_b \xi_c + D_b \zeta_c \; D_a \xi^c - D_b \zeta^c \; D_a \xi_c + D_a \zeta_c \; D_b \xi^c = 0</math>,
car les termes s'annulent deux à deux. Pour les termes comprenant des dérivées seconde, on utilise également les équations de Killing pour chasser l'indice ''c'' des dérivées covariantes. On a
:<math>\zeta^c \left(D_{ac} \xi_b - D_{bc} \xi_a \right) + \xi^c \left(D_{bc} \zeta_a - D_{ac} \zeta_b\right)
           = \zeta^c \left(- D_{ab} \xi_c + D_{ba} \xi_c \right) + \xi^c \left(D_{ba} \zeta_c - D_{ab} \zeta_c\right).
</math>
On reconnaît le commutateur des dérivées covariantes, que l'on peut réécrire à l'aide du [[tenseur de Riemann]] :
:<math>\zeta^c \left(- D_{ab} \xi_c - D_{ba} \xi_c \right) + \xi^c \left(D_{ba} \zeta_c - D_{ab} \zeta_c\right)
        = \zeta^c R^d_{\;cab} \xi_d - \xi^c R^d_{\;cba} \zeta_d 
</math>.
En utilisant enfin les relations d'antisymétrie sur les deux paires d'indices du tenseur de Riemann et en intervertissant les indices muets ''c'' et ''d'' sur un des deux membres du résultat, on obtient
:<math>\zeta^c R^d_{\;cab} \xi_d - \xi^c R^d_{\;cba} \zeta_d
 = \zeta^c \xi^d R_{dcab} - \xi^c \zeta^d R_{dcba} 
 = \zeta^c \xi^d R_{dcab} - \zeta^c \xi^d R_{cdba} 
 = \zeta^c \xi^d (R_{dcab} - R_{cdba})
 = \zeta^c \xi^d (R_{dcab} - R_{dcab})
 = 0
</math>.
Ainsi donc, le crochet de Lie de deux vecteurs de Killing est également un vecteur de Killing.
}}
Ceci permet de munir l'espace des vecteurs de Killing d'une structure d'[[algèbre de Lie]]. En relativité générale, c'est par ce biais que sont effectuées certaines classifications des espaces-temps, comme la [[classification de Bianchi]] évoquée plus haut qui porte sur les espaces-temps quadridimensionnels dont les sections spatiales sont [[espace homogène|homogènes]].

=== Transformation conforme ===

Lors d'une [[transformation conforme]], un vecteur de Killing perd sa propriété fondamentale et ne satisfait plus à l'équation de Killing. Il satisfait cependant à une autre équation qui peut dans certains cas s'avérer intéressantes. On parle alors de [[vecteur de Killing conforme]].

=== Espace-temps statique ===
{{Ancre|Espace-temps statique}}
En [[relativité générale]], un espace-temps (ou une région de celui-ci) est dit {{terme défini|statique}} s'il admet un vecteur de Killing de genre temps qui puisse être vu comme la normale à des hypersurfaces. Pour cela, en plus de l'équation de Killing, il faut que le vecteur de Killing soit proportionnel à un gradient (les hypersurfaces pouvant être vues comme les régions où un certain paramètre est constant). Cette dernière condition s'écrit sous la forme
:<math>\xi_{[a} D_b \xi_{c]} = 0</math>,
ce que l'on démontre grâce à [[théorème de Frobenius (géométrie différentielle)|un théorème de Frobenius]]. Dans un espace-temps à quatre dimensions, cette condition est alors équivalente à celle sur la [[forme différentielle|forme]] duale associée, 
:<math>\epsilon^{dabc} \xi_{[a} D_b \xi_{c]} = 0</math>,
où <math>\epsilon</math> est un tenseur complètement antisymétrique dans tous ses indices.

