Voir la source de Vecteur de Runge-Lenz

: ''Dans cet article les [[vecteur]]s et leurs [[norme (mathématiques)|normes]] sont indiqués respectivement en [[graisse (typographie)|gras]] et [[italique (typographie)|italique]]. Par exemple : <math>\left|\left| \mathbf{A} \right|\right| = A</math>.''

En [[mécanique classique]], le '''vecteur de Runge-Lenz''' ou '''invariant de Runge-Lenz''' est un [[vecteur]] utilisé principalement pour décrire la forme et l'orientation de l'[[orbite]] d'un corps astronomique autour d'un autre, comme dans le cas d'une planète autour d'une étoile.

Pour deux corps en [[Gravitation|interaction gravitationnelle]], le vecteur de Runge-Lenz est une [[loi de conservation|constante du mouvement]], ce qui signifie qu'il prend la même valeur en n'importe quel point de l'orbite<ref name="goldstein_1980">{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Herbert Goldstein|H. Goldstein]]|titre=Classical Mechanics|éditeur=Addison Wesley|année=1980|numéro d'édition=2|passage=102–105,421–422|isbn=}}</ref> ; de manière équivalente on dit que le vecteur de Runge-Lenz se conserve. Plus généralement le vecteur de Runge-Lenz est conservé pour n'importe quel [[problème à deux corps]] interagissant par le biais d'une [[force centrale]] variant comme l'[[loi en carré inverse|inverse du carré de la distance]] entre eux. De tels problèmes sont appelés « problèmes de Kepler »<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=V.|nom1=Arnold|lien auteur1=Vladimir Arnold|titre=Mathematical Methods of Classical Mechanics, 2nd ed.|lieu=New York|éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]|année=1989|numéro d'édition=2|pages totales=520|passage=38|isbn=978-0-387-96890-2|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=Pd8-s6rOt_cC&printsec=frontcover}} (traduit du russe)</ref>.

L'[[atome d'hydrogène]] est un problème de Kepler puisqu'il comprend deux charges en interaction électrostatique, une autre force centrale en carré inverse de la distance. Le vecteur de Runge-Lenz fut essentiel dans les premières descriptions {{lh|Quantique|quantiques}} du [[spectre d'émission]] de l'atome d'hydrogène{{sfn|Pauli|1926}} après le développement de l'[[équation de Schrödinger]]. Cependant cette approche est aujourd'hui très peu utilisée.
En mécaniques [[mécanique classique|classique]] et [[mécanique quantique|quantique]], les grandeurs conservées correspondent généralement à une [[symétrie (physique)|symétrie]] du problème. La conservation du vecteur de Runge-Lenz est associée à une symétrie inhabituelle : le problème de Kepler est mathématiquement équivalent à une particule se déplaçant librement sur une 3-sphère<ref name="fock_1935" >{{article|langue=en|lang=de|nom1 = Fock |prénom=V.| lien auteur = Vladimir Fock | année = 1935 | titre = Zur Theorie des Wasserstoffatoms | journal = Zeitschrift für Physik | volume = 98 | pages = 145–154}}</ref>, ce qui implique que le problème est symétrique pour certaines rotations dans un espace à quatre dimensions<ref name="bargmann_1936" >{{article|langue=en|lang=de|auteur=[[Valentine Bargmann|V. Bargmann]] | année = 1936 | titre = Zur Theorie des Wasserstoffatoms: Bemerkungen zur gleichnamigen Arbeit von V. Fock | journal = Zeitschrift für Physik | volume = 99 | pages = 576–582}}</ref>. Cette symétrie supérieure résulte de deux propriétés du problème de Kepler : le vecteur vitesse se déplace toujours dans un cercle parfait et, pour une [[énergie]] totale donnée, tous les cercles de vitesse s'interceptent en deux mêmes points<ref name="hamilton_1847_hodograph">{{article|langue=en|lang=en| nom1 = Hamilton |prénom=W. R.| lien auteur = William Rowan Hamilton | année = 1847 |titre=The hodograph or a new method of expressing in symbolic language the Newtonian law of attraction| journal = Proceedings of the Royal Irish Academy | volume = 3 | pages = 344ff}}</ref>.

Le vecteur de Runge–Lenz est nommé d'après [[Carl Runge]] et [[Wilhelm Lenz]]. Il est également connu sous les noms de vecteur de Runge{{sfn|Rougé|2005|loc=appendices, {{chap.|C}}, {{sec.|C.3}}|p=308, {{n.|5}}}}{{,}}{{sfn|McIntosh|1971|loc={{sec.|{{II}}}}|p=82}}, de Lenz{{sfn|Rougé|2005|loc=appendices, {{chap.|C}}, {{sec.|C.3}}|p=308, {{n.|5}}}}{{,}}{{sfn|Basdevant|2022|loc={{chap.|2}}, {{sec.|2.2}}, {{§|2.2.7}}|p=58}}{{,}}{{sfn|Provost|Raffaelli|Vallée|2019|loc={{chap.|6}}, {{sec.|6.3}}, mouvement de Kepler|p=162}} ou de Pauli{{sfn|Rougé|2005|loc=appendices, {{chap.|C}}, {{sec.|C.3}}|p=308, {{n.|5}}}} ou de '''vecteur de Laplace''' (d'après [[Pierre-Simon Laplace|Pierre-Simon de Laplace]]) bien qu'aucun de ces scientifiques ne l'ait découvert. Le vecteur de Runge-Lenz a en réalité été redécouvert plusieurs fois<ref name="goldstein_1975_1976">{{article|langue=en|lang=en| nom1=Goldstein |prénom=H.| année=1975 | titre=Prehistory of the Runge–Lenz vector | journal=[[American Journal of Physics]]| volume=43 | pages=735–738}}<br />{{article|langue=en|lang=en| nom1=Goldstein |prénom=H.| année=1976 | titre=More on the prehistory of the Runge–Lenz vector | journal=American Journal of Physics| volume=44 | pages=1123–1124}}</ref>.

Le vecteur de Runge-Lenz est relié au [[vecteur excentricité]] utilisé en [[mécanique céleste]] et en [[astronautique]]{{sfn|Taillet|Villain|Febvre|2018|loc={{s.v.}} excentricité, 3|p=286, {{col.|2}}}}{{,}}<ref name="hamilton_1847_quaternions">{{article|langue=en|lang=en| nom1 = Hamilton |prénom=W. R.|année = 1847 | titre = Applications of Quaternions to Some Dynamical Questions | journal = Proceedings of the Royal Irish Academy | volume = 3 | pages = Appendix III}}</ref>. Il est aussi relié au [[vecteur de Hamilton]]{{sfn|Taillet|Villain|Febvre|2018|loc={{s.v.}} Hamilton (vecteur de)|p=356, {{col.|1}}}}. Plusieurs généralisations du vecteur de Runge-Lenz ont été définies pour tenir compte de la [[relativité générale]], du [[champ électromagnétique]] et des différents types de forces centrales.

== Contexte ==
Une particule seule se déplaçant sous l'effet d'une [[force centrale]] [[conservation de l'énergie|conservative]] possède au minimum quatre constantes du mouvement : son [[énergie]] totale, et les trois [[composantes d'un vecteur|composantes du vecteur]] [[moment cinétique]] '''L'''. La [[trajectoire]] de la particule est contenue dans un plan défini par sa [[quantité de mouvement]] initiale '''p''' (ou de manière équivalente par sa vitesse '''v''') et par le rayon-vecteur '''r''' entre la particule et le centre de force (voir ci-dessous Figure 1).

