Voir la source de Zéro

{{Unicode}}
{{Voir homonymes|Zéro (homonymie)}}

{{Infobox Nombre
| nom=0
| cardinal=zéro
| ordinal=zéroième<ref>{{CNRTL|zéroième}}.</ref>
| préfgrec=
| préflatin=
| adverbe=
| advlatin=
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| diviseurs=tous les entiers
| numromaine= inexistant
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|numzh=〇, 零, 洞
|numarabe=٠
}}
'''Zéro''' est un [[chiffre]] et un [[nombre]]. Son nom a été emprunté en 1485 à l’italien ''zero'', contraction de ''zefiro'', issu du latin médiéval ''zephirum'', qui représente une transcription de l’arabe ''ṣĭfr'' (صفر), le vide<ref>Le Robert historique de la langue française, 1992, 1998.</ref> (qui en français a également donné ''chiffre''). Le zéro est noté sous forme d’une figure fermée simple : '''0'''.

En tant que ''chiffre'', il est utilisé pour {{citation|garder le rang}}<ref>Selon l'expression de Muhammad Ibn Ahmad dans son ouvrage ''Les Clés des Sciences'' rédigé en 976 et cité par JC Risler dans « La civilisation arabe », Payot, Paris, 1955.</ref> et marquer une position vide dans l’écriture des nombres en [[notation positionnelle]].

En tant que ''[[nombre]]'', zéro est un objet [[Mathématiques|mathématique]] permettant d’exprimer une absence comme une quantité nulle : c'est le nombre d'éléments de l’[[ensemble vide]]. Il est le plus petit des [[entiers naturels|entiers positifs ou nuls]]. Ses propriétés arithmétiques particulières, notamment l’impossibilité de la [[division par zéro]], impliquent parfois de traiter son cas à part. Il sépare les [[nombres réels]] en positifs et négatifs et tient lieu d’origine pour [[repère (mathématiques)|repérer]] des points sur la [[Droite graduée|droite réelle]]<ref>Voir aussi : [[Droite réelle achevée]]</ref>.

En algèbre, 0 est souvent utilisé comme symbole pour désigner l’[[élément neutre]] pour l’addition dans la plupart des [[groupe abélien|groupes abéliens]] et en particulier dans les [[anneau unitaire|anneaux]], [[corps commutatif|corps]], [[espace vectoriel|espaces vectoriels]] et [[algèbre sur un anneau|algèbres]], parfois sous le nom d’''élément nul''. Il est aussi l'[[élément absorbant]] pour la multiplication.

Les [[Babylone|Babyloniens]] ont utilisé les premiers, un peu plus de {{nombre|200|ans}} {{av JC}}, une forme de chiffre zéro à l’intérieur d’un nombre (par exemple : 304) mais jamais à droite du nombre, ni à gauche. C’est l’[[Inde]] qui perfectionne la numération décimale. Elle n’utilise pas seulement le zéro comme notation à la manière babylonienne, mais aussi comme un nombre avec lequel opérer. La notion et la notation indienne du zéro sont ensuite empruntées par les mathématiciens [[Civilisation islamique|arabes]]<ref>Pierre Germa, ''Depuis quand ?'', dictionnaire des inventions. Berger-Levrault, Paris (1979), {{p.}}382 {{ISBN|978-2-7013-0329-1}}.</ref> qui les ont transmises à l'Europe.

Il faut noter la place particulière des [[Mayas]], seuls arithméticiens de l’[[Antiquité]] à définir deux zéros, l’un [[Nombre cardinal|cardinal]], l’autre [[Nombre ordinal|ordinal]], comme l’illustre le verso de la [[plaque de Leyde]]<ref name="un et deux">[[André Cauty]], Jean-Michel Hoppan, ''Et un, et deux zéros mayas'', in ''Pour la science'', Dossier ''mathématiques exotiques'', avril/juin 2005.</ref>.

