Voir la source de Voisinage (mathématiques)

{{Voir homonymes|Voisinage}}
En [[mathématiques]], dans un [[espace topologique]], un '''voisinage''' d'un [[Point (géométrie)|point]] est une [[Inclusion (mathématiques)|partie]] de l'espace qui contient un [[Ouvert (topologie)|ouvert]] qui comprend ce point. C'est une notion centrale dans la description d'un espace topologique.

Par opposition aux voisinages, les ensembles ouverts permettent de définir élégamment des propriétés ''globales'' comme la [[continuité (mathématiques)|continuité]] en tout point. En revanche, pour les [[Propriété locale|propriétés ''locales'']] comme la continuité en un point donné ou la [[Limite (mathématiques)|limite]], la notion de voisinage (et le formalisme correspondant) est plus adaptée.

En [[analyse réelle]], l'utilisation des voisinages permet d'unifier le vocabulaire des limites finies et des limites infinies. Les voisinages dans un espace métrique permettent de généraliser la notion de limite à des espaces multidimensionnels. En [[analyse fonctionnelle (mathématiques)|analyse fonctionnelle]], certaines des multiples notions de convergence pour une [[Suite et série de fonctions|suite de fonctions]] nécessitent de dépasser le cadre des [[espace métrique|espaces métriques]] et de définir des voisinages sans recourir à une notion de [[Distance (mathématiques)|distance]].

== Voisinage dans un espace topologique ==
Soit {{math|''E''}} un [[espace topologique]] et {{math|''a''}} un point de {{math|''E''}}.  On dit que <math>V\subset E</math> est un voisinage de {{math|''a''}} s'il existe un [[Ouvert (topologie)|ouvert]] {{math|''U''|§=''U''}} de {{math|''E''}}  tel que <math>U\subset V</math>  et <math>a\in U</math>. Notons alors <math>\mathcal V(a)</math> l'ensemble des voisinages de {{math|''a''}}. Nous pouvons alors remarquer que :

# <math>V\in\mathcal V(a)\,\land\,V\subset W\subset E\,\Rightarrow\,W\in\mathcal V(a)</math> ;
# <math>(V,W)\in\mathcal V(a)^2\,\Rightarrow\,V\cap W\in\mathcal V(a)</math> ;
# <math>E\in\mathcal V(a)</math> ;
# <math>\varnothing\notin\mathcal V(a)</math>.

Nous pouvons ainsi affirmer que les voisinages de {{math|''a''}} forment un [[Filtre (mathématiques)|filtre]] sur {{math|''E''}} pour l'inclusion. On peut de plus remarquer que (comme un ouvert est voisinage de chacun de ses points) :

{{retrait|<math>V\in\mathcal V(a)\,\Rightarrow\,\exist W\in\mathcal V(a)\,\forall y\in W\,V\in\mathcal V(y)</math>.}}

== Topologie définie à partir des voisinages ==
La section précédente précise les propriétés des voisinages dans un espace topologique défini par sa famille d'ouverts. Il est toutefois possible de procéder de façon inverse : on peut définir une topologie en définissant l'ensemble des voisinages de chaque point pourvu que ceux-ci vérifient les axiomes suivants.

Soit {{math|''E''}} un ensemble. Nous dirons qu'une application <math>\mathcal V:E\to\mathcal P(\mathcal P(E))</math> forme un ensemble de voisinages si :
:1. <math>V\in\mathcal V(a)\,\land\,V\subset W\subset E\,\Rightarrow\,W\in\mathcal V(a)</math> ;
:2. <math>(V,W)\in\mathcal V(a)^2\,\Rightarrow\,V\cap W\in\mathcal V(a)</math> ;
:3. <math>E\in\mathcal V(a)</math> ;
:4. <math>V\in\mathcal V(a)\,\Rightarrow\,a\in V</math> ;
:5. <math>V\in\mathcal V(a)\,\Rightarrow\,\exist W\in\mathcal V(a)\,\forall y\in W\quad V\in\mathcal V(y)</math>.

Il existe alors une (et une seule) topologie sur ''E ''telle que pour tout élément <math>x</math> de ''E'', <math>\mathcal V(x)</math> soit l'ensemble des voisinages de <math>x</math> pour cette topologie<ref>Reformulation de {{Bourbaki-Topologie}}, [https://books.google.fr/books?id=12yuCBbwijUC&pg=SA1-PA3 {{p.|I.3}}], N° 2, proposition 2, où nos axiomes 2 et 3 sont regroupés en un seul : « Toute intersection finie de voisinages de {{math|''a''}} est un voisinage de {{math|''a''}} », avec la [https://books.google.fr/books?id=12yuCBbwijUC&pg=SA1-PA1 convention] que dans ce contexte, l'intersection indexée par l'ensemble vide est ''E''.</ref>{{,}}<ref>{{Note autre projet|wikiversité|Topologie générale/Exercices/Espaces topologiques|cet exercice corrigé|début=Pour une démonstration, voir par exemple}}</ref>.

