Voir la source de Vecteur euclidien

{{autre4|les vecteurs utilisés principalement en physique et ingénierie afin de représenter une grandeur orientée|les vecteurs mathématiques en général|vecteur}}
{{voir homonymes|vecteur (homonymie)}}

En [[mathématiques]], et plus précisément en [[géométrie euclidienne]], un '''vecteur euclidien'''<ref>{{Ouvrage|auteur1=[[Jean Salençon]]|titre=Mécanique des milieux continus|tome=1 : Concepts généraux|éditeur=Éditions École Polytechnique|année=2005|pages totales=370|passage=296|isbn=|lire en ligne={{Google Livres|6uN7keUWBWQC|page=296}}}}.</ref> est un objet [[géométrie|géométrique]] possédant une direction, un sens et une [[Norme (mathématiques)#Géométrie euclidienne usuelle|norme]]. On l'utilise par exemple en [[physique]] et en [[ingénierie]] pour modéliser une [[Force (physique)|force]].

On parle aussi parfois de '''vecteur géométrique'''<ref>{{Lien web
 | url = http://www.civil.usherbrooke.ca/cours/gci100/Babillard-GIN601_fichiers/Chapitre%201-GIN601.pdf
 | titre = Chapitre 1: Les vecteurs géométriques
 | auteur = Ammar Yahia
 | titre chapitre = Les vecteurs géométriques
 | site = civil.usherbrooke.ca
 | éditeur = [[Université de Sherbrooke]]
 }}.</ref> dans le [[plan euclidien]] (deux dimensions) et de '''vecteur spatial'''<ref>{{lien web
 | auteur = Interactive Power Electronics Seminar (iPES)
 | url = http://www.ipes.ethz.ch/ipes/Raumzeiger/f_RZ_Spiel.html
 | titre = Contrôle de courant basée sur le vecteur spatial pour un onduleur de tension triphasé MLI à six interrupteurs
 | éditeur = École polytechnique fédérale de Zurich
 | lien éditeur = École polytechnique fédérale de Zurich
 | site = ipes.ethz.ch
}}.</ref> dans l'espace à trois dimensions.

== Histoire ==
{{Article détaillé|Vecteur#Histoire{{!}}Vecteur}}

== Définitions et exemples ==

=== Vecteur, vecteur euclidien ===

En physique et en ingénierie, on travaille souvent dans l'[[espace euclidien]]. Quand on parle de [[vecteur]], on se réfère alors à un '''vecteur euclidien''', c'est-à-dire à une [[grandeur physique]] (par exemple une force) caractérisée par :
:* une direction (une droite Δ qui n'est pas orientée) ;
:* un sens (orientation de la droite Δ, signe de sa [[mesure algébrique]]) ;
:*une norme (la longueur du vecteur, par exemple l'intensité d'une force).

On parle aussi d'orientation ou de [[Orientation (mathématiques)#La droite|droite orientée]] pour se référer au couple (direction, sens).

En mathématiques, un vecteur est défini plus généralement comme un élément d'un [[espace vectoriel]]. Selon cette définition, les vecteurs sont des entités abstraites pouvant ou non avoir une grandeur et une orientation. Les vecteurs euclidiens sont donc un cas particulier de vecteurs, et il est important en mathématiques de préciser si l'on se réfère à l'un ou à l'autre.

=== Vecteur lié, vecteur libre ===
[[Fichier:SameVectors.png|vignette|Vecteur libre.]]

Dans l'espace euclidien, un '''vecteur lié''' est un vecteur euclidien possédant un point initial et un point final donnés. Il est ''lié'' à ce point initial, et l'on peut déduire le point final du vecteur lié et du point initial.

Toujours dans l'espace euclidien, un '''vecteur libre''' désigne une famille de vecteurs liés ayant la même norme, la même direction et le même sens<ref>On parle alors de [[Relation d'équivalence#Classe d'équivalence|classe d'équivalence]].</ref>. Un vecteur libre n'est donc pas lié à un point initial donné.

Par exemple, dans la figure ci-contre, les ''vecteurs liés'' <math>\overrightarrow{ST}</math> et <math>\overrightarrow{S'T'}</math> sont distincts car ils ont des points initiaux différents. En revanche, les ''vecteurs libres'' <math>\overrightarrow{ST}</math> et <math>\overrightarrow{S'T'}</math> sont égaux.

== Notation et représentation graphique ==
[[Fichier:3D_Vector.svg|vignette|Composantes d'un vecteur euclidien.]]

Un '''vecteur euclidien''' est généralement représenté graphiquement à l'aide d'un [[segment (mathématiques)|segment de droite]] et d'une [[Flèche (symbole)|flèche]] indiquant son sens<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Kiyoshi Itō]]|titre=[[Encyclopedic Dictionary of Mathematics]]|éditeur=[[MIT Press]]|année=1993|numéro d'édition=2|pages totales=2148|passage=1678|isbn=978-0-262-59020-4|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=WHjO9K6xEm4C&printsec=frontcover}}.</ref>. La norme du vecteur euclidien correspond alors à la longueur du segment de droite représenté graphiquement, et son orientation est l'angle orienté qu'il forme avec le [[Repère affine|repère cartésien]] {{nowrap|(0, <math>\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}</math>)}}.