Comme défini ci-dessous (voir [[#Définitions mathématiques|Définitions mathématiques]]), le vecteur de Runge-Lenz '''A''' est toujours contenu dans le plan de la trajectoire pour une force centrale. Cependant '''A''' n'est constant que pour une force centrale en carré inverse<ref name="goldstein_1980" />. Pour de nombreuses forces [[#Définitions mathématiques|ce vecteur]] '''A''' n'est pas constant mais change en norme et en direction ; si le champ de force centrale suit approximativement une loi en carré inverse, le vecteur '''A''' est approximativement constant en norme mais tourne lentement en direction. Un vecteur de Runge-Lenz ''généralisé'' <math>\mathcal{A}</math> se conservant peut être défini pour toutes les forces centrales mais le vecteur est alors une fonction compliquée de la position et n'est généralement pas exprimable de façon analytique<ref name="fradkin_1967">{{article|langue=en|lang=en| nom1 = Fradkin |prénom=D. M.| année = 1967 | titre = Existence of the Dynamic Symmetries O<sub>4</sub> and SU<sub>3</sub> for All Classical Central Potential Problems | journal = Progress of Theoretical Physics | volume = 37 | pages = 798–812}}</ref>{{,}}<ref name="yoshida_1987">{{article|langue=en|lang=en| nom1 = Yoshida |prénom=T.| année = 1987 | titre = Two methods of generalisation of the Laplace–Runge–Lenz vector | journal = European Journal of Physics | volume = 8 | pages = 258–259}}</ref>.

Le plan de la trajectoire est perpendiculaire au vecteur moment cinétique '''L''' qui est constant ; ceci peut être exprimé par le [[produit scalaire]] '''r·L''' = 0 ; de la même façon, '''A''' étant contenu dans ce plan : '''A·L''' = 0.

== Histoire des redécouvertes ==
Le vecteur de Runge-Lenz '''A''' est une constante du mouvement du problème de Kepler, utile pour décrire les [[orbite]]s astronomiques, telles que le mouvement des [[planète]]s. Néanmoins son usage n'a jamais été très répandu parmi les physiciens peut-être parce qu'il est moins intuitif que la [[quantité de mouvement]] ou le [[moment cinétique]]. C'est la raison pour laquelle il a été redécouvert plusieurs fois au cours des trois derniers siècles<ref name="goldstein_1975_1976" />.

[[Jakob Hermann]] ({{date-|1678}}-{{date-|1733}}) est considéré comme ayant découvert le vecteur{{sfn|Kopeikin|Efroimsky|Kaplan|2011|loc={{chap.|{{1er}}}}, {{sec.|1.3}}, {{§|1.3.4}}|p=35}}{{,}}{{sfn|Scheck|2004|p=491}}. Il est le premier à montrer que '''A''' est conservé dans le cas particulier des forces centrales en carré inverse<ref>{{article|langue=en|lang=it|nom1 = Hermann | prénom = J. | lien auteur = Jakob Hermann | année = 1710 |titre=Metodo d'investigare l'Orbite de' Pianeti, nell'ipotesi che le forze centrali o pure le gravità …| journal = Giornale de Letterati D'Italia | volume = 2 | pages = 447–467}}<br />{{article|langue=en| nom1 = Hermann | prénom = J.| année = 1710 | titre = Extrait d'une lettre de M. Herman à M. Bernoulli datée de Padoüe le 12. Juillet 1710 | journal = Histoire de l'[[Académie des sciences (France)|académie royale des sciences]]| volume = 1732 | pages = 519–521}}</ref>, et travailla sur ses connexions avec l'[[excentricité orbitale]] dans le cas des orbitales [[Ellipse (mathématiques)|elliptiques]].

En {{date|1710}}, [[Jean Bernoulli]] ({{date-|1667}}-{{date-|1748}}) généralise les travaux de Hermann{{sfn|Goldstein|1976|p=1124, {{col.|2}}}}{{,}}<ref>{{article|langue=en| nom1 = Bernoulli |prénom=J.| lien auteur = Johann Bernoulli | année = 1710 | titre = Extrait de la Réponse de M. Bernoulli à M. Herman datée de Basle le 7. Octobre 1710 | journal = Histoire de l'académie royale des sciences|volume = 1732 | pages = 521–544}}</ref> et donne tant la direction que la norme du vecteur{{sfn|Goldstein|1976|p=1124, {{col.|2}}}}.

À la fin du {{s-|XVIII}}, [[Pierre-Simon Laplace|Pierre-Simon de Laplace]] redécouvre la conservation de '''A''', l'obtenant de manière analytique et non plus de façon géométrique{{sfn|Laplace|1799}}.

Vers le milieu du {{s-|XIX}}, [[William Rowan Hamilton]] détermine le vecteur excentricité, qui est équivalent<ref name="hamilton_1847_quaternions" />, et l'utilise pour montrer que le vecteur quantité de mouvement '''p''' décrit un cercle pour un mouvement effectué sous une force centrale en carré inverse (Figure 3)<ref name="hamilton_1847_hodograph" />.

Au début du {{s-|XX}}, [[Josiah Willard Gibbs]] trouve le même vecteur par [[analyse vectorielle]]<ref>{{Ouvrage|langue=en|coauteur=Wilson EB|prénom1=J. W.|nom1=Gibbs|lien auteur1=Josiah Willard Gibbs|titre=Vector Analysis|lieu=New York|éditeur=Scribners|année=1901|passage=135}}</ref>. La méthode de Gibbs est citée en exemple par [[Carl Runge]] dans un livre allemand sur les vecteurs{{sfn|Runge|1919}}.

En {{date|1924}}, [[Wilhelm Lenz]] ({{date-|1888}}-{{date-|1957}}) publie un article sur le traitement [[mécanique quantique|quantique]] de l'[[atome d'hydrogène]]{{sfn|Goldstein|1975|p=737, {{col.|1}}}}{{,}}{{sfn|Goldstein|1975|loc=références, 2|p=738, {{col.|2}}}}{{,}}{{sfn|Lenz|1924}}. Il y utilise le vecteur pour calculer les [[Niveau d'énergie|niveaux d'énergie]] des mouvements képlériens perturbés dans le cadre de la théorie quantique alors en vigueur{{sfn|Goldstein|1975|p=737, {{col.|1}}}}. Dans sa description du vecteur, il cite l'ouvrage de Runge{{sfn|Goldstein|1975|p=737, {{col.|1}}}}. 

En {{date|1926}}, [[Wolfgang Pauli]] ({{date|1900}}-{{date|1958}}) publie un article sur la dérivation des niveaux d'énergie de l'atome d'hydrogène en utilisant la [[mécanique matricielle]] et non l'[[équation de Schrödinger]]{{sfn|Goldstein|1975|p=737, {{col.|2}}}}{{,}}{{sfn|Goldstein|1975|loc=références, 4|p=738, {{col.|2}}}}{{,}}{{sfn|Pauli|1926}}. Pour sa dérivation, il part du vecteur qu'il présente comme  {{citation|précédemment utilisé par Lenz}}{{sfn|Goldstein|1975|p=737, {{col.|2}}}}.

À la suite de l'article de Pauli, le vecteur commence à être connu comme le {{citation|vecteur de Runge-Lenz}}{{sfn|Goldstein|1975|p=737, {{col.|2}}}}. Ainsi désigné, le vecteur est un exemple de la [[loi de Stigler]]{{sfn|Larkoski|2022|loc={{chap.|9}}, {{sec.|9.3}}|p=211, {{n.|6}}}}. Aussi a-t-il été suggéré de le nommer {{citation|vecteur de Herrmann-Bernoulli-Laplace-Hamilton-Runge-Lenz}}{{sfn|Subramanian|1991}} voire {{citation|vecteur de Herrmann-Bernoulli-Laplace-Hamilton-Runge-Lenz-Pauli}}{{sfn|Batic|Nowakowski|Abdelhaq|2023|loc={{§|1}}|p=2}}.

== Définitions mathématiques ==

Pour une particule seule mise en mouvement par une force centrale en carré inverse de la distance décrite par l'équation <math>\mathbf{F}(r)=\frac{-k}{r^{2}}\mathbf{\hat{r}}</math>, le vecteur de Runge-Lenz '''A''' est défini mathématiquement par la formule<ref name="goldstein_1980" />

[[Fichier:Laplace Runge Lenz vector.svg |vignette |droite |Figure 1: Le vecteur de Runge-Lenz '''A''' (en rouge) en quatre points (notés 1, 2, 3, 4) de l'orbite elliptique d'une particule liée se déplaçant sous l'effet d'une [[force centrale]] en [[loi en carré inverse|carré inverse]]. Le centre d'attraction est représenté par le point noir duquel partent les rayons vecteurs '''r'''. Le vecteur [[moment cinétique]] '''L''' est perpendiculaire à l'orbite. Les vecteurs coplanaires '''p''' ∧ '''L''' et ''(mk/r)'''''r''' sont respectivement en bleu et vert ; ces variables sont définies [[#Définitions mathématiques |dans le texte]]. Le vecteur '''A''' est constant en direction et en norme.]]

