Voir la source de Volume d'une boule

{{ébauche|géométrie}}
Le '''[[volume]] d'une [[Boule (solide)|boule]]''' de [[rayon (géométrie)|rayon]] {{math|''R''}} est :{{Bloc emphase|bord=1px solid #2288ff;|espacement=1.5ex|<math>V=\frac43</math> {{grand|{{math|[[Pi|π]] ''R''{{3}}}}.}}}}

== Histoire ==
[[Fichier:Esfera Arquímedes.svg|vignette|[[Sphère]] inscrite dans un [[cylindre de révolution]].]]
[[Euclide]], dans la proposition 18 du [[Livre XII des Éléments d'Euclide|livre XII de ses ''Éléments'']], vers 300 av. J-C., énonce que le volume d'une boule est [[proportionnel]] au [[Cube (algèbre)|cube]] de son [[diamètre]]<ref>{{Citation|Les sphères sont entr'elles en raisons triplées de leurs diamètres}}  ({{Gallica |id=bpt6k110982q/f457|t=traduction de F. Peyrard, 1804}}).</ref>. Il démontre ce résultat par la [[méthode d'exhaustion]], en encadrant la boule par des [[polyèdre]]s.

[[Archimède]], dans ''[[De la sphère et du cylindre]]'' (vers 220 av J.-C.) compare les volumes d'une boule, d'un cylindre et d'un cône. Il connaît le volume du cylindre et du cône et démontre que, si une boule est inscrite dans un cylindre, alors le volume de cette boule est égal aux deux tiers de celui du cylindre circonscrit (et au double du volume du cône ayant la même base et la même hauteur que le cylindre). Il démontre que le rapport entre les aires de la [[sphère]] et du cylindre est le même qu'entre les volumes des parties de l'espace qu'elles délimitent ; ce qu'il énonce ainsi<ref>{{Lien web|titre=Œuvres d'Archimède|url=http://remacle.org/bloodwolf/erudits/archimede/oeuvres2.htm|auteur=Marc Szwajcer (numérisation), traduction par [[François Peyrard]], 1807|site=L'antiquité grecque et latine du moyen âge, site de [[Philippe Remacle]]}}.</ref> : 
{{citation bloc|Un cylindre qui a une base égale à un grand cercle d'une sphère, et une hauteur égale au diamètre de cette sphère, est égal à trois fois la moitié de cette sphère, et la surface de ce cylindre est aussi égale à trois fois la moitié de la surface de cette même sphère.}}
Cette découverte fera de lui un mathématicien particulièrement important dans l'Histoire<ref name="britannica">{{lien web|langue=en|url=http://www.britannica.com/EBchecked/topic/32808/Archimedes|titre=Archimedes|éditeur=''[[Encyclopædia Britannica]]''}}.</ref>. Il en est si fier qu'il donne des instructions pour que sa tombe soit gravée d'une sphère inscrite dans un cylindre<ref name="britannica"/>{{,}}<ref>On trouvera plus de détails sur cette tombe à l'article « [[Archimède]] ».</ref>.
{{clr}}

== Démonstrations ==
=== Par la méthode d'exhaustion ===
{{...}}
Le principe de la [[méthode d'exhaustion]] (attribuée à [[Eudoxe de Cnide]]) est un double [[raisonnement par l'absurde]], supposant d'abord que le volume est supérieur à {{sfrac|4|3}}{{math|π''R''{{3}}}}, puis qu'il est inférieur, et à obtenir une contradiction dans chaque cas. Bien que cette démonstration soit rigoureuse, elle suppose de connaître déjà le résultat à établir ; avant la découverte du [[palimpseste d'Archimède]], on ignorait comment il  était parvenu à obtenir ceux du traité ''[[#Histoire|De la sphère et du cylindre]]''.

=== Par le calcul intégral ===
[[Fichier:Volumedelasphere.png|vignette|Illustration du calcul du volume d'une boule par intégration]]

La méthode d'Archimède (redécouverte dans le [[#Par la méthode d'exhaustion|palimpseste portant son nom]]) consiste à découper la boule en disques minces, donc des cylindres, dont on ajoute le volume (assimilé au produit de leur surface par leur épaisseur). En langage moderne, cela revient à calculer la limite d'une [[somme de Riemann]], et donc à calculer une [[intégrale définie]]. Si l'on considère la variable ''h'' allant de –''R'' à ''R'', le cylindre correspondant à la hauteur ''h'' et d'épaisseur [[infinitésimal]]e d''h'' a pour rayon ''r{{ind|h}} ''vérifiant, d'après le [[théorème de Pythagore]] ''r{{ind|h}}''{{2}} + ''h''{{2}} = ''R''{{2}} ; comme le volume de ce cylindre est {{nobr|{{math|π}} ''r{{ind|h}}''{{2}} d''h'',}} on obtient comme volume de la boule
<center><math>V=\int_{-R}^R\pi(R^2-h^2){\rm d}h=\frac{4\pi R^3}3.</math></center>

De même et plus généralement, le volume d'une « calotte », portion de boule limitée par deux plans parallèles, à distance {{math|''D'' ≤ 2''R''|§=''D'' ≤ 2''R''}}, et dont l'un est [[Plan tangent|tangent]] à la sphère, est<center><math>V_D=\int_{R-D}^R\pi(R^2-h^2){\rm d}h=\frac{\pi D^2(3R-D)}3
</math></center>({{math|1=''V''{{ind|2''R''}} = ''V''}}). 

Plus généralement encore, le volume d'une « tranche » d'épaisseur {{math||§=''D''}} entre deux plans de cotes {{math|''H''|§=''H''}} et {{math|''H''|§=''H' ''}} (où {{math||§=- ''R'' < ''H' '' < ''H'' < ''R''}}),  est 

<math>V_{H,H'}=\int_{H'}^H\pi(R^2-h^2){\rm d}h=\frac{\pi D(3R^2-(H^2+HH'+H'^2))}3
</math>(avec {{math||§=''D'' =  ''H''-''H' ''}}).

== Notes et références ==
{{Références}}

== Articles connexes ==
*[[Calcul du volume de l'hypersphère]]
*[[Problème du rond de serviette]]

{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Sphère]]
[[Catégorie:Volume|Boule]]