En tant que [[Variable (mathématiques)|variable]], il peut être noté de différentes façons. Pour le distinguer des autres types de vecteurs, on place souvent une flèche horizontale gauche-droite au-dessus de la variable le représentant. Alternativement, on peut omettre la flèche et utiliser une lettre majuscule ou minuscule, en italique ou en caractères gras, comme n'importe quel vecteur. Ainsi un vecteur <math>\text{a}</math> peut-il s'écrire sous la forme <math>\overrightarrow{\text{a}}, \textit{a}, \mathbf{a}, \overrightarrow{\mathbf{a}}, \overrightarrow{\mathbf{A}}</math>, etc.<ref>{{Ouvrage
 | prénom1=Harris
 | nom1=Benson
 | traducteur=Marc Séguin, Benoît Villeneuve, Bernard Marcheterre et Richard Gagnon
 | titre=Physique 1 Mécanique
 | éditeur=Éditions du Renouveau Pédagogique
 | année=2009
 | numéro d'édition=4
 | pages totales=465
 | passage=22
 | isbn=
}}.</ref>.

Par exemple, dans la figure ci-contre, le vecteur euclidien '''a''' est représenté par une flèche noire dans un [[système de coordonnées cartésiennes]] en 3 dimensions {{nowrap|(<math>x,y,z</math>)}}. On a représenté également les [[vecteur unitaire|vecteurs unitaires]] {{nowrap|(<math>\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow k</math>)}} ainsi que les [[Composantes d'un vecteur|composantes]] {{nowrap|(<math>a_x, a_y, a_z</math>)}} du vecteur '''a'''.

== Opérations ==

Plusieurs [[opération (mathématiques)|opérations]] peuvent être définies sur l'ensemble des vecteurs euclidiens : l'[[addition]], la [[soustraction]], la [[multiplication]], le [[produit scalaire]], le [[produit vectoriel]], etc. Les [[Structure algébrique|structures algébriques]] associées à ces opérations ne sont pas développées dans cet article introductif, mais le sont dans des articles plus avancés tels que « [[Espace euclidien]] » et « [[Espace vectoriel]] ».

=== Addition de vecteurs ===
[[Fichier:Vector Addition.svg|vignette|upright=0.65|Addition des vecteurs '''a''' (en bleu) et '''b''' (en rouge) à l'aide de la [[méthode du parallélogramme]].]]

Les vecteurs libres peuvent être additionnés graphiquement en les alignant bout à bout (cf. article [[relation de Chasles]]). Ils peuvent également être additionnés analytiquement en additionnant chacune de leurs [[composantes d'un vecteur|composantes]] définies par rapport à un référentiel donné.

Étant donnés quatre points ''A'', ''B'', ''C'', ''D'' du plan euclidien, l'addition des deux [[vecteur]]s <math>\overrightarrow{AB}</math> et <math> \overrightarrow{CD} </math> se construit en définissant un point ''E'' tel que <math>\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{CD}</math> (en traçant le parallélogramme ''BCDE'').<br />
Le vecteur somme <math>\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD}</math> s'identifie alors au vecteur <math>\overrightarrow{AE}</math>.

L'addition de vecteurs satisfait toutes les propriétés de l'addition numérique. Son [[élément neutre]] est le [[vecteur nul]]. L'opposé d'un vecteur est un vecteur de même norme et de même direction, mais de sens opposé.

L'addition de deux vecteurs [[colinéaires]] (i.e. ayant la même direction) s'identifie à celle de leurs mesures algébriques.

Dans l'espace, un vecteur peut être défini par ses coordonnées sur les trois axes {{math|''x''}}, {{math|''y''}} et {{math|''z''}} d'un [[Coordonnées cartésiennes|repère cartésien]], axes dirigés respectivement par les vecteurs <math>\vec i</math>, <math>\vec j</math> et <math>\vec k</math>. La somme de deux vecteurs euclidiens est alors :

:<math>\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = (x_B - x_A + x_D - x_C)\overrightarrow i + (y_B - y_A + y_D - y_C)\overrightarrow j + (z_B - z_A + z_D - z_C) \overrightarrow k</math>

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Euclidean vector|639916790|type=note}}
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{autres projets|commons=Category:Vectors|commons titre=vecteur}}
=== Articles connexes ===
* [[Bipoint]]
* [[Équipollence (mathématiques)|Équipollence]]
=== Bibliographie ===
{{Ouvrage
 | prénom1=Marielle
 | nom1=Champagne
 | titre=Option science Physique La mécanique
 | éditeur=Éditions du Renouveau Pédagogique
 | année=2009
 | pages totales=330
 | isbn=
}}

{{portail|physique|mathématiques}}

[[Catégorie:Vecteur|Euclidien]]
[[Catégorie:Géométrie euclidienne]]