:<math> 
\mathbf{A} = \mathbf{p} \wedge \mathbf{L} - m k \mathbf{\hat{r}}
</math>,

où

* <math>m\!\,</math> est la [[masse]] de la particule ponctuelle se déplaçant sous l'effet de la [[force centrale]],
* <math>\mathbf{p}\!\,</math> est le vecteur [[quantité de mouvement]],
* <math>\mathbf{L} = \mathbf{r} \wedge \mathbf{p}\!\,</math> est son vecteur [[moment cinétique]],
* <math>k\!\,</math> est un paramètre décrivant l'intensité de la force,
* <math>\mathbf{r}\!\,</math> est le [[vecteur position]] de la particule (Figure 1), et
* <math>\mathbf{\hat{r}}\!\,</math> est le [[vecteur unitaire]] correspondant, i.e., <math>\mathbf{\hat{r}} = \frac{\mathbf{r}}{r}</math> où ''r'' est la norme de '''r'''.

Étant donné que la force est supposée [[Conservation de l'énergie|conservative]], l'[[énergie]] totale ''E'' est une [[loi de conservation|constante du mouvement]]:
:<math>
E = \frac{p^{2}}{2m} - \frac{k}{r} = \frac{1}{2} mv^{2} - \frac{k}{r}
</math>.

De plus la force étant centrale, le moment cinétique '''L''' est également constant et définit le plan dans lequel la particule se déplace. Le vecteur de Runge-Lenz est perpendiculaire à '''L''' car '''p''' ∧ '''L''' et '''r''' sont perpendiculaires à '''L'''. Il s'ensuit que '''A''' est contenu dans le [[plan (mathématiques)|plan]] de l'[[orbite]].

Cette définition de '''A''' est applicable pour une particule seule et ponctuelle de masse ''m'' se déplaçant sous l'effet d'une force donnée. Cependant la même définition peut être étendue au [[problème à deux corps]], tel que le problème de Kepler, en prenant pour ''m'' la [[masse réduite]] des deux corps et pour '''r''' le [[vecteur]] entre les deux corps.

Une alternative pour la même constante du mouvement est également possible. La plus commune est de diviser par <math>mk</math> pour définir le [[vecteur excentricité]]
:<math>\mathbf{e} = \frac{\mathbf{A}}{m k} = \frac{1}{m k}(\mathbf{p} \wedge \mathbf{L}) - \mathbf{\hat{r}}</math>.

== Obtention de l'orbite de Kepler ==

[[Fichier:Laplace Runge Lenz vector2.svg |vignette |droite |Figure 2: version simplifiée de la Figure 1, définissant l'angle θ entre '''A''' et '''r''' en un point de l'orbite.]]

La forme et l'orientation des orbites dans le problème à deux corps de Kepler peuvent être déterminées à partir du vecteur de Runge-Lenz comme suit<ref name="goldstein_1980" />. Le produit scalaire de '''A''' par le vecteur position '''r''' donne l'équation

:<math>
\mathbf{A} \cdot \mathbf{r} = Ar \cos\theta = 
\mathbf{r} \cdot \left( \mathbf{p} \wedge \mathbf{L} \right) - mkr</math>,

où θ est l'angle entre '''r''' et '''A''' (Figure 2). En permutant le [[Calcul vectoriel en géométrie euclidienne#Produit mixte|produit mixte]]

:<math>
\mathbf{r} \cdot\left(\mathbf{p}\wedge \mathbf{L}\right) = 
\left(\mathbf{r} \wedge \mathbf{p}\right)\cdot\mathbf{L} = 
\mathbf{L}\cdot\mathbf{L}=L^2</math>,

et un réarrangement conduit à la formule de définition d'une [[conique]]

:<math>
\frac{1}{r} = \frac{mk}{L^{2}} \left( 1 + \frac{A}{mk} \cos\theta \right)</math>

d'[[excentricité (mathématiques)|excentricité]] <math>e\!\,</math>

:<math>
e = \frac{A}{mk} = \frac{\left|\mathbf{A}\right|}{m k}</math>

et de paramètre ''p''

:<math>
\left| p \right| = \frac{L^{2}}{mk}</math>.

Le demi-[[grand axe]] ''a'' de la conique peut être obtenu à partir du paramètre et l'excentricité

:<math>
a \left( 1 \pm e^{2} \right) = p = \frac{L^{2}}{mk}</math>,

où le signe moins désigne une [[Ellipse (mathématiques)|ellipse]] et le signe plus une [[Hyperbole (mathématiques)|hyperbole]].

La norme de '''A''' mène à une équation faisant intervenir l'énergie ''E''

:<math>
A^2= m^2 k^2 + 2 m E L^2 \,</math>,

ce qui peut être réécrit en termes d'excentricité

:<math>
e^{2}  - 1= \frac{2L^{2}}{mk^{2}}E</math>.

Donc, si l'énergie est négative ([[état lié]]) l'excentricité est inférieure à un et l'orbite est une ellipse. Si l'énergie est positive (état libre ou état de diffusion), l'excentricité est supérieure à un est l'orbite est une hyperbole. Pour finir, si l'énergie est exactement égale à zéro l'orbite est une [[parabole]] (excentricité égale à 1). Dans tous les cas '''A''' est colinéaire à l'axe de [[symétrie]] de la conique et est dirigé du centre de force vers le [[periapside]], point de plus courte approche.

== Hodographes circulaires de la quantité de mouvement ==

[[Fichier:Kepler hodograph3.svg|vignette|droite|Figure 3 : le vecteur quantité de mouvement '''p''' (en bleue) décrit un cercle quand la particule se déplace sur l'ellipse. Les quatre points notés sont ceux de la Figure 1. Le cercle est centré sur l'axe ''p<sub>y</sub>'' à la position ''A/L'' (en magenta) et a un rayon ''mk/L'' (en vert). L'angle η détermine l'excentricité ''e'' de l'orbite elliptique (cos η = ''e''). Par le théorème des angles inscrits dans un cercle, η est aussi l'angle formé par n'importe quel point du cercle et les deux points d'intersection avec l'axe ''p<sub>x</sub>'' situés en ''p<sub>x</sub>''=±''p<sub>0</sub>''.]]

La conservation du vecteur de Runge-Lenz '''A''' et du vecteur moment cinétique '''L''' est utile pour montrer que le vecteur '''p''' se déplace sur un cercle dans un mouvement à [[force centrale]] suivant une [[loi en carré inverse]]<ref name="hamilton_1847_hodograph" />{{,}}<ref name="goldstein_1975_1976" />. Le [[produit vectoriel]] de '''A''' et '''L''' mène à une équation pour '''p'''

:<math>
L^{2} \mathbf{p} = \mathbf{L} \wedge \mathbf{A} - mk \hat{\mathbf{r}} \wedge \mathbf{L}</math>.

En prenant '''L''' le long de l'axe ''z'' et le grand axe suivant l'axe ''x'' on obtient l'équation :

:<math>
p_{x}^{2} + \left(p_{y} - A/L \right)^{2} = \left( mk/L \right)^{2}</math>.

En d'autres termes, le vecteur quantité de mouvement '''p''' décrit un cercle de rayon ''mk/L'' centré en (0, ''A/L''). L'excentricité ''e'' correspond au cosinus de l'angle η vu à la Figure 3. Il est également intéressant d'introduire la variable <math>p_{0} = \sqrt{2m\left| E \right|}</math>. Cet [[hodographe]] circulaire permet d'illustrer la [[symétrie]] du problème de Kepler.