La [[métrique de Schwarzschild]], est un exemple d'espace-temps statique dans la région extérieure au [[rayon de Schwarzschild]]. La [[métrique de Reissner-Nordström]] possède la même propriété. La métrique de tels espaces peut s'écrire dans un certain système de coordonnées <math>(t, x^i)</math> sous la forme
:<math>{\mathrm d} s^2 = V^2(x^k) - \sum_{ij} h_{ij} (x^k) \;{\mathrm d}x^i \;{\mathrm d}x^j</math>.
La staticité se voit :
# Par le fait que la métrique ne dépend pas de la coordonnées ''t'' (équation de Killing)
# Par le fait qu'il n'y a pas de termes en <math>{\mathrm d}t \;{\mathrm d}x^i</math> (orthogonalité aux hypersurfaces)

=== Espace-temps stationnaire ===
{{Ancre|Espace-temps stationnaire}}
Un espace-temps est dit {{terme défini|stationnaire}} s'il admet un vecteur de Killing de genre temps, sans que celui-ci possède la propriété d'orthogonalité à des hypersurfaces. Dans le système de coordonnées précédent la métrique associée est plus générale :
:<math>{\mathrm d} s^2 = V^2(x^k) - \sum_{ij} h_{ij} (x^k) \;{\mathrm d}x^i \;{\mathrm d}x^j + \sum_{i} N_i (x^k) \;{\mathrm d}t \;{\mathrm d}x^i</math>.

=== Espace-temps axisymétrique ===
Un espace-temps est dit {{terme défini|axisymétrique}} s'il est [[#Espace-temps stationnaire|stationnaire]] (il possède donc un vecteur de Killing de genre temps <math>\xi</math>, voir ci-dessus) et possède un autre vecteur de Killing <math>\eta</math> de genre espace dont le [[flot (mathématiques)|flot]] forme des courbes fermées et qui commute avec le précédent :
:<math>[\xi, \eta] = 0</math>.

La [[métrique de Kerr]] et celle de [[métrique de Kerr-Newman|Kerr-Newman]] sont des exemples connus de métriques axisymétriques. Le [[bivecteur]] <math>\xi_{[a} \eta_{b]}</math> dit, pour des raisons évidentes, de Killing joue un rôle important dans les démonstrations sur les [[théorèmes sur les singularités]].

=== Espace-temps circulaire ===
Un espace-temps [[#Espace-temps stationnaire|stationnaire]] et [[#Espace-temps axisymétrique|axisymétrique]] est dit {{terme défini|circulaire}} si les 2-surfaces orthogonales aux champs de Killing générant la stationnarité et axisymétrie sont intégrables, c'est-à-dire si elles sont tangentes aux surfaces 2-dimensionnelles{{sfn|Heusler|1996|loc={{chap.|2}}, {{sec.|2.7}}|p=26}}.

=== Espace-temps à symétrique maximale  ===
Un espace-temps est dit {{terme défini|à symétrie maximale}}{{sfn|Peter|Uzan|2012|loc={{2e|{{abréviation discrète|part.|partie(s)}}}}, {{chap.|3}}, {{nobr|{{abréviation discrète|sect.|section(s)}} 3.6}}, {{§|3.6.1}}|p=176}} {{incise|ou {{terme défini|maximalement symétrique}}{{sfn|Barrau|Grain|2016|loc={{chap.|7}}, {{nobr|{{abréviation discrète|sect.|section(s)}} 7.1}}, {{§|7.1.2}}|p=129}}{{,}}{{sfn|Heyvaerts|2012|loc={{chap.|10}}, {{nobr|{{abréviation discrète|sect.|section(s}} 10.2}}, {{§|10.2.1}}|p=142}}}} s'il possède un nombre maximal de vecteurs de Killing, à savoir : <math>\frac{1}{2}n\left(n+1\right)</math>, où <math>n</math> est le nombre de dimensions de l'espace-temps{{sfn|Carroll|2019|loc={{chap.|3}}, {{§|3.9}}|p=140}}{{,}}{{sfn|Hawking|Ellis|1973|loc={{chap.|2}}, {{§|2.6}}|p=44}}.

En [[géométrie lorentzienne]], les trois{{sfn|Ammon|Erdmenger|2015|loc={{Ire|partie}}, {{chap.|2}}, {{sec.|2.3}}|p=67}} [[Variété lorentzienne|variétés]] d'espace-temps à symétrie maximale sont :
*l'[[espace de Minkowski]], de courbure nulle <math>\left(k=0\right)</math>{{sfn|Ammon|Erdmenger|2015|loc={{Ire|partie}}, {{chap.|2}}, {{sec.|2.3}}|p=67}}{{,}}{{sfn|Carroll|2019|loc={{chap.|8}}, {{sec.|8.1}}|p=324}} ;
*l'[[espace de de Sitter]], de courbure positive <math>\left(k>0\right)</math>{{sfn|Ammon|Erdmenger|2015|loc={{Ire|partie}}, {{chap.|2}}, {{sec.|2.3}}|p=67}}{{,}}{{sfn|Carroll|2019|loc={{chap.|8}}, {{sec.|8.1}}|p=324}} ;
*l'[[espace anti de Sitter]], de courbure négative <math>\left(k<0 \right)</math>{{sfn|Ammon|Erdmenger|2015|loc={{Ire|partie}}, {{chap.|2}}, {{sec.|2.3}}|p=67}}{{,}}{{sfn|Carroll|2019|loc={{chap.|8}}, {{sec.|8.1}}|p=326}}.
 
