Voir la source de Voisinage tubulaire

[[Image:Tubular neighborhood.png|vignette|Les [[perpendiculaire]]s (en vert) à la [[courbe plane]] [[Classe de régularité|lisse]] (en bleu) contiennent de petits [[Intervalle (mathématiques)|intervalles ouverts]] (en rouge), centrés sur la courbe et deux à deux disjoints.]]
[[Image:Voisinage tubulaire.svg|vignette|La [[Union (mathématiques)|réunion]] de ces intervalles est un voisinage tubulaire de la courbe dans le [[plan euclidien]].]]

En [[géométrie différentielle]], un '''voisinage tubulaire''' d'une [[Variété (géométrie)#Variété abstraite et sous-variété|sous-variété]] ''S'' d'une [[variété différentielle]] ''M'' est un [[Ouvert (topologie)|ouvert]] de ''M'', qui contient ''S'' et « ressemble à » son [[fibré normal]].

== Définition ==
Soient ''S'' ⊂ ''M'' deux variétés différentielles. Un voisinage tubulaire de ''S'' dans ''M'' est constitué d'un [[fibré vectoriel]] ''E'' → ''S'' et d'un [[difféomorphisme]] de ''E'' sur un ouvert ''U'' de ''M'', par lequel tout point ''s'' de ''S'' est l'image du [[vecteur nul]] de ''E{{ind|s}}''.

Par abus de langage, cet ouvert ''U'', ''[[ipso facto]]'' [[Voisinage (mathématiques)#Voisinage d'une partie|voisinage]] de ''S'' et [[fibré]] sur ''S'', est aussi appelé un voisinage tubulaire de ''S''.

== Existence ==
{{Théorème|1=Théorème du voisinage tubulaire<ref>{{Hirsch}}, {{p.|109-111}}, Th. 5.1 et 5.2, {{Google Livres|emTmBwAAQBAJ|page=109|aperçu}}.</ref>|2=Pour toutes variétés différentielles ''[[Variété à bord|sans bord]] S'' ⊂ ''M'' ([[Espace paracompact|paracompactes]], de classe C{{exp|''k''}} avec ''k'' ≥ 1), ''S'' admet un voisinage tubulaire dans ''M'' (de même classe).|style=display:table}}

Dans le cas où la variété ambiante ''M'' est un [[espace euclidien]] '''R'''{{exp|''n''}}, on trouve un tel voisinage en choisissant, dans [[Fibré normal#Cas riemannien|le fibré normal]] à ''S'', un ouvert ''V'' autour de la section nulle, suffisamment petit pour que la restriction à ''V'' de l'application {{nobr|(''s'', ''v'') ↦ ''s + v''}} soit un [[Plongement#Variétés différentielles|plongement]].

{{Démonstration/début|titre=Démonstration<ref>{{Lien web|titre=Geometry and Topology I|auteur=Marco Gualtieri|année=2012|url=http://www.math.toronto.edu/mgualt/courses/MAT425F-2013/docs/1300-2012-notes.pdf<!-- = http://www.math.toronto.edu/mgualt/courses/MAT1300F-2012/docs/1300-2012-notes.pdf > http://www.math.toronto.edu/mgualt/MAT1300/week7.pdf-->|page=38|site=[[Université de Toronto]]}}. — {{Harvsp|Hirsch|p=110}}, s'appuie sur l'exercice 7 de sa section 2.1 (p. 41), mais ce dernier ne s'applique que si ''S'' est fermée dans ''M''.</ref> pour une sous-variété de '''R'''{{exp|''n''}}}}
Supposons ''S'' ⊂ ''M'' = '''R'''{{exp|''n''}} et notons ''f'' l'application ''NS'' → '''R'''{{exp|''n''}}, (''s'', ''v'') ↦ ''s + v''. En tout point (''s'', 0) de la section nulle de ''NS'', la [[différentielle]] de ''f'' est l'[[Application identité|identité]] de ''T{{ind|s}}S''⊕''N{{ind|s}}S'' = '''R'''{{exp|''n''}}, donc [[Théorème d'inversion locale|''f'' est un difféomorphisme au voisinage de ce point]], c'est-à-dire qu'il existe un réel δ > 0 tel que ''f'' soit un difféomorphisme de
:<math>V_{\delta}(s):=\{(t,v)\in NS\mid\|t-s\|<\delta\quad{\rm et}\quad\|v\|<\delta\}
</math>
sur son image. Notons alors ε{{ind|''s''}} la [[borne supérieure]] de ces « bons rayons δ pour ''s'' », et supposons que tous les ε{{ind|''s''}} sont finis (sinon, ''V = NS'' convient et la preuve est terminée).

Pour tous points ''s'' et ''s{{'}}'' de ''S'', puisque (pour tout δ > 0)
:<math>V_{\delta}(s)\subset V_{\delta+\|s'-s\|}(s'),
</math>
on a
:<math>\forall\delta>0\quad\left(\delta+\|s'-s\|<\varepsilon_{s'}\Rightarrow\delta\le\varepsilon_s\right),
</math>
c'est-à-dire
:<math>\varepsilon_{s'}\le\varepsilon_s+\|s'-s\|.
</math>
La fonction ''s'' ↦ ε{{ind|''s''}} est donc continue (et même [[Application lipschitzienne|1-lipschitienne]]), si bien que l'ensemble
:<math>V:=\{(s,v)\in NS\mid\|v\|<\varepsilon_s/2\}
</math>
est un ouvert de ''NS'' (qui contient la section nulle).