== Constantes du mouvement et superintégrabilité ==

Les sept grandeurs [[Scalaire (mathématiques)|scalaires]] ''E'', '''A''' et '''L''' (étant des vecteurs, les deux dernières comptent comme trois grandeurs conservées chacune) sont reliées par deux équations '''A''' · '''L''' = 0 et ''A''{{2}} = ''m''{{2}}''k''{{2}} + 2 ''m E L''{{2}}, ce qui laisse 5 constantes du mouvement indépendantes. Ceci est cohérent avec les six conditions initiales du système (la position initiale et le vecteur vitesse initiale ayant chacune trois composantes) qui détermine l'orbite de la particule puisque la date initiale ne peut pas être déterminée par une constante du mouvement. Étant donné que la norme de '''A''' (et donc l'excentricité ''e'' de l'orbite) peut être déterminée par le moment cinétique ''L'' et l'énergie ''E'', seule la ''direction'' de '''A''' est conservée indépendamment ; en outre, comme '''A''' doit être [[orthogonal]] à '''L''', il ne fournit en fait qu'une seule constante du mouvement.

Un système mécanique à ''d'' [[degré de liberté (mécanique)|degrés de liberté]] peut avoir au maximum 2''d'' – 1 constantes du mouvement indépendantes, puisqu'il y a 2''d'' conditions initiales et que la date initiale ne peut être déterminée par une constante du mouvement<ref name="LL">{{Landau|tome 1}}.</ref>. Un système qui possède plus de ''d'' constantes du mouvement est appelé ''superintégrable'' et un système à 2''d'' − 1 constantes est dit ''maximalement superintégrable''<ref>{{article|langue=en|lang=en| nom1 = Evans |prénom=N. W.| année = 1990 | titre = Superintegrability in classical mechanics | journal = Physical Review A | volume = 41 | page= 5666–5676}}.</ref>.

Puisque l'[[équations de Hamilton-Jacobi|équation de Hamilton-Jacobi]] dans un [[système de coordonnées]] ne mène qu'à ''d'' constantes du mouvement, les [[Système intégrable|systèmes intégrables]] sont séparables dans plus d'un système de coordonnées<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=A.|nom1=Sommerfeld|lien auteur1=Arnold Sommerfeld|titre=Atomic Structure and Spectral Lines|lieu=Londres|éditeur=[[Methuen (maison d'édition)|Methuen]]|année=1923|passage=118}}.</ref> Le problème de Kepler est maximalement superintégrable puisqu'il possède 3 degrés de liberté et 5 constantes du mouvement indépendantes ; son équation de Hamilton-Jacobi est séparable à la fois en [[coordonnées sphériques]] et en [[coordonnées paraboliques]]<ref name="LL"/>. Les systèmes maximalement superintégrables mènent à des orbites fermées à une dimension dans l'espace des phases, puisque l'orbite est l'intersection des iso-surfaces de leurs constantes du mouvement dans l'espace des phases. Ces systèmes peuvent être [[Seconde quantification|quantifiés canoniquement]] en utilisant uniquement des [[Commutateur (opérateur)|relations de commutation]] comme expliqué [[#Mécanique quantique de l'atome d'hydrogène|plus bas]]<ref>{{article|langue=en|lang=en| nom1 = Evans |prénom=N. W.| année = 1991 | titre = Group theory of the Smorodinsky–Winternitz system | journal = Journal of Mathematical Physics | volume = 32 | pages = 3369–3375}}.</ref>.

== Évolution dans des potentiels perturbés ==

[[Fichier:Relativistic precession.svg |droite|vignette |Figure 5: précession graduelle d'une orbite elliptique d'excentricité ''e''=0,667. Une telle précession apparaît dans le problème de Kepler si la [[force centrale]] attractive s'écarte légèrement d'une [[loi en carré inverse]]. Le ''taux'' de précession peut être calculé grâce aux formules données dans le texte.]]

Le vecteur de Runge-Lenz '''A''' est conservé uniquement pour une force centrale suivant loi strictement en carré inverse. Dans la plupart des problèmes pratiques tels que les mouvements de planètes, l'énergie potentielle d'interaction entre deux corps ne découle pas rigoureusement d'une telle loi et peut inclure un terme additif, appelé potentiel de perturbation ''h''(''r''). Dans de tels cas le vecteur de Runge-Lenz tourne lentement dans le plan de l'orbite ce qui correspond à une lente [[précession du périastre]] de l'orbite. Par hypothèse le potentiel de perturbation ''h''(''r'') est conservatif et central, ce qui implique que l'énergie totale ''E'' et le vecteur moment cinétique '''L''' sont conservés. En conséquence le mouvement reste contenu dans un plan perpendiculaire à '''L''' et la norme de ''A'' se conserve selon l'équation ''A''<sup>2</sup>&nbsp;= ''m''<sup>2</sup>''k''<sup>2</sup>+2''mEL''<sup>2</sup>. Le potentiel de perturbation ''h''(''r'') peut être n'importe quelle fonction mais doit être significativement plus petit que le potentiel découlant de la force en carré inverse entre les deux corps.

La ''vitesse'' à laquelle le vecteur de Runge-Lenz tourne donne des informations sur le potentiel de perturbation ''h(r)''. En utilisant la [[théorie des perturbations]] canoniques et les coordonnées action-angle, on obtient immédiatement<ref name="goldstein_1980" /> que '''A''' tourne à la vitesse

:<math>\begin{array}{rcl}
\frac{\partial}{\partial L} \langle h(r) \rangle & = &\displaystyle \frac{\partial}{\partial L} \left\{ \frac{1}{T} \int_{0}^{T} h(r) \, dt \right\} \\[1em]
& = & \displaystyle\frac{\partial}{\partial L} \left\{ \frac{m}{L^{2}} \int_{0}^{2\pi} r^{2} h(r) \, d\theta \right\}.
\end{array}</math>,

où ''T'' est la période orbitale et dans laquelle l'identité ''L''&nbsp;''dt''&nbsp;= ''m''&nbsp;''r''<sup>2</sup>&nbsp;''d''θ a été utilisée pour convertir l'intégrale temporelle en intégrale angulaire (Figure 5). L'expression entre crochets, 〈''h''(''r'')〉, représente la moyenne sur une période du potentiel de perturbation, c'est-à-dire la moyenne pour la particule décrivant complètement une fois son orbite. Mathématiquement la moyenne temporelle, qui est la grandeur entre accolades, permet d'éliminer les fluctuations dans le taux de rotation.

Cette approche a été utilisée pour permettre une vérification de la théorie d'[[Albert Einstein|Einstein]] de la [[relativité générale]], qui ajoute un terme cubique de perturbation au potentiel gravitationnel newtonien<ref name="einstein_1915">{{article |langue=en |lang=de| nom1 = Einstein |prénom=A.|lien auteur=Albert Einstein |année=1915 |titre=Erklärung der Perihelbewegung des Merkur aus der allgemeinen Relativitätstheorie |journal=Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften |volume=1915 |pages=831–839}}</ref>

:<math>
h(r) = \frac{kL^{2}}{m^{2}c^{2}} \left( \frac{1}{r^{3}} \right)</math>.

En injectant cette fonction dans l'intégrale et en utilisant l'équation

:<math>
\frac{1}{r} = \frac{mk}{L^{2}} \left( 1 + \frac{A}{mk} \cos\theta \right)</math>

pour exprimer ''r'' en fonction de θ, la [[précession du périastre]] due à des perturbations non-newtonniennes est<ref name="einstein_1915" />

:<math>\frac{6\pi k^{2}}{TL^{2}c^{2}}</math>,

ce qui correspond étroitement à l'anomalie observée de la précession de [[Mercure (planète) |Mercure]]<ref>{{article |langue=en|nom1=Le Verrier |prénom=U.| lien auteur=Le Verrier |année=1859 |titre=Lettre de M. Le Verrier à M. Faye sur la Théorie de Mercure et sur le Mouvement du Périhélie de cette Planète |journal=Comptes Rendus de l'Academie de Sciences (Paris) |volume=49 |pages=379–383}}</ref> et des [[pulsar binaire|pulsars binaires]]<ref>{{Ouvrage |prénom1=C. M. |nom1=Will |titre=General Relativity, an Einstein Century Survey |lieu=Cambridge |éditeur=[[Cambridge University Press]] |année=1979 |numéro d'édition=SW Hawking and W Israel, eds. |passage=Chapter 2 |isbn=}}</ref>. Cet accord avec l'expérience est considéré comme une preuve importante de la validité de la [[relativité générale]]<ref>{{Ouvrage |langue=en |prénom1=A. |nom1=Pais |lien auteur1=Abraham Pais |titre=Subtle is the Lord : The Science and the Life of Albert Einstein |éditeur=[[Oxford University Press]] |année=1982 |isbn=}}</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage |prénom1=N. T. |nom1=Roseveare |titre=Mercury's Perihelion from Le Verrier to Einstein |éditeur=[[Oxford University Press]] |année=1982 |isbn=}}</ref>.