En [[relativité générale]], toutes trois sont des solutions de l'[[équation d'Einstein]] dans le [[Vide (physique)|vide]]{{sfn|Ammon|Erdmenger|2015|loc={{Ire|partie}}, {{chap.|2}}, {{sec.|2.3}}|p=67-68}} ; elles sont les trois seules de ces solutions dont le [[tenseur de Weyl]] est nul{{sfn|Griffiths|Podolský|2009|loc={{chap.|4}}, introduction|p=41}}. L'espace de Minkowski est le seul des trois dont le tenseur de Riemann est nul{{sfn|Papantonopoulos|2011|loc={{Ire|partie}}, {{chap.|{{1er}}}}, {{sec.|1.1}}, {{§|1.1.1}}|p=4}}.

== Généralisations ==

Une équation du type équation de Killing peut se généraliser à des [[tenseur]]s d'ordre plus élevé. On parle alors, selon la généralisation choisie, de [[tenseur de Killing]] ou de [[tenseur de Killing-Yano]]. Dans le cadre des [[théorèmes sur les singularités]], on introduit parfois le concept de [[bivecteur de Killing]], formé à l'aide de deux vecteurs de Killing.

== Notes et références ==

=== Notes ===
{{Références|groupe=N}}

=== Références ===
{{Références}}

== Voir aussi ==

=== Bibliographie ===
* {{livre Wald}}, pages 119, 120, 312 à 324, et 441 à 443.
* {{Livre KraSteMcCHer}}, chapitre 6 (p.&nbsp;76 et 77), chapitre 8 (p.&nbsp;94 à 97 et 99 à 102), et chapitre 17 (p.&nbsp;192).
* {{Ouvrage | langue=en | prénom1=Martin | nom1=Ammon | prénom2=Johanna | nom2=Erdmenger | titre=Gauge/gravity duality | sous-titre=foundations and applications | lieu=Cambridge | éditeur=[[Cambridge University Press|CUP]], hors {{coll.}} | date=4/2015 | numéro d'édition=1 | pages totales={{XII}}-533 | format livre={{dunité|19,1|24,6|cm}} | isbn10=1-10-701034-9 | isbn=978-1-10-701034-5 | ean=9781107010345 | oclc=926098058 | doi=10.1017/CBO9780511846373 | bibcode=2015gadu.book.....A | s2cid=116949513 | sudoc=189019328 | présentation en ligne=https://www.cambridge.org/fr/universitypress/subjects/physics/theoretical-physics-and-mathematical-physics/gaugegravity-duality-foundations-and-applications | lire en ligne={{Google Livres|id=OG0GBwAAQBAJ}} | consulté le=16 septembre 2023 | libellé=Ammon et Erdmenger 2015}}.
* {{Ouvrage | langue=en | prénom1=Jerry B. | nom1=Griffiths | prénom2=Jiří | nom2=Podolský | titre=Exact space-times in Einstein's general relativity | lieu=Cambridge | éditeur=[[Cambridge University Press|CUP]] | collection=Cambridge monographs on mathematical physics | date=10/2009 | réimpression={{date-|8/2012}} | numéro d'édition=1 | pages totales={{XVII}}-525 | format livre={{dunité|18,3|25,3|cm}} | isbn10=0-521-88927-8 | isbn1=978-0-521-88927-8 | isbn2=978-1-107-40618-6 | ean=9780521889278 | oclc=758733128 | doi=10.1017/CBO9780511635397 | bibcode=2009este.book.....G | s2cid=116947914 | sudoc=147482941 | présentation en ligne=https://www.cambridge.org/fr/universitypress/subjects/physics/cosmology-relativity-and-gravitation/exact-space-times-einsteins-general-relativity | lire en ligne={{Google Livres|id=SbZpFMOwhzMC}} | consulté le=16 septembre 2023 | libellé=Griffiths et Podolský 2009}}.