Ces axiomes sont plus complexes que ceux qui régissent les ouverts. On les utilise parfois pour construire un espace topologique en ajoutant un point à un espace topologique déjà existant. C'est le cas notamment de la [[compactification d'Alexandrov]]. L'exemple ci-dessous de la droite numérique achevée est lui aussi traditionnel.

== Base de voisinages ==
Les [[#Voisinage dans un espace topologique|voisinages d'un point ''a'' dans un espace topologique ''E'']] forment, on l'a vu, un filtre. On appelle '''système fondamental de voisinages''' de ''a'', ou '''base de voisinages''' de ''a'' (pour cette topologie), une [[Filtre (mathématiques)#Bases de filtre|base de ce filtre]], c'est-à-dire un ensemble ''B'' de voisinages de ''a'' tel que tout voisinage ''V'' de ''a'' contienne un élément ''U'' de ''B'' (c'est-à-dire que <math>U\subset V</math>), ou encore : un ensemble ''B'' de parties de ''E'' tel que les voisinages de ''a'' soient exactement les parties de ''E'' qui contiennent un élément de ''B''<ref>{{Ouvrage|auteur=Nawfal El Hage Hassan|titre=Topologie générale et espaces normés|numéro d'édition=2|éditeur=[[Dunod]]|date=2018|url={{Google Livres|nnhTDwAAQBAJ|page=5}}|page=5}}.</ref>.

Par exemple : les ouverts contenant ''a'' forment une base de voisinages de ''a''. On peut même se limiter aux ouverts contenant ''a'' qui appartiennent à une [[Base (topologie)|base d'ouverts]] fixée.

== Limite et continuité en un point ==
Le formalisme des voisinages permet d'exprimer simplement les notions de [[Limite (mathématiques)|limite]] et de [[continuité (mathématiques)|continuité]] en un point.
=== Limite ===
Soient ''E'' et ''F'' deux espaces topologiques, ''A'' une partie de ''E'', ''f'' une application de ''A'' dans ''F'', ''a'' un point de ''E'' [[Point adhérent|adhérent]] à ''A'' et ℓ un point de ''F''. On dit que ℓ est ''[[Limite (mathématiques)|une limite]]'' de ''f'' au point ''a'' si pour tout voisinage ''V'' de ℓ, il existe un voisinage ''W'' de ''a'' tel que pour tout point ''x'' de ''W''∩''A'', l'image ''f''(''x'') appartient à ''V''.

Il suffit pour cela que cette propriété soit vérifiée pour tout ''V'' d'une base de voisinages de ℓ.
=== Continuité ===
Soient ''E'' et ''F'' deux espaces topologiques, ''f'' une application de ''E'' dans ''F'' et ''a'' un point de ''E''.

La fonction ''f'' est dite ''[[Continuité (mathématiques)#Définition locale|continue au point ''a'']]'' si ''f''(''a'') est une limite de ''f'' au point ''a'', c'est-à-dire si l'[[image réciproque]] ''f''{{-1}}(''V'') de tout voisinage ''V'' de ''f''(''a'') est un voisinage de ''a''.

== Exemples ==

=== Le cas des nombres réels ===

Dans l'ensemble des [[Nombre réel|réels]] muni de [[Topologie de la droite réelle|sa topologie usuelle]], les [[Intervalle (mathématiques)|intervalles ouverts]] forment une base d'ouverts. Pour tout réel ''a'', les intervalles de la forme ]''a'' – η, ''a'' + η[, quand η parcourt l'ensemble des réels strictement positifs, forment donc une base de voisinages de ''a''. C'est un cas particulier des espaces métriques traités [[#Espace métrique|plus bas]].

Exprimons alors la notion de limite, pour une fonction ''f'' définie sur un ensemble ''A'' de réels et à valeurs dans un espace topologique ''F'' (l'expression de la notion continuité s'en déduit immédiatement).