== Crochets de Poisson ==

Les trois composantes ''L<sub>i</sub>'' du vecteur moment cinétique '''L''' ont les [[crochet de Poisson|crochets de Poisson]]<ref name="goldstein_1980" />

:<math>
\left\{ L_{i}, L_{j}\right\} = \sum_{s=1}^{3} \epsilon_{ijs} L_{s}</math>,

où ''i''=1,2,3 et ε<sub>ijs</sub> est le [[symbole de Levi-Civita]] ; l'indice de sommation ''s'' est utilisé ici pour éviter l'ambiguïté avec le paramètre ''k'' de la force vue plus haut.

Comme expliqué plus bas une autre échelle du vecteur de Runge-Lenz, '''D''', peut être définie dans la même unité que le [[moment cinétique]] en divisant '''A''' par ''p<sub>0</sub>''. Le [[crochet de Poisson]] de '''D''' avec le vecteur moment cinétique '''L''' peut être sous une forme similaire<ref name="bohm_1986">{{Ouvrage|langue=en|prénom1=A.|nom1=Bohm|titre=Quantum Mechanics|sous-titre=Foundations and Applications|éditeur=[[Springer Verlag]]|année=1986|numéro d'édition=2|passage=208–222|isbn=}}</ref>

:<math>\left\{ D_{i}, L_{j}\right\} = \sum_{s=1}^{3} \epsilon_{ijs} D_{s}</math>.

Le [[crochet de Poisson]] de '''D''' avec ''lui-même'' dépend du signe de ''E''. Pour des énergies ''négatives'' (systèmes liés de trajectoire fermée, elliptique si la force suit une loi en carré inverse) le crochet de Poisson est :

:<math>\left\{ D_{i}, D_{j}\right\} = \sum_{s=1}^{3} \epsilon_{ijs} L_{s}</math>

tandis que pour une énergie positive (systèmes libres de trajectoire ouverte, hyperbolique si la force est en carré inverse de la distance) le crochet a le signe opposé

:<math>\left\{ D_{i}, D_{j}\right\} = -\sum_{s=1}^{3} \epsilon_{ijs} L_{s}</math>.

Les [[opérateur de Casimir|opérateurs de Casimir]] pour des énergies négatives sont définis par

:<math>C_{1} = \mathbf{D} \cdot \mathbf{D} + \mathbf{L} \cdot \mathbf{L} = \frac{mk^{2}}{2\left|E\right|}</math>

:<math>C_{2} = \mathbf{D} \cdot \mathbf{L} = 0</math>

et ont des crochets de Poisson nuls avec toutes les composantes de '''D''' et '''L'''

:<math>\left\{ C_{1}, L_{i} \right\} = \left\{ C_{1}, D_{i} \right\} = 
\left\{ C_{2}, L_{i} \right\} = \left\{ C_{2}, D_{i} \right\} = 0</math>.

''C<sub>2</sub>'' est nul de manière évidente, puisque les deux vecteurs sont toujours perpendiculaires. Cependant l'autre invariant ''C<sub>1</sub>'' n'est pas trivial et dépend seulement de ''m'', ''k'' et ''E''. Cet invariant permet d'obtenir les [[niveau d'énergie|niveaux d'énergie]] de l'[[atome d'hydrogène]] en utilisant uniquement les [[Commutateur (opérateur)|relations de commutation]] de la [[mécanique quantique]] à la place de la méthode plus commune s'appuyant sur l'[[équation de Schrödinger]].

== Mécanique quantique de l'atome d'hydrogène ==

[[Fichier:Hydrogen energy levels.png |vignette |droite |Figure 6: Niveaux d'énergie de l'atome d'hydrogène tels que prévus par les relations de commutation des opérateurs moment cinétique et vecteur de Runge-Lenz ; ces niveaux d'énergie ont été vérifiés expérimentalement.]]

Les crochets de Poisson fournissent une méthode simple de [[quantification canonique]] d'un système mécanique ; la relation de commutation de deux [[opérateur (physique)|opérateurs]] {{lh|Quantique|quantiques}} est égal au crochet de Poisson des variables [[mécanique classique |classiques]] correspondantes multiplié par <math>i\hbar</math><ref>{{Ouvrage |langue=en |prénom1=P. |nom1=Dirac |lien auteur1=Paul Dirac |titre=Principles of Quantum Mechanics, 4th revised edition |éditeur=[[Oxford University Press]] |année=1958 }}</ref>. En menant le calcul de cette quantification et en déterminant les valeurs propres de l'opérateur de Casimir <math>C_{1}</math> du problème de Kepler, [[Wolfgang Pauli]] a obtenu [[spectre électromagnétique|spectre énergétique]] des [[atome hydrogénoïde|atomes hydrogénoïdes]] (Figure 6) et donc leur [[spectre d'émission]] atomique{{sfn|Pauli|1926}}. Ce résultat élégant a été obtenu avant le développement de la [[mécanique ondulatoire]]<ref>{{article |langue=en|lang=de| nom1=Schrödinger |prénom=E.|lien auteur=Erwin Schrödinger |année=1926 |titre=Quantisierung als Eigenwertproblem |journal=Annalen der Physik |volume=384 |pages=361–376}}</ref>.

Une subtilité de l'opérateur quantique associé au vecteur de Runge-Lenz '''A''' est que les opérateurs impulsion et moment cinétique ne commutent pas ; le produit vectoriel de '''p''' et '''L''' doit alors être défini avec précaution<ref name="bohm_1986" />. Généralement, les opérateurs pour les composantes cartésiennes ''A<sub>s</sub>'' sont définis en utilisant un produit symétrique :

:<math>A_{s} = - m k \hat{r}_{s} + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} \epsilon_{sij} \left( p_{i} l_{j} + l_{j} p_{i} \right) </math>

à partir desquels les [[opérateur d'échelle|opérateurs d'échelle]] correspondants peuvent être définis

:<math>J_{0} = A_{3} \,</math>

:<math>J_{\pm 1} = \mp \frac{1}{\sqrt{2}} \left( A_{1} \pm i A_{2} \right)</math>.

Un premier opérateur de Casimir normalisé peut de la même manière être défini

:<math>C_{1} = - \frac{m k^{2}}{2 \hbar^{2}} H^{-1} - I</math>,

où ''H''<sup>−1</sup> est l'inverse de l'[[opérateur hamiltonien|opérateur énergie hamiltonien]] et ''I'' est l'[[application identité|opérateur identité]]. En appliquant cet opérateur aux [[état propre|états propres]] <math>\left| l m n \right.\rangle</math> des opérateurs moment cinétique total, moment cinétique azimutal et énergie, les valeurs propres du premier opérateur de Casimir ''C''<sub>1</sub> sont ''n''<sup>2</sup> - 1 ; elles sont indépendantes des nombres quantiques ''l'' et ''m'', rendant les états d'énergie [[dégénérescence (physique)|dégénérés]]<ref name="bohm_1986" />. Les états d'énergie sont donnés par

:<math>E_{n} = - \frac{m k^{2}}{2\hbar^{2} n^{2}} </math>,

ce qui est équivalent à la [[formule de Rydberg]] pour les [[atome hydrogénoïde|atomes hydrogénoïdes]] (Figure 6).

== Conservation et symétrie ==

La conservation du vecteur de Runge-Lenz correspond à une [[symétrie]] subtile du système. En [[mécanique classique]] les symétries sont des opérations continues qui permettent de passer d'une orbite à une autre sans changer l'énergie du système ; en [[mécanique quantique]] les symétries sont des opérations continues qui mélangent les [[orbitale atomique|orbitales atomiques]] de même énergie c'est-à-dire qui provoquent une dégénérescence des niveaux d'énergie. Une grandeur se conservant est généralement associée à de telles symétries<ref name="goldstein_1980" />. Par exemple toute force centrale est symétrique par le [[Groupe orthogonal|groupe de rotations]] [[SO(3)]] ce qui mène à la conservation du [[moment cinétique]] '''L'''. Classiquement une rotation complète du système ne modifie pas l'énergie de l'orbite ; quantiquement, les rotations combinent les [[harmoniques sphériques]] de même [[nombre quantique]] ''l'' sans changer l'énergie.