* {{Ouvrage | langue=en | prénom={{abréviation discrète|S. W.|Stephen William}} | nom=Hawking | lien auteur1=Stephen Hawking | prénom2={{abréviation discrète|G. F. R.|George Francis Rayner}} | nom2=Ellis | lien auteur2=George F. R. Ellis | titre={{langue|en|texte=The large scale structure of space-time}} | traduction titre=La structure à grande échelle de l'espace-temps | lieu=Cambridge | éditeur=[[Cambridge University Press|CUP]] | collection={{abréviation discrète|Cambridge Monogr. Math. Phys.|Cambridge monographs on mathematical physics}} | mois= | année=1973 | numéro d'édition=1 | pages totales={{unité|1|{{abréviation discrète|vol.|volume(s)}}}}, {{XI}}-391 | format={{abréviation discrète|ill.|illustration(s)}}, {{dunité|15,1|22,7|cm}} | isbn1=978-0-521-20016-5 | isbn2=978-0-521-09906-6 | ean=9780521099066 | oclc=299342801 | bnf=37358308d | doi=10.1017/CBO9780511524646 | bibcode=1973lsss.book.....H | sudoc=004735110 | présentation en ligne=https://www.cambridge.org/fr/academic/subjects/physics/cosmology-relativity-and-gravitation/large-scale-structure-space-time | lire en ligne={{Google Livres|id=QagG_KI7Ll8C}} | consulté le=9 décembre 2019 | libellé=Hawking et Ellis 1973}}.
* {{Ouvrage | langue=en | prénom={{abréviation discrète|Th.|Thomas}} | nom=Hawkins | lien auteur=Thomas Hawkins | titre={{langue|en|texte=Emergence of the theory of Lie groups}} | sous-titre={{langue|en|texte=an essay in the history of mathematics, {{date-|1869}}-{{date-|1926}}}} | traduction titre=Émergence de la théorie des groupes de Lie : un essai en histoire des mathématiques, {{date-|1869}}-{{date-|1926}} | lieu=New York | éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer]] | collection={{abréviation discrète|Sources Stud. Hist. Math. Phys. Sci.|Sources and studies in the history of mathematics and physical sciences}} | mois={{date-|juillet|compact=oui}} | année=2000 | numéro d'édition=1 | pages totales={{unité|1|{{abréviation discrète|vol.|volume(s)}}}}, {{XIII}}-564 | format={{abréviation discrète|ill.|illustration(s)}}, {{unité|24|cm}} | isbn=0-387-98963-3 | ean=9780387989631 | oclc=468567740 | bnf=37734028h | doi=10.1007/978-1-4612-1202-7 | sudoc=058886435 | présentation en ligne=https://www.springer.com/gp/book/9780387989631 | lire en ligne={{Google Livres|id=QbB7_YOrruoC}} | consulté le=8 décembre 2019 | libellé=Hawkins 2000}}.
* {{Ouvrage | langue=en | prénom=Markus | nom=Heusler | titre=Black hole uniqueness theorems | lieu=Cambridge | éditeur=[[Cambridge University Press|CUP]] | collection=Cambridge lecture notes in physics | numéro dans collection=6 | date=7/1996 | numéro d'édition=1 | pages totales={{XIII}}-249 | format livre={{dunité|15,3|22,8|cm}} | isbn=0-521-56735-1 | ean=9780521567350 | oclc=468572352 | bnf=37494868p | doi=10.1017/CBO9780511661396 | bibcode=1996CLNP....6.....H | s2cid=221925059 | sudoc=025084348 | présentation en ligne=https://www.cambridge.org/fr/universitypress/subjects/physics/cosmology-relativity-and-gravitation/black-hole-uniqueness-theorems | lire en ligne={{Google Livres|id=H4eXl9QODoAC}} | consulté le=8 novembre 2023 | libellé=Heusler 1996}}.
* {{Chapitre | langue=fr | prénom={{abréviation discrète|M.|Marc}} | nom=Lachièze-Rey | lien auteur=Marc Lachièze-Rey | titre=Espace et observateurs en cosmologie | auteur ouvrage={{nobr|{{abréviation discrète|M.|Marc}} Lachièze-Rey}} ({{abréviation discrète|dir.|sous la direction de}}) | titre ouvrage=L'espace physique entre mathématiques et philosophie | lieu=Les Ulis | éditeur=[[EDP Sciences|EDP Sci.]] | collection=Penser avec les sciences | mois=mars | année=2006 | numéro d'édition=1 | pages totales={{unité|1|{{abréviation discrète|vol.|volume(s)}}}}, 362 | format={{abréviation discrète|ill.|illustration(s)}}, {{dunité|17|24|cm}} | isbn10=2-86883-821-9 | isbn1=978-2-86883-821-6 | oclc=469695981 | bnf=400347767 | sudoc=103231013 | présentation en ligne=https://laboutique.edpsciences.fr/produit/9782868838216 | consulté le=8 décembre 2019 | partie={{chap.|15}} | passage=325-344 | libellé=Lachièze-Rey 2006}}.