== Histoire ==
=== Zéro en tant qu'absence d'élément ===

L'une des premières apparitions d'un [[symbole]] pour indiquer l'absence de tout élément se trouve dans l'[[Ashtadhyayi]], traité de [[grammaire]] en [[sanskrit]] attribué au grammairien [[Panini (grammairien)|Pāṇini]] et rédigé au plus tard au {{-s-|IV}} La plupart des formes nominales du sanskrit peuvent être représentées par des segments phonétiques réels selon la séquence [[Racine et radical (linguistique)|racine]] + [[Suffixe (linguistique)|suffixe]] de [[Thème morphologique|thème]] + suffixe [[Flexion (linguistique)|flexionnel]]. Certaines des formes nominales échappent cependant à cette règle. Ainsi le mot ''bajham'' (« partage ») est formé de la racine ''bajh-'' et du suffixe flexionnel ''-am'' sans faire intervenir de suffixe de thème pour sa formation. L'auteur de l'Ashtadhyayi a choisi d'indiquer son absence en la représentant par un symbole<ref>{{Ouvrage | auteur = Robert Henry Robins | titre = Brève histoire de la linguistique | sous-titre = de Platon à Chomsky | éditeur = Editions du Seuil | lieu = Paris | année = 1976 | page = 155-156 | isbn = 9782020044790 | isbn2 = 202004479X}}</ref>.

=== Zéro en tant que chiffre ===
Les [[Système de numération|systèmes de numération]] positionnels sont de bons candidats pour l'apparition du zéro en tant que chiffre. Il est ainsi apparu plusieurs fois dans ceux élaborés par différents peuples et civilisations. Le chiffre zéro n'y est cependant pas nécessaire : des civilisations comme la Chine ou la Mésopotamie s'en sont passé durant des siècles. 

Dans la civilisation mésopotamienne, un système sexagésimal de position apparait dès le {{-s|XXI|e}}<ref>{{Chapitre|langue=en|prénom1=Eleanor|nom1=Robson|lien auteur1=Eleanor Robson|titre chapitre=Mesopotamian Mathematics|auteurs ouvrage=[[Victor J. Katz]]|titre ouvrage=The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook|éditeur=[[Princeton University Press]]| année=2007|url=https://books.google.fr/books?id=3ullzl036UEC&pg=PA78}} - {{p.|78}}</ref>. Ce système n'utilisait pas de zéro, ni pour indiquer l'ordre de grandeur, puisqu'ils travaillaient sur un système apparenté à la virgule flottante<ref>{{Article |langue=en |auteur1=Donald E. Knuth|lien auteur=Donald Knuth|titre=Ancient Babylonian Algorithms |périodique=[[Communications of the ACM]]|volume=15 |numéro=7 |mois= juillet|année= 1972|pages=671-677 |lire en ligne=http://dl.acm.org/citation.cfm?doid=361454.361514}} - {{p.|671}}.</ref>  ni pour indiquer une absence au sein de la numération où d'autres moyens étaient utilisés comme l'espacement<ref>{{Ouvrage|langue=fr|auteur1=[[Georges Ifrah]]|titre=Histoire universelle des chiffres|lieu=Paris|éditeur=Seghers|année=1981|pages totales=567|isbn=2-221-50205-1}} - Réédition 1994, Éditions Laffont, {{ISBN|2-221-07838-1}} - {{p.|192}}</ref>. La première apparition du zéro en [[Mésopotamie]] semble remonter au {{-s-|III}}, à l’époque des [[Séleucides]]. Il n’était cependant pas utilisé dans les calculs et ne servait que comme chiffre (marquage d’une position vide dans le système de [[numération mésopotamienne]])<ref>[[Otto Neugebauer]], [[The Exact Sciences in Antiquity|Les Sciences exactes dans l’Antiquité]], 1969, {{nobr|chapitre 1}}. {{p.|20-27}} {{Google Livres|JVhTtVA2zr8C|Lire en ligne|page=220}}.</ref>. Ignoré par les [[Rome antique|Romains]], il fut repris et mieux utilisé encore [[Numération grecque#Le zéro|par les astronomes grecs]].

