Voir la source de Vecteur position

{{Ébauche|physique|}}
{{Voir homonymes|Position|}}
{{Infobox Grandeur physique
| nom            = Déplacement
| image          = Radius vector - position vector - ortsvektor - radijvektor.svg
| légende        = Le vecteur position <math>\overrightarrow\mathrm{OP}</math> est un déplacement, dont l'origine est le point de départ.
| unités         = [[mètre]]
| autres unités  =
| symbole        = <math>\overrightarrow\mathrm{OM}</math>, <math>\vec\ell</math>, <math>\vec r</math>
| unités de base = {{USI|kg=|m=1|s=|A=|K=|mol=|cd=}}
| dimension      =  {{dimension|kg=|m=1|s=|A=|K=|mol=|cd=}}
| extensive      = 
| intensive      = 
| conservative   = 
| nature         = vecteur
| expressions    =  {{d/dt|vecteur position|<math>\overrightarrow\mathrm{OM}</math>|vitesse|<math>\vec v</math>}}
}}

En [[géométrie]], le '''vecteur position'''<ref>Entrée {{Chapitre|langue=fr|titre chapitre=vecteur position|auteurs ouvrage=Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre|titre ouvrage=Dictionnaire de physique|lieu=Bruxelles|éditeur=[[De Boeck Université]]|année=2008|passage=519|isbn=978-2-8041-5688-6|bnf=41256105f|consulté le=2 juin 2014}} ([https://books.google.fr/books?id=wzy4-Jjo2KUC&pg=PA519#v=onepage&q&f=false en ligne] sur [[Google Livres]]).</ref>, ou '''rayon vecteur''', est le [[vecteur]] qui sert à indiquer la position d'un [[Point (géométrie)|point]] par rapport à un [[repère (mathématiques)|repère]]. L'[[origine]] du vecteur se situe à l'origine fixe du repère et son autre extrémité à la position du point. Si l'on note {{math|M}} cette position et {{math|O}} l'origine, le vecteur position se note <math>\overrightarrow\mathrm{OM}</math>. On le note aussi <math>\vec\ell</math> ou <math>\vec r</math>.

En [[physique]], le '''vecteur déplacement''' d'un point matériel ou d'un objet est le vecteur reliant une ancienne position à une nouvelle, donc le vecteur position final moins le vecteur position initial. Le [[travail d'une force]], par exemple, est égal au produit de la [[force (physique)|force]] par le déplacement de son [[Force (physique)#Le point d'application|point d'application]]. Si l'on note {{math|A}} et {{math|B}} les positions de deux points, le vecteur déplacement de {{math|A}} vers {{math|B}} se note <math>\overrightarrow\mathrm{AB}=\overrightarrow\mathrm{OB}-\overrightarrow\mathrm{OA}</math>.

== Grandeur physique ==

=== Déplacement et longueur ===

{{voir|Longueur|Intégrale curviligne|Grandeur d'orientation}}

Un déplacement et une longueur sont tous les deux exprimés en [[mètre]]s, mais ces deux grandeurs ne sont pas équivalentes.
Le terme de « [[longueur]] » est plutôt réservé à la mesure géométrique d'un objet, d'une distance ou d'un chemin, c'est le résultat d'une [[intégrale curviligne]]. Une telle longueur est alors un scalaire extensif (la longueur hors tout d'un train est la somme des longueurs de ses composants). Un « déplacement » est en revanche une grandeur vectorielle (caractérisée par une direction et une norme) et intensive (elle est définie en chaque point, et ne peut pas être additionnée d'un point sur l'autre).

Sur le plan de l'[[analyse dimensionnelle]], ces deux grandeurs sont toutes les deux des longueurs, mais la [[grandeur d'orientation]] est différente : la longueur est un scalaire en {{dimension|m=1|o=0}} tandis que le déplacement est un vecteur en {{dimension|m=1|o=x}}.

Le long d'une courbe, le déplacement élémentaire <math>\overrightarrow{\mathrm d\ell}</math> est une grandeur dont l'intégrale sur l'ensemble d'un segment peut conduire :
* à la [[longueur d'un arc|longueur de l'arc]] :
:<math>L=\int_\mathrm A^\mathrm B\mathrm d\ell=\int_\mathrm A^\mathrm B\left\|\frac{\partial\,\overrightarrow\mathrm{OM}}{\mathrm du}\right\|\mathrm du</math>, où {{mvar|u}} est un [[Paramétrage#Les arcs paramétrés|paramétrage de la courbe]] ;
* au déplacement entre ses deux extrémités (dont le [[Norme (mathématiques)#En dimension finie|module]] est la longueur de la [[corde (géométrie)|corde]] {{math|AB}}) :
:<math>\overrightarrow\mathrm{AB}=\int_\mathrm A^\mathrm B\overrightarrow{\mathrm d\ell}</math>.