[[Fichier:Kepler hodograph family.png|vignette|droite|Figure 7 : la famille des hodographes circulaires pour une énergie donnée ''E''. Tous les cercles passent par les deux même points <math>\pm p_{0} = \pm \sqrt{2m\left| E \right|}</math> sur l'axe ''p<sub>x</sub>'' (cf. Figure 3). Cette famille d'hodographes correspond à une famille de [[cercles d'Apollonius]] et à une isosurface σ de [[Système de coordonnées bipolaires|coordonnées bipolaires]].]]

La symétrie d'une force centrale suivant une loi en carré inverse est plus élevée et plus compliquée. La symétrie particulière du problème de Kepler résulte de la conservation simultanée du moment cinétique '''L''' et du vecteur de Runge-Lenz '''A''' (tel que défini [[#Définitions mathématiques|plus haut]]) et, en mécanique quantique, assure que les niveaux d'énergie de l'atome d'hydrogène ne dépendent pas des nombres quantiques ''l'' et ''m''. La symétrie est cependant plus subtile car elle prend place dans un espace de [[dimension d'un espace vectoriel|dimension]] supérieure ; de telles symétries sont parfois appelées « symétries cachées »<ref name="prince_eliezer_1981" >{{article|langue=en|lang=en|auteur=G. E. Prince et C. J. Eliezer| année = 1981 | titre = On the Lie symmetries of the classical Kepler problem | journal = Journal of Physics A: Mathematical and General | volume = 14 | pages = 587–596}}.</ref>.

Classiquement la haute symétrie du problème de Kepler permet une perturbation continue des orbites conservant l'énergie mais pas le moment cinétique ; en d'autres termes, des orbites de même énergie mais de moments cinétiques différents (donc d'excentricités différentes) peuvent être transformées continûment les unes en les autres. De manière quantique cela consiste à faire une combinaison d'orbitales différant par leurs nombres quantiques ''l'' et ''m'' telles que des orbitales atomiques ''s'' (''l''=0) et ''p'' (''l''=1) par exemple. De telles combinaisons ne peuvent être faites en considérant les rotations et translations habituelles à trois dimensions, mais correspondent à une rotation dans un espace de plus grande dimension.

Pour des énergies négatives, c'est-à-dire des systèmes liés, le groupe de plus haute symétrie du système est [[Rotation vectorielle#Rotations en dimension 4|SO(4)]], qui conserve la longueur dans un espace à quatre dimensions

:<math>
\left| \mathbf{e} \right|^{2} = e_{1}^{2} + e_{2}^{2} + e_{3}^{2} + e_{4}^{2}
</math>

En 1935, [[Vladimir Fock]] montre que le problème de Kepler d'un système quantique lié est équivalent au problème d'une particule libre se déplaçant sur une 3-sphère dans un espace à quatre dimensions<ref name="fock_1935" />. Plus précisément Fock montre que l'[[équation de Schrödinger]] des [[fonction d'onde|fonctions d'onde]] dans l'espace des moments est la [[projection stéréographique]] des [[harmoniques sphériques]] sur la sphère.<!--Rotation of the sphere and reprojection results in a continuous mapping of the elliptical orbits without changing the energy; quantum mechanically, this corresponds to a mixing of all orbitals of the same energy quantum number ''n''.  [[Valentine Bargmann]] noted subsequently that the Poisson brackets for the angular momentum vector '''L''' and the scaled LRL vector '''D''' formed the [[algèbre de Lie]] pour SO(4).<ref name="bargmann_1936" />  Simply put, the six quantities '''D''' and '''L''' correspond to the six conserved angular momenta in four dimensions, associated with the six possible [[SO(4)|simple rotations]] in that space (there are six ways of choosing two axes from four).  This conclusion does not imply that our [[universe]] is a three-dimensional sphere; it merely means that this particular physics problem (the [[two-body problem]] for inverse-square [[central force]]s) is ''mathematically equivalent'' to a free particle on a three-dimensional sphere.
 
For ''positive'' energies — i.e., for unbound, "scattered" systems —  the higher symmetry group is  [[SO(3,1)]], which preserves the [[Minkowski space|Minkowski length]] of [[4-vector]]s

:<math>
ds^{2} = e_{1}^{2} + e_{2}^{2} + e_{3}^{2} - e_{4}^{2}
</math>

Both the negative- and positive-energy cases were considered by Fock<ref name="fock_1935" /> and Bargmann<ref name="bargmann_1936" /> and have been reviewed encyclopedically by Bander and Itzykson.<ref name="bander_itzykson_1966">{{article |langue=en| nom1 = Bander | prénom = M. |auteur2=C. Itzykson| année = 1966 | titre = Group Theory and the Hydrogen Atom (I) | journal = Reviews of Modern Physics | volume = 38 | pages = 330–345}}.</ref>{{,}}<ref>{{article |langue=en| nom1 = Bander | prénom = M. |auteur2=C. Itzykson| année = 1966 | titre = Group Theory and the Hydrogen Atom (II) | journal = Reviews of Modern Physics | volume = 38 | pages = 346–358}}.</ref>

The orbits of [[central force|central-force]] systems — and those of the Kepler problem in particular — are also symmetric under [[reflection (mathematics)|reflection]].  Therefore, the [[SO(3)]], [[SO(4)]] and [[SO(3,1)]] groups cited above are not the full symmetry groups of their orbits; the full groups are [[orthogonal group|O(3)]], [[orthogonal group|O(4)]] and [[O(3,1)]], respectively.  Nevertheless, only the [[connected space|connected]] [[subgroup]]s,  SO(3), SO(4) and SO(3,1), are needed to demonstrate the conservation of the [[angular momentum]] and LRL vectors; the reflection symmetry is irrelevant for conservation, which may be derived from the [[Lie algebra]] of the group.-->

== Notes et références ==
=== Références ===
{{Références}}

=== Notes ===
{{Traduction/Référence|en|Laplace-Runge-Lenz vector|205633756}}

== Voir aussi ==

=== Bibliographie ===

==== Dictionnaires et encyclopédies ====
* {{Chapitre | langue=en | prénom=V. V. | nom=Okhrimenko | titre=Laplace vector | auteur ouvrage=[[Michiel Hazewinkel]] (éd. et {{préface}}) | titre ouvrage=[[Encyclopædia of Mathematics|Encyclopaedia of mathematics]] | tome={{V}} | titre tome=I – Lituus | lieu=Dordrecht, Boston et Londres | éditeur=[[Springer Science+Business Media|Kluwer Academic]], hors {{coll.}} | date=1/1990 | réimpression={{date-|1/2012}} | numéro d'édition=1 | isbn=1-556-08004-2 | ean=9781556080043 | oclc=491836939 | bnf=37357904f | doi=10.1007/978-94-009-5988-0 | sudoc=072083824 | pages totales={{IX}}-534 | format livre={{unité|30|cm}} | présentation en ligne=https://link.springer.com/book/10.1007/978-94-009-5988-0 | lire en ligne={{Google Livres|id=GRLtCAAAQBAJ}} | consulté le=5 novembre 2023 | passage=357-358 | libellé=Okhrimenko 1990}}.
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom1=Richard | nom1=Taillet | prénom2=Loïc | nom2=Villain | prénom3=Pascal | nom3=Febvre | titre=Dictionnaire de physique | lieu=Louvain-la-Neuve | éditeur=[[Groupe De Boeck|De Boeck Supérieur]], hors {{coll.}} | date=1/2018 | numéro d'édition=4 | année première édition={{date-|5/2008}} | pages totales={{X}}-956 | format livre={{dunité|17|24|cm}} | isbn10=2-8073-0744-2 | isbn=978-2-8073-0744-5 | ean=9782807307445 | oclc=1022951339 | bnf=456469019 | hal=hal-02017867 | sudoc=224228161  | présentation en ligne=https://www.deboecksuperieur.com/ouvrage/9782807348226-dictionnaire-de-physique | lire en ligne={{Google Livres|id=pjlFDwAAQBAJ}} | consulté le=4 novembre 2023 | libellé=Taillet, Villain et Febvre 2018}}.