Les [[Écriture ossécaille|inscriptions sur os et écailles (jiaguwen)]] découvertes dans la région de [[Anyang]], dans l’actuel [[Henan]], à la fin du {{s-|XIX}}, nous apprennent que, dès les {{-sp-|XIV|e|-|XI|e|s}}, les Chinois utilisaient une numération décimale de type « hybride », combinant neuf signes fixes pour les unités de 1 à 9, avec des marqueurs de position particuliers pour les [[10 (nombre)|dizaines]], [[100 (nombre)|centaines]], [[1 000 (nombre)|milliers]] et [[10 000 (nombre)|myriades]]. Au {{-s-|I|er}}, en [[Histoire de la Chine|Chine antique]], la numération à l'aide de ''[[baguettes à calculer]]'' utilise des espaces entre les chiffres pour représenter les zéros.{{refsou}} Le zéro s'y rencontre tardivement probablement sous influence babylonienne ou grecque<ref>{{article|auteur=Jean-Claude Martzloff|titre=Sur la trace du zéro en Chine…|périodique=Les Génies de la science|numéro=28|année=2006|lire en ligne=https://www.pourlascience.fr/sr/manuscrit-histoire/sur-la-trace-du-zero-en-chine-2305.php}}</ref>.

Une autre présence concerne le système dont nous sommes toujours héritiers, apparue vraisemblablement dans le monde indien au {{s-|III}} ou même avant<ref>{{Chapitre|langue = en|auteur1 = [[Kim Plofker]]|auteurs ouvrage = [[Victor J. Katz]]|titre ouvrage = The mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam|éditeur = Princeton University Press|année = 2007|isbn = 978-0-691-11485-9|lire en ligne = |passage = 396 |titre chapitre = Mathematics in India|sous-titre ouvrage = A sourcebook}}.</ref>. La première trace écrite conservée du 0 se trouverait dans le [[manuscrit de Bakhshali]] ({{IIIe|s}} ou {{sap-|IV}})<ref>Hannah Devlin, [https://www.theguardian.com/science/2017/sep/14/much-ado-about-nothing-ancient-indian-text-contains-earliest-zero-symbol Much ado about nothing: ancient Indian text contains earliest zero symbol], ''The Guardian'' (14 septembre 2017).</ref>.

L'utilisation d'un zéro positionnel est également avéré dans le système de [[numération maya]], au {{s-|IV}}, qui dispose en outre d'un zéro ordinal<ref>[[André Cauty]], ''Numérotations à deux « zéros » chez les Mayas'', Repères, IREM, {{numéro}}41, octobre 2000 ([https://publimath.univ-irem.fr/numerisation/WR/IWR00030/IWR00030.pdf lire en ligne] {{pdf}}), {{p.|37-39}}.</ref>.

=== En tant que nombre ===
Son usage moderne, à la fois comme chiffre et comme nombre, est hérité de l’invention indienne des chiffres [[Numération indienne|nagari]] vers le {{s-|V}}. Le mot indien désignant le zéro était ''śūnya'' (''çûnya''), qui signifie « vide », « espace » ou « vacant ». Le mathématicien et astronome indien [[Brahmagupta]] est le premier à définir le zéro dans son ouvrage [[Brahmasphutasiddhanta|Brâhma Siddhânta]]. Ce mot, d'abord traduit en [[arabe]] par « ṣifr », ce qui signifie « vide » et « grain », a ensuite donné en français les mots [[chiffre]] et zéro (de par la traduction de ''sifr'' en l’italien ''zephiro'', à partir duquel a été formé ''zevero'' qui est devenu ''zero''). {{refnec|La graphie du zéro, d’abord un cercle, est inspirée de la représentation de la voûte céleste}}.

Comme l’indique l’[[étymologie]], son introduction en [[Occident]] est consécutive à la traduction de [[mathématiques arabes]], notamment les travaux d’[[al-Khwârizmî]], vers le {{s-|VIII}}. En 976, [[Muhammad ibn Ahmad al-Khwarizmi|Muhammad Ibn Ahmad al-Khwarizmi]], dans ses ''Clés des Sciences'' suggère {{incise|si aucun nombre n'apparait à la place des dizaines}} d'employer un petit cercle pour {{citation|garder le rang}}<ref>JC Risler, ''La civilisation arabe'', Payot