* {{Ouvrage | langue=en | prénom1={{abréviation discrète|Ch. W.|Charles W.}} | nom1=Misner | lien auteur1=Charles W. Misner | prénom2={{abréviation discrète|K. S.|Kip Stephen}} | nom2=Thorne | lien auteur2=Kip Thorne | prénom3={{abréviation discrète|J. A.|John Archibald}} | nom3=Wheeler | lien auteur3=John Wheeler | titre={{langue|en|texte=[[Gravitation (livre)|Gravitation]]}} | traduction titre=Gravitation | lieu=San Francisco | éditeur={{nobr|[[W. H. Freeman and Company|W. H. Freeman]]}}, hors {{coll.}} | mois= | année=1973 | numéro d'édition=1 | pages totales={{unité|1|{{abréviation discrète|vol.|volume(s)}}}}, {{XXVI}}-1279 | format={{abréviation discrète|ill.|illustration(s)}}, {{unité|26|cm}} | isbn1=0-7167-0334-3 | isbn2=0-7167-0344-0 | ean=9780716703440 | oclc=300307879 | bnf=373910557 | bibcode=1973grav.book.....M | sudoc=004830148 | lire en ligne=https://archive.org/details/GravitationMisnerThorneWheeler | consulté le=8 décembre 2019 | libellé=Misner, Thorne et Wheeler 1973}}.
* {{Ouvrage | langue=en | prénom=Eleftherios | nom=Papantonopoulos | titre=From gravity to thermal gauge theories | sous-titre=the AdS/CFT correspondence | lieu=Berlin et Heidelberg | éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer]] | collection=Lecture notes in physics | numéro dans collection=828 | date=3/2011 | numéro d'édition=1 | format livre={{dunité|15,5|23,5|cm}} | pages totales={{XVIII}}-425 | isbn10=3-642-04863-3 | isbn=978-3-642-04863-0 | ean=9783642048630 | oclc=800841084 | doi=10.1007/978-3-642-04864-7 | bibcode=2011LNP...828.....P | s2cid=118620313 | sudoc=154837679 | présentation en ligne=https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-642-04864-7 | lire en ligne={{Google Livres|id=8aGFUNL_RiEC}} | consulté le=16 septembre 2023 | libellé=Papantonopoulos 2011}}.
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom={{abréviation discrète|R.|Roger}} | nom=Penrose | lien auteur=Roger Penrose | traduction=de l'{{abréviation discrète|angl.|anglais}} par {{nobr|{{abréviation discrète|C.|Céline}} Laroche}} | titre=À la découverte des lois de l'Univers | sous-titre=la prodigieuse histoire des mathématiques et de la physique | titre original={{langue|en|texte=The road to reality : a complete guide to the laws of the Universe}} | lieu=Paris | éditeur=[[Éditions Odile Jacob|O. Jacob]] | collection=Sciences | mois=août | année=2007 | numéro d'édition=1 | pages totales={{unité|1|{{abréviation discrète|vol.|volume(s)}}}}, {{XXII}}-1061 | format={{abréviation discrète|ill.|illustration(s)}} et {{abréviation discrète|fig.|figure(s)}}, {{dunité|15,5|24|cm}} | isbn10=2-7381-1840-2 | isbn1=978-2-7381-1840-0 | ean=9782738118400 | oclc=209307388 | bnf=b41131526q | sudoc=118177311 | présentation en ligne=https://www.odilejacob.fr/catalogue/sciences/astronomie-astrophysique-cosmologie/a-la-decouverte-des-lois-de-l-univers_9782738118400.php | lire en ligne={{Google Livres|?id=E1k-SRvzrM8C}} | consulté le=9 décembre 2019 | libellé=Penrose 2007}}.