=== Déplacement et position ===

Contrairement au vecteur position, le vecteur déplacement ne fait pas référence à une origine, mais à un point de départ. La différence entre position et déplacement ne tient qu'au statut du point d'origine : le vecteur déplacement est égal au vecteur position lorsque l'origine est prise par rapport au point de départ ; et inversement, le vecteur position est le déplacement qu'il faut effectuer pour aller de l'origine au point considéré.

Ces deux notions sont liées en [[cinématique du point]] : la [[vitesse]] se définit comme la [[dérivée]] du vecteur position par rapport au temps, mais la primitive de la vitesse (définie à une origine arbitraire près) ne présente pas d'intérêt, contrairement à l'intégrale de cette vitesse sur un intervalle de temps, qui donne le vecteur déplacement de ce point.

== Écriture d'un vecteur ==

=== Coordonnées cartésiennes ===
En [[coordonnées cartésiennes]] (origine {{math|O}} et [[vecteur de base|vecteurs de base]] <math>\vec{e_x},\vec{e_y},\vec{e_z}</math>) :
:<math>\overrightarrow\mathrm{OM} = \begin{pmatrix} x  \\ y \\ z \end{pmatrix} = x\,\vec{e_x}+y\,\vec{e_y}+z\,\vec{e_z}</math>
où {{mvar|x}}, {{mvar|y}} et {{mvar|z}} sont les coordonnées du point {{math|M}} dans le repère cartésien.

=== Coordonnées cylindriques ===
En [[coordonnées cylindriques]] (origine {{math|O}} et [[vecteur de base|vecteurs de base]] <math>\vec{e_r},\vec{e_\theta},\vec{e_z}</math>) :
:<math>\overrightarrow\mathrm{OM}=\begin{pmatrix}r\\0\\z\end{pmatrix}=r\,\vec{e_r}+z\,\vec{e_z}</math>

;Relation avec les coordonnées cartésiennes (orthonormées):
Les [[coordonnées polaires]] {{mvar|r}} et {{mvar|θ}} du point M sont reliées à ses coordonnées cartésiennes planes {{mvar|x}} et {{mvar|y}} par :
:<math>x=r\cos(\theta)</math>
:<math>y=r\sin(\theta)</math>

Les vecteurs de base <math>\vec{e_r}</math> et <math>\vec{e_\theta}</math> dépendent de {{mvar|θ}} :
:<math>\vec{e_r}=\vec{e_x}\cos(\theta)+\vec{e_y}\sin(\theta)</math>
:<math>\vec{e_\theta}=-\vec{e_x}\sin(\theta)+\vec{e_y}\cos(\theta)</math>

=== Coordonnées sphériques ===
En [[coordonnées sphériques]] (origine {{math|O}} et [[vecteur de base|vecteurs de base]] <math>\vec{e_\rho},\vec{e_\theta},\vec{e_\varphi}</math>) :
:<math>\overrightarrow\mathrm{OM}=\begin{pmatrix}\rho\\0\\0\end{pmatrix}= \rho\,\vec{e_\rho}</math>

;Relation avec les coordonnées cartésiennes (orthonormées):
Les [[coordonnées sphériques]] {{mvar|ρ}}, {{mvar|θ}} et {{mvar|φ}} du point M sont reliées à ses coordonnées cartésiennes planes {{mvar|x}}, {{mvar|y}} et {{mvar|z}} par :
:<math>x=\rho\sin(\theta)\cos(\varphi)</math> 
:<math>y=\rho\sin(\theta)\sin(\varphi)</math> 
:<math>z=\rho\cos(\theta)</math>

Les vecteurs de base <math>\vec{e_\rho}</math>, <math>\vec{e_\theta}</math> et <math>\vec{e_\varphi}</math> dépendent de {{mvar|θ}} et {{mvar|φ}} :
:<math>\vec{e_\rho}=\vec{e_x}\sin(\theta)\cos(\varphi)+\vec{e_y}\sin(\theta)\sin(\varphi)+\vec{e_z}\cos(\theta)</math>
:<math>\vec{e_\theta}=\vec{e_x}\cos(\theta)\cos(\varphi)+\vec{e_y}\cos(\theta)\sin(\varphi)-\vec{e_z}\sin(\theta)</math>
:<math>\vec{e_\varphi}=-\vec{e_x}\sin(\theta)\sin(\varphi)+\vec{e_y}\sin(\theta)\cos(\varphi)</math>

== Notions connexes ==
Le vecteur déplacement est défini comme la différence entre les vecteurs positions d'un point à deux instants différents.

La [[dérivée]] d'un vecteur position par rapport au temps, donne un [[vecteur vitesse]].

== Notes et références ==
{{Références|colonnes=}}

== Voir aussi ==

=== Articles connexes ===
* [[Vitesse]]
* [[Accélération]]

{{Palette|Cinématique}}
{{Portail|Physique|}}

[[Catégorie:Vecteur|Position]]
[[Catégorie:Cinématique]]