==== Manuels d'enseignement supérieur ====
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom=Jean-Louis | nom=Basdevant | lien auteur=Jean-Louis Basdevant | titre=Principes variationnels de la physique | sous-titre=cours et applications | lieu=Louvain-la-Neuve | éditeur=[[Groupe De Boeck|De Boeck Supérieur]] | collection=LMD | série=physique | date=4/2022 | numéro d'édition=4 | année première édition={{date-|5/2002}} | pages totales=206 | format livre={{dunité|17|24|cm}} | isbn10=2-8073-3981-6 | isbn=978-2-8073-3981-1 | ean=9782807339811 | oclc=1314120244 | bnf=470144132 | sudoc=262224887 | présentation en ligne=https://www.deboecksuperieur.com/ouvrage/9782807339811-principes-variationnels-de-la-physique | lire en ligne={{Google Livres|d=ugtqEAAAQBAJ}} | consulté le=4 novembre 2023 | libellé=Basdevant 2022}}.
* {{Ouvrage | langue=en | prénom1=Sergei | nom1=Kopeikin | prénom2=Michael | nom2=Efroimsky | prénom3=George | nom3=Kaplan | titre=Relativistic celestial mechanics of the Solar system | lieu=Weinheim | éditeur=[[Wiley-VCH]], hors {{coll.}} | date=8/2011 | numéro d'édition=1 | pages totales={{XXXI}}-860 | format livre={{dunité|18,5|24,9|cm}} | isbn10=3-527-40856-8 | isbn=978-3-527-40856-6 | ean=9783527408566 | oclc=800837798 | doi=10.1002/9783527634569 | bibcode=2011rcms.book.....K | s2cid=118280176 | sudoc=156553651 | présentation en ligne=https://onlinelibrary.wiley.com/doi/book/10.1002/9783527634569 | lire en ligne={{Google Livres|id=uN5_DQWSR14C}} | consulté le=5 novembre 2023 | libellé=Kopeikin, Efroimsky et Kaplan 2011}}.
* {{Ouvrage | langue=en | prénom=Andrew J. | nom=Larkoski | titre=Quantum mechanics | sous-titre=a mathematical introduction | lieu=Cambridge | éditeur=[[Cambridge University Press|CUP]] | collection=Higher education | date=12/2022 | numéro d'édition=1 | pages totales=398 | format livre={{dunité|17,8|25,4|cm}} | isbn10=1009100505 | isbn=978-1-00-910050-2 | ean=9781009100502 | oclc=1395447238 | doi=10.1017/9781009118026 | s2cid=255900878 | sudoc=266514677 | présentation en ligne=https://www.cambridge.org/highereducation/books/quantum-mechanics/C114CA0F4A218733CEEC8759DFA4661C | lire en ligne={{Google Livres|id=OT2XEAAAQBAJ}} | consulté le=5 novembre 2023 | libellé=Larkoski 2022}}.
* {{Chapitre | langue=en | prénom=Harold V. | nom=McIntosh | titre=Symmetry and degeneracy | auteur ouvrage=Ernest M. Loebl (éd. et {{préface}}) | titre ouvrage=Group theory and its applications | tome={{II}} | lieu=New York et Londres | éditeur=[[Academic Press]], hors {{coll.}} | date=1/1971 | numéro d'édition=1 | pages totales={{XIII}}-312 | format livre={{dunité|15,2|23,5|cm}} | isbn=0-12-455152-1 | ean=9780124551527 | oclc=490153283 | bnf=44636943w | doi=10.1016/C2013-0-11100-2 | sudoc=020364466 | présentation en ligne=https://shop.elsevier.com/books/group-theory-and-its-applications/loebl/978-0-12-455152-7 | lire en ligne={{Google Livres|id=p6riBQAAQBAJ}} | consulté le=4 novembre 2023 | partie={{chap.|2}} | passage=75-144 | libellé=McIntosh 1971}}.
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom1=Jean-Pierre | nom1=Provost | prénom2=Bernard | nom2=Raffaelli | prénom3=Gérard | nom3=Vallée | titre=Mathématiques en physique | sous-titre=concepts et outils | lieu=Malakoff | éditeur=[[Éditions Dunod|Dunod]] | collection=Sciences sup | série=mathématiques | date=1/2019 | numéro d'édition=1 | pages totales={{XIV}}-366 | format livre={{dunité|17,5|25|cm}} | isbn10=2-10-079023-4 | isbn=978-2-10-079023-4 | ean=9782100790234 | oclc=1083672225 | bnf=456525979 | sudoc=233556478 | présentation en ligne=https://www.dunod.com/sciences-techniques/mathematiques-en-physique-concepts-et-outils | lire en ligne={{Google Livres|id=m5yBDwAAQBAJ}} | consulté le=4 novembre 2023 | libellé=Provost, Raffaelli et Vallée 2019}}.
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom=André | nom=Rougé | titre=Introduction à la physique subatomique | lieu=Palaiseau | éditeur=[[École polytechnique (France)|École polytechnique]] | collection=Physique | date=5/2005 | numéro d'édition=1 | pages totales=442 | format livre={{dunité|17|24|cm}} | isbn=2-7302-1231-0 | ean=9782730212311 | oclc=80758501 | bnf=40137489n | sudoc=08798542X | présentation en ligne=https://www.editions.polytechnique.fr/?afficherfiche=10 | lire en ligne={{Google Livres|id=68wtbbFssGcC}} | consulté le=4 novembre 2023 | libellé=Rougé 2005}}.
* {{Ouvrage | langue=en | prénom=Florian | nom=Scheck | titre=Mechanics | sous-titre=from Newton's laws to deterministic chaos | lieu=Berlin, Heidelberg et New York | éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer]] | collection=advanced texts in physics | date=10/2004 | numéro d'édition=4 | année première édition={{date-|1/1990}} | pages totales={{XIV}}-547 | format livre={{dunité|15,6|23,4|cm}} | isbn=3-540-21925-0 | ean=9783540219255 | oclc=470436656 | bnf=39997748n | doi=10.1007/b138095 | sudoc=086069012 | présentation en ligne=https://link.springer.com/book/10.1007/b138095 | lire en ligne={{Google Livres|id=jlWsik0CACUC}} | consulté le=5 novembre 2023 | libellé=Scheck 2004}}.
* {{Ouvrage | langue=en | prénom1=Pieter | nom1=Thyssen | prénom2=Arnout | nom2=Ceulemans | titre=Shattered symmetry | sous-titre=from the eightfold way to the periodic table | lieu=Oxford et New York | éditeur=[[Oxford University Press|OUP]], hors {{coll.}} | date=3/2017 | numéro d'édition=1 | pages totales={{XXIII}}-498 | format livre={{dunité|15,6|23,5|cm}} | isbn10=0-19-061139-1 | isbn=978-0-19-061139-2 | ean=9780190611392 | oclc=946987565 | s2cid=126125187 | sudoc=227151607 | présentation en ligne=https://global.oup.com/academic/product/shattered-symmetry-9780190611392 | lire en ligne={{Google Livres|id=D36uDQAAQBAJ}} | consulté le=5 novembre 2023 | libellé=Thyssen et Ceulemans 2017}}.