Soit ''a'' un réel adhérent à ''A''. Un élément ℓ de ''F'' est une limite de ''f'' au point ''a'' si et seulement si, pour tout voisinage ''V'' de ℓ, il existe η > 0 tel que l'image de l'intersection de l'intervalle {{nobr|]''a'' – η, ''a'' + η[}} avec ''A'' est incluse dans ''V''. Formellement :

{{retrait|<math>\forall V \in \mathcal V(\ell) \quad \exist \eta > 0\quad \forall x \in ]a - \eta, a + \eta[\;\cap\;A \quad f(x)\in V</math>.}}

Dans le cas des fonctions réelles de la variable réelle, on obtient :{{retrait|<math>\lim_{x \to a}f(x)=\ell\quad  \Leftrightarrow \quad\forall \varepsilon > 0 \quad \exist \eta > 0\quad \forall x \in A \quad\left(|x-a|<\eta \Rightarrow  |f(x)- \ell|<\varepsilon\right)</math>.}}

=== Extension de la droite réelle ===
Dans la [[droite réelle achevée]] (l'ensemble {{surligner|ℝ}} = ℝ∪{{math|{−∞, +∞}<nowiki/>}} muni de la [[topologie de l'ordre]]), une base de voisinages de {{math|+∞}} (resp. {{math|−∞}}) est constituée des intervalles ]''M'', {{math|+∞}}] (resp. [{{math|−∞}}, ''M''[) où ''M'' parcourt ℝ.

Si {{math|''f''}} est une application de ''A'' dans ℝ, où ''A'' est un ensemble de réels auquel {{math|+∞}} est adhérent — c'est-à-dire que ''A'' n'est pas [[Majorant|majoré]] dans ℝ — et si  ℓ est un réel, on obtient les [[Limite (mathématiques)#Limite d'une fonction en un point|formulations classiques des limites en {{math|+∞}}]] :
{{retrait|<math>\lim_{x \to +\infty}f(x)=\ell \quad  \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon > 0 \quad \exist M \in \R \quad \forall x \in A \quad\left(x>M \Rightarrow  |f(x)- \ell|<\varepsilon\right)</math> ;}}
{{retrait|<math>\lim_{x \to +\infty}f(x)=+\infty \quad  \Leftrightarrow \quad \forall N\in\R \quad \exist M \in \R \quad \forall x \in A \quad\left(x>M \Rightarrow f(x)>N\right)</math> ;}}
{{retrait|<math>\lim_{x \to +\infty}f(x)=-\infty \quad  \Leftrightarrow \quad \forall N\in\R \quad \exist M \in \R \quad \forall x \in A \quad\left(x>M \Rightarrow f(x)<N\right)</math>.}}

Les formulations des limites en {{math|−∞}} (si ''A'' n'est pas minoré) sont analogues.

=== Le cas des entiers positifs ===
Puisqu'une suite {{math|(''u{{ind|n}}''){{ind|''n''}}}} à valeurs dans un espace topologique ''F'' n'est rien d'autre qu'une application {{math|''u''}} de [[Entier naturel|ℕ]] dans ''F'' et que ℕ est un ensemble non majoré de réels, on peut définir la notion de [[limite d'une suite]] comme cas particulier de celle de limite en {{math|+∞}} d'une fonction de la variable réelle.

Traduire cette définition consiste à identifier, dans la [[topologie induite]] sur ℕ ∪ {{math|{+∞}<nowiki/>}} par celle de {{surligner|ℝ}}, une base de voisinages de {{math|+∞}} : ce sont les ensembles discrets ]''M'', {{math|+∞}}] ∩ (ℕ ∪ {{math|{+∞}<nowiki/>}}) où ''M'' parcourt ℝ, autrement dit, les ensembles {{nobr|([''N'', {{math|+∞}}[ ∩ ℕ) ∪ {{math|{+∞}<nowiki/>}}}} où ''N'' parcourt ℕ.

Si par exemple la suite {{math|1=''u'' = (''u{{ind|n}}''){{ind|''n''}}}} est à valeurs [[Nombre complexe|complexes]], elle converge donc vers le complexe ℓ si et seulement si :

{{retrait|<math>\forall \varepsilon > 0 \quad \exist N \in \N \quad \forall n\ge N \quad |u_n- \ell|<\varepsilon. </math>}}

Remarque : dans cet espace compactifié « [[compactifié d'Alexandrov|ℕ complété avec la valeur {{math|+∞}}]] », les voisinages de {{math|+∞}} sont les ensembles discrets ''S'' ∪ {{math|{+∞}<nowiki/>}} où ''S'' parcourt le [[filtre de Fréchet]], c'est-à-dire l'ensemble des parties de ℕ [[Sous-ensemble cofini|de complémentaire fini]]. Ce sont donc les mêmes voisinages que pour la [[topologie cofinie]].

=== Espace métrique ===
Tout espace métrique est muni d'une topologie associée à la distance (voir le [[Espace métrique#Définitions|§ « Définitions » de l'article sur les espaces métriques]]) : une [[Base (topologie)|base de cette topologie]] est constituée des [[Boule ouverte|boules ouvertes]]. Pour tout point ''a'', les boules ouvertes contenant ''a'' forment donc une base de voisinages de ''a'', et l'on peut même se limiter à celles qui sont centrées en ''a''.