La restriction de ''f'' à ''V'' est un [[Difféomorphisme#Difféomorphisme local|difféomorphisme local]], et il reste à vérifier qu'elle est injective. Si (''s'', ''v'') et (''s{{'}}'', ''v{{'}}'') appartiennent à ''V'' et ont même image par ''f'' alors, en supposant par exemple ε{{ind|''s{{'}}''}} ≤ ε{{ind|''s''}} puis en choisissant δ strictement compris entre ║''v''║ + ║''v{{'}}''║ et ε{{ind|''s''}}, on déduit de
:<math>\|s'-s\|=\|v-v'\|\quad{\rm et}\quad\max(\|v\|,\|v'\|,\|v-v'\|)\le\|v\|+\|v'\|<\delta
</math>
que (''s'', ''v'') et (''s{{'}}'', ''v{{'}}'') appartiennent tous deux à ''V''{{ind|δ}}(''s''), sur lequel ''f'' est injective. Ils sont donc égaux, ce qui conclut.
{{Démonstration/fin}}

Le cas d'une variété ''M'' quelconque se déduit du cas précédent, en supposant [[sans perte de généralité]] que ''M'' est [[Connexité (mathématiques)|connexe]], puis<ref>{{Harvsp|Hirsch|p=110-111}}.</ref> en la plongeant dans un espace euclidien<ref>Le « [[Théorème de plongement de Whitney|théorème de Whitney facile]] » suffit : toute variété sans bord [[Espace à base dénombrable|à base dénombrable]] de dimension ''n'' admet un plongement dans '''R'''{{exp|2''n''+1}} — et même un plongement d'[[Image d'une application|image]] [[Fermé (topologie)|fermée]] ({{Bredon1}}, {{p.|92}}, Theorem 10.8), si bien que la lacune signalée dans la note précédente n'est pas rédhibitoire.</ref> et, pour un voisinage tubulaire ''r'' : ''U'' → ''M'' de ''M'' dans cet espace, en prenant comme voisinage de ''S'' l'ensemble des ''r''(''s + v''), pour tous les (''s'', ''v'') de ''NS'' tels que ''s + v'' appartient à ''U''.

== Unicité ==
Le voisinage tubulaire de ''S'' dans ''M'' est [[Unicité (mathématiques)|unique]] à [[Homotopie#Isotopie|isotopie]] [[À quelque chose près|près]]<ref>{{Harvsp|Hirsch|p=111-113}}.</ref>, c'est-à-dire que si ''U''{{ind|0}} et ''U''{{ind|1}} sont deux tels voisinages, alors il existe un plongement de {{nobr|''U''{{ind|0}}×[0, 1]}} dans {{nobr|''M''×[0, 1]}} de la forme {{nobr|(''x'', ''t'') ↦ (''F{{ind|t}}''(''x''), ''t'')}} tel que ''F''{{ind|0}} = id{{ind|''U''{{ind|0}}}}, chaque ''F{{ind|t}}'' fixe ''S'', et ''F''{{ind|1}} soit un isomorphisme de fibrés de ''U''{{ind|0}} → ''S'' dans ''U''{{ind|1}} → ''S''.

== Références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets|commons=Tubular neighborhood}}
=== Articles connexes ===
* [[Chirurgie (topologie)#Application à la classification des variétés|Chirurgie des variétés]]
* [[Dualité de Poincaré]]
* [[Espace de Thom]]
=== Bibliographie ===
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Ana Cannas da Silva]]|titre=Lectures on Symplectic Geometry|éditeur=[[Springer Verlag|Springer]]|collection=Lecture Notes in Mathematics|numéro dans collection=1764|année=2001|passage=43-45|isbn=|lire en ligne={{Google Livres|CMRsCQAAQBAJ|page=43}}}}, ou {{p.|37-39}} de ce [https://people.math.ethz.ch/~acannas/Papers/lsg.pdf .pdf de 2006]
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Serge Lang]]|titre=Differential and Riemannian Manifolds|éditeur=Springer|collection=[[Graduate Texts in Mathematics|GTM]]|numéro dans collection=160|année=1995|passage=108|isbn=|doi=10.1007/978-3-540-45330-7|lire en ligne={{Google Livres|VfxGB5nYv1MC|page=108}}}}
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=Waldyr Muniz Oliva|titre=Geometric Mechanics|lieu=Berlin/Heidelberg/New York|éditeur=Springer|année=2002|pages totales=270|passage=35-36|isbn=3-540-44242-1|lire en ligne={{Google Livres|CBwkHrEpQ3oC|page=35}}}}
* {{Spivak1}}, vol. 1, {{2e}} éd., {{p.|465-469}} ou {{3e}} éd. {{p.|344-347}}

{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Topologie différentielle]]
[[Catégorie:Tube]]