==== Études ====
* {{Article | langue=en | prénom1=Davide | nom1=Batic | prénom2=Marek | nom2=Nowakowski | prénom3=Aya Mohammad | nom3=Abdelhaq | titre=New vistas on the Laplace–Runge–Lenz vector | périodique=Reviews in Physics | volume=10 | date=6/2023 | numéro article=100084 | oclc=9855289111 | doi=10.1016/j.revip.2023.100084 | bibcode=2023RvPhy..1000084B | arxiv=2305.04229 | s2cid=258431938 | résumé=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S2405428323000035?via%3Dihub#d1e1963 | lire en ligne=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S2405428323000035/pdfft?md5=656dc2886668a2fedc514a7c01f8ebc9&pid=1-s2.0-S2405428323000035-main.pdf | accès url=libre | format=pdf | libellé=Batic, Nowakowski et Abdelhaq 2023}}.
* {{Article | langue=en | prénom=Herbert | nom=Goldstein | lien auteur=Herbert Goldstein | titre=Prehistory of the « Runge–Lenz vector » | périodique=[[American Journal of Physics]] | volume=43 | numéro=8 | date=8/1975 | pages=737-738 | oclc=4660554341 | doi=10.1119/1.9745 | bibcode=1975AmJPh..43..737G | s2cid=123621430 | lire en ligne=https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/43/8/737/1050120/Prehistory-of-the-Runge-Lenz-vector | libellé=Goldstein 1975}}.
* {{Article | langue=en | prénom=Herbert | nom=Goldstein | lien auteur=Herbert Goldstein | titre=More on the prehistory of the Laplace or Runge–Lenz vector | périodique=[[American Journal of Physics]] | volume=44 | numéro=11 | date=11/1976 | oclc=4660558107 | doi=10.1119/1.10202 | bibcode=1976AmJPh..44.1123G | s2cid=121944671 | lire en ligne=https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/44/11/1123/1050204/More-on-the-prehistory-of-the-Laplace-or-Runge | libellé=Goldstein 1976}}.
* {{Article | langue=en | prénom=P. R. | nom=Subramanian | titre=Hermann-Bernoulli-Laplace-Hamilton-Runge-Lenz vector | périodique=Physics Education | volume=7 | numéro=4 | pages=323-327 | date=1991 | oclc=425015391 | s2cid=126327283 | libellé=Subramanian 1991}}.

==== Publications originales ====
* {{Article | langue=fr | prénom=Jean | nom=Bernoulli | lien auteur=Jean Bernoulli | titre=Extrait de la ''Réponſe'' de {{M.|Bernoulli}} à {{M.|Herman}}, datée de Baſle le {{nobr|7. Octobre}} {{date-|1710}} | traduction titre=Extrait de la ''Réponse'' de {{M.|Bernoulli}} à {{M.|Hermann}}, datée de Bâle le {{date-|7/10/1710}} | périodique=[[Académie des sciences (France)|Histoire de l'Académie royale des sciences]] | volume=année {{date-|1710}} | date=1732 | pages=521-544 | lire en ligne=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k34901/f709 | accès url=libre | format=pdf | id=Bernoulli_1710 | libellé=Bernoulli 1710}}.
* {{Article | langue=fr | prénom=Jakob | nom=Hermann | lien auteur=Jakob Hermann | titre=Extrait d'une ''Lettre'' de {{M.|Herman}} à {{M.|Bernoulli}}, datée de Padoüe le {{nobr|12. Juillet}} {{date-|1710}} | traduction titre=Extrait d'une ''Lettre'' de {{M.|Hermann}} à {{M.|Bernoulli}}, datée de Padou le {{date-|12/7/1710}} | périodique=[[Académie des sciences (France)|Histoire de l'Académie royale des sciences]] | volume=année {{date-|1710}} | date=1732 | pages=519-521 | lire en ligne=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k34901/f707 | accès url=libre | format=pdf | id=Hermann_1710 | libellé=Hermann 1710}}.
* {{Article | langue=en | prénom=William Rowan | nom=Hamilton | lien auteur=William Rowan Hamilton | titre=On the applications of quaternions to some dynamical questions | périodique=[[Proceedings of the Royal Irish Academy]] | volume={{III}} : | titre volume={{date-|1845}}-{{date-|1847}} | date=1847 | page=111 | jstor=20489531 | libellé=Hamilton}}.
* {{Article | langue=en | prénom=William Rowan | nom=Hamilton | lien auteur=William Rowan Hamilton | titre=Illustrations from geometry of the theory of algebraic quaternions | périodique=[[Proceedings of the Royal Irish Academy]] | volume={{III}} : | titre volume={{date-|1845}}-{{date-|1847}} | date=1847 | pages={{XXXI}}-{{rom-maj|L}} | jstor=20489663 | libellé=Hamilton}}.
* {{Article | langue=en  | prénom=William Rowan | nom=Hamilton | lien auteur=William Rowan Hamilton | titre=A new method of expressing, in symbolical language, the Newtonian law of attraction, &c. | périodique=[[Proceedings of the Royal Irish Academy]] | volume={{III}} : | titre volume={{date-|1845}}-{{date-|1847}} | date=1847 | pages=344-353 | jstor=20489607 | libellé=Hamilton}}.
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom=Pierre-Simon | nom=Laplace | lien auteur=Pierre-Simon de Laplace | titre=Traité de mécanique céleste | tome={{Ier}} | lieu=Paris | éditeur=J.-B.-M. Duprat | date=1799 | numéro d'édition=1 | pages totales={{XXXII}}-368 | format livre=in-4{{o}} | oclc=490372035 | bnf=30739080v | sudoc=042763711 | lire en ligne=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b8615811x | accès url=libre | format électronique=pdf | consulté le=4 novembre 2023 | partie={{1re|partie}}, {{liv.|{{II}}}} | passage=165 et suivantes | libellé=Laplace 1799}}.
* {{Article | langue=de | prénom=Wilhelm | nom=Lenz | lien auteur=Wilhelm Lenz | titre=Über den Bewegungsverlauf und die Quantenzustände der gestörten Keplerbewegung | périodique=[[The European Physical Journal|Zeitschrift für Physik]] | volume=24 | numéro=1 | date=12/1924 | pages=197-207 | oclc=5653574788 | doi=10.1007/BF01327245 | bibcode=1924ZPhy...24..197L | s2cid=121552327 | résumé=https://link.springer.com/article/10.1007/BF01327245 | libellé=Lenz 1924}}.
* {{Article | langue=de | prénom=Wolfgang | nom=Pauli | lien auteur=Wolfgang Pauli | titre=Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik | périodique=[[The European Physical Journal|Zeitschrift für Physik]] | volume=36 | numéro=5 | date=5/1926 | pages=336-363 | oclc=1238033087 | doi=10.1007/BF01450175 | bibcode=1926ZPhy...36..336P | s2cid=128132824 | résumé=https://link.springer.com/article/10.1007/BF01450175 | libellé=Pauli 1926}}.
* {{Ouvrage | langue=de | prénom=Carl | nom=Runge | lien auteur=Carl Runge | titre=Vektoranalysis | tome={{Ier}} | titre tome=Die Vektoranalysis des dreidimensionalen Raumes | lieu=Leipzig | éditeur=S. Hirzel | date=1919 | numéro d'édition=1 | pages totales={{VI}}-195 | format livre={{unité|22|cm}} | oclc=491682347 | sudoc=102152551 | lire en ligne=https://archive.org/details/vektoranalysis00runggoog | accès url=libre | format électronique=pdf | consulté le=4 novembre 2023 | libellé=Runge 1919}}.

=== Articles connexes ===
* [[Vecteur excentricité]]
* [[Théorème de Bertrand]]

=== Liens externes ===
* {{Lien web | langue=en | titre=Laplace vector | url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Laplace_vector | accès url=libre | traduction titre=vecteur de Laplace | série=[[Encyclopædia of Mathematics|Encyclopedia of Mathematics]] | éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer]] et [[Société mathématique européenne|EMS]]}}.
* {{Lien web | langue=en | titre=Runge–Lenz vector | url=https://www.oxfordreference.com/display/10.1093/acref/9780198821472.001.0001/acref-9780198821472-e-3971 | traduction titre=vecteur de Runge-Lenz | accès url=payant | série=Oxford Reference | éditeur=[[Oxford University Press|OUP]]}}.
* [http://www.juggling.ch/gisin/physique/KeplerLois/Cours_mecanique_3e_4e_Annexe_II.pdf Démonstration des lois de Kepler et propriétés d'une ellipse], cours de mécanique par Bernard Gisin (site personnel)

{{Portail|physique}}

[[Catégorie:Mécanique céleste]]
[[Catégorie:Mécanique classique]]
[[Catégorie:Vecteur|Runge Lenz]]