Exprimons alors la notion de limite pour une fonction entre espaces métriques. Soient (''E'', ''d{{ind|E}}'') et (''F'', ''d{{ind|F}}'') deux espaces métriques.

Soient ''A'' une partie de ''E'', ''f'' une application de ''A'' dans ''F'', ''a'' un point de ''E'' adhérent à ''A'' et ℓ un point de ''F''. La fonction ''f'' a pour limite ℓ au point ''a'' si et seulement si pour tout ε > 0, il existe η > 0 tel que l'image de l'intersection de la boule ''B''(''a'', η) avec ''A'' est incluse dans la boule ''B''(ℓ, ε). Formellement :

{{retrait|<math>\lim_{x \to a}f(x)=\ell\quad\Leftrightarrow \quad\forall \varepsilon >0 \quad \exist \eta > 0\quad \forall x \in A \quad\left(d_E(x,a)<\eta\,\Rightarrow\,d_F(f(x),\ell)<\varepsilon\right)</math>.}}

== Voisinage d'une partie ==
On dit qu'un ensemble ''V'' est un voisinage d'un ensemble ''S'' si ''V'' est un voisinage de tous les points de ''S'' ou encore, si ''V'' contient un ouvert contenant ''S''.

Dans un [[espace métrique]] <math>E</math>, 

* Pour tout sous-ensemble <math>A\subset E</math>, et tout <math>r >0</math>, l'ensemble <math>V_r(A)=\{x\in E\mid d(x,A)<r\}=\cup_{a\in A}B(a,r)</math> est un voisinage ouvert de <math>A</math><ref name=":0">{{Ouvrage|auteur1=[[Jean Dieudonné]]|titre=[[Éléments d'analyse]]|tome=I|titre volume=Fondements de l'analyse moderne|passage=37, 64|lieu=Paris|éditeur=[[Gauthier-Villars]]|date=1979|isbn=978-2-04-010410-8|oclc=489875029|consulté le=2022-07-07}}.</ref>. Si <math>A</math> est [[Compacité (mathématiques)|compact]], les ensembles <math>V_r(A)</math> forment un système fondamental de voisinages de {{nobr|<math>A</math><ref name=":0" />.}}
* Un ensemble est appelé '''voisinage uniforme''' de <math>A</math> s'il contient <math>V_r(A)</math> pour un certain <math>r>0</math>. Une autre façon d'énoncer la propriété précédente est alors d'affirmer que tout voisinage d'un compact est uniforme.
[[File:1-épaississement.png|thumb|1-épaississement([[Somme de Minkowski|somme de Minkovski]] du triangle et de la boule unité).]]
;Exemples
:*Le voisinage uniforme <math>\{x\in E\mid d(x,A)\le r\}</math> de <math>A</math> est appelé le '''{{mvar|r}}-épaississement''' de <math>A</math><ref>{{Lien web |auteur=Felice Ronga |titre=Analyse II|page=25 |url=https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.23.43&rep=rep1&type=pdf}}.</ref>, ou encore '''{{mvar|r}}-saucisse de Minkowski''' de <math>A</math><ref>{{Ouvrage|prénom1=Claude|nom1=Tricot|titre=Géométries et mesures fractales : une introduction|passage=55|éditeur=[[Éditions Ellipses|Ellipses]]|date=2008|isbn=978-2-7298-4045-7|isbn2=2-7298-4045-1|oclc=37797645}} ou {{Ouvrage|auteur=Claude Tricot|titre=Courbes et dimension fractale|numéro chapitre=9., § 1|date=1999|éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|url={{Google Livres|DpEuKy8IsWwC|page=109}}|page=109}}.</ref>.
:*Dans l'ensemble des réels muni de la distance issue de la [[valeur absolue]], l'ouvert <math>\cup_{n\in\N}B\left(n,\frac1{n+1}\right)</math> est un voisinage de l'ensemble ℕ des entiers naturels, mais n'est pas un voisinage uniforme de celui-ci.

== Notes et références ==
{{Références}}
== Voir aussi ==
=== Bibliographie ===
{{Ouvrage|prénom1=Laurent|nom1=Schwartz|lien auteur1=Laurent Schwartz (mathématicien)|titre=Topologie générale et analyse fonctionnelle|éditeur=[[Hermann (éditions)|Hermann]]|année=|isbn=}}

=== Articles connexes ===
*Soit ''A'' une partie d'un espace topologique.
**L'ensemble des points dont ''A'' est un voisinage est appelé l'[[intérieur (topologie)|intérieur]] de ''A''.
**L'ensemble des points dont tout voisinage rencontre ''A'' est appelé l'[[adhérence (mathématiques)|adhérence]] de ''A''.
*[[Espace à bases dénombrables de voisinages]]
*[[Espace localement convexe]]

{{portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Topologie générale]]