==== Manuels de cours ====
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom1={{abréviation discrète|A.|Aurélien}} | nom1=Barrau | prénom2={{abréviation discrète|J.|Julien}} | lien auteur1=Aurélien Barrau | nom2=Grain | titre=Relativité générale | nature ouvrage=cours et exercices corrigés | lieu=Malakoff | éditeur=[[Éditions Dunod|Dunod]] | collection=Sciences {{abréviation discrète|Sup.|Supérieur}} | mois=août | année=2016 | numéro d'édition=2 | année première édition={{date-|août 2011}} | pages totales={{unité|1|{{abréviation discrète|vol.|volume(s)}}}}, {{VIII}}-231 | format={{dunité|17|24|cm}} | isbn10=2-10-074737-1 | isbn1=978-2-10-074737-5 | ean=9782100747375 | oclc=958388884 | bnf=45101424p | sudoc=195038134 | présentation en ligne=https://www.dunod.com/sciences-techniques/relativite-generale-cours-et-exercices-corriges-0 | lire en ligne={{Google Livres|id=3erZDAAAQBAJ}} | consulté le=8 décembre 2019 | libellé=Barrau et Grain 2016}}.
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom={{abréviation discrète|S. M.|Sean Michael}} | nom=Carroll | lien auteur=Sean Carroll | titre={{langue|en|texte=Spacetime and geometry}} | sous-titre={{langue|en|texte=an introduction to general relativity}} | traduction titre=Espace-temps et géométrie : une introduction à la relativité générale | lieu=Cambridge | éditeur=[[Cambridge University Press|CUP]], hors {{coll.}} | mois=août | année=2019 | numéro d'édition=3 | année première édition={{date-|septembre 2003|compact=oui}} | pages totales={{unité|1|{{abréviation discrète|vol.|volume(s)}}}}, {{XIV}}-513 | format={{abréviation discrète|ill.|illustration(s)}}, {{dunité|19,2|25,2|cm}} | isbn10=1-108-48839-0 | isbn1=978-1-108-48839-6 | ean=9781108488396 | oclc=1101387240 | bnf=457568769 | doi=10.1017/9781108770385 | sudoc=237699117 | présentation en ligne=https://www.cambridge.org/fr/academic/subjects/physics/cosmology-relativity-and-gravitation/spacetime-and-geometry-introduction-general-relativity | lire en ligne={{Google Livres|id=PTGdDwAAQBAJ}} | consulté le=8 décembre 2019 | libellé=Carroll 2019}}.
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom={{abréviation discrète|J.|Jean}} | nom=Heyvaerts | titre=Astrophysique | sous-titre=étoiles, univers et relativité | lieu=Paris | nature ouvrage=cours et exercices corrigés | éditeur=[[Éditions Dunod|Dunod]] | collection=Sciences {{abréviation discrète|Sup.|Supérieur}} | mois=août | année=2012 | numéro d'édition=2 | année première édition={{date-|septembre 2006|compact=oui}} | pages totales={{unité|1|{{abréviation discrète|vol.|volume(s)}}}}, {{X}}-384 | format={{abréviation discrète|ill.|illustration(s)}} et {{abréviation discrète|fig.|figure(s)}}, {{dunité|17|24|cm}} | isbn10=2-10-058269-0 | isbn1=978-2-10-058269-3 | ean=9782100582693 | oclc=816556703 | bnf=42740481q | sudoc=163817030 | présentation en ligne=https://www.dunod.com/sciences-techniques/astrophysique-etoiles-univers-et-relativite | lire en ligne={{Google Livres|id=Cv-NdDmpcp8C}} | consulté le=8 décembre 2019 | libellé=Heyvaerts 2012}}.
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom1={{abréviation discrète|P.|Patrick}} | nom1=Peter | prénom2={{abréviation discrète|J.-Ph.|Jean-Philippe}} | nom2=Uzan | lien auteur2=Jean-Philippe Uzan | préface=de [[Thibault Damour|{{nobr|{{abréviation discrète|Th.|Thibault}} Damour}}]] | titre=Cosmologie primordiale | lieu=Paris | éditeur=[[Belin éditeur|Belin]] | collection=Échelles | mois={{date-|février|compact=oui}} | année=2012 | numéro d'édition=2 | année première édition={{date-|septembre 2005|compact=oui}} | pages totales={{unité|1|{{abréviation discrète|vol.|volume(s)}}}}, 816 | format={{abréviation discrète|ill.|illustration(s)}}, {{dunité|17|24|cm}} | isbn10=2-7011-6244-0 | isbn1=978-2-7011-6244-7 | ean=9782701162447 | oclc=793482816 | bnf=426165015 | sudoc=158540697 | présentation en ligne=https://www.belin-education.com/cosmologie-primordiale | lire en ligne={{Google Livres|id=owiWDgAAQBAJ}} | consulté le=8 décembre 2019 | libellé=Peter et Uzan 2012}}.

==== Dictionnaires et encyclopédies ====
* {{Chapitre | langue=en | prénom=D. V. | nom=Alkseevskiĭ | titre={{langue|en|texte=Killing vector}} | auteur ouvrage=[[Michiel Hazewinkel|{{nobr|{{abréviation discrète|M.|Michiel}} Hazewinkel}}]] ({{abréviation discrète|dir.|sous la direction de}}) | titre ouvrage=Encyclopaedia of mathematics | tome={{III}} | titre tome={{abréviation discrète|Hea|Heaps and semi-heaps}} – {{abréviation discrète|Mom|Moments, method of (in probability theory)}} | lieu=Dordrecht et Boston | éditeur=[[Springer Science+Business Media|Kluwer Academic]] | mois= | année=1995 | numéro d'édition=1 | pages totales={{unité|1|{{abréviation discrète|vol.|volume(s)}}}}, 950 | format={{abréviation discrète|ill.|illustration(s)}}, {{unité|30|cm}} | isbn=1-556-08010-7 | ean=9781556080104 | oclc=36916612 | doi=10.1007/978-1-4899-3793-3 | sudoc=030252288 | présentation en ligne=https://www.springer.com/gp/book/9780792329756 | lire en ligne={{Google Livres|id=xdoFCAAAQBAJ}} | consulté le=8 décembre 2019 | partie={{s.v.}}{{langue|en|texte=Killing vector}} [« vecteur de Killing »] | passage=391-392 | libellé=Alkseevskiĭ 1995}}.
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom1={{abréviation discrète|R.|Richard}} | nom1=Taillet | prénom2={{abréviation discrète|L.|Loïc}} | nom2=Villain | prénom3={{abréviation discrète|P.|Pascal}} | nom3=Febvre | titre=Dictionnaire de physique | lieu=Louvain-la-Neuve | éditeur=[[Groupe De Boeck|De Boeck {{abréviation discrète|Sup.|Supérieur}}]], hors {{coll.}} | mois={{date-|janvier|compact=oui}} | année=2018 | numéro d'édition=4 | année première édition={{date-|mai 2008}} | pages totales={{unité|1|{{abréviation discrète|vol.|volume(s)}}}}, {{X}}-956 | format={{abréviation discrète|ill.|illustration(s)}} et {{abréviation discrète|fig.|figure(s)}}, {{dunité|17|24|cm}} | isbn10=2-8073-0744-2 | isbn1=978-2-8073-0744-5 | ean=9782807307445 | oclc=1022951339 | bnf= | sudoc=224228161 | présentation en ligne=https://www.deboecksuperieur.com/ouvrage/9782807307445-dictionnaire-de-physique | lire en ligne={{Google Livres|id=pjlFDwAAQBAJ}} | consulté le=7 décembre 2019 | partie={{s.v.}}Killing (vecteur de) | passage=411, {{col.|1}} | libellé=Taillet, Villain et Febvre 2018}}.

==== Article original ====
* {{Article | langue=de | prénom={{abréviation discrète|W.|Wilhelm}} | nom=Killing | lien auteur=Wilhelm Killing | titre={{langue|de|texte=Über die Grundlagen der Geometrie}} | traduction titre= | périodique=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik|J. reine angew. Math.]] | volume=109 | mois={{date-|décembre|compact=oui}} | année=1892 | pages=121-186 | bibcode=1892JRAM..109.....K | lire en ligne=https://www.digizeitschriften.de/download/PPN243919689_0109/PPN243919689_0109___log12.pdf | libellé=Killing 1892}}.

=== Articles connexes ===
* [[Équation de Killing]]
* [[Vecteur de Killing conforme]]
* [[Tenseur de Killing]]
* [[Bivecteur de Killing]]
* [[Tenseur de Killing-Yano]]
* [[Théorème de Noether (physique)|Théorème de Noether]]
* [[Classification de Bianchi]]

{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Géométrie riemannienne]]
[[Catégorie:Champ de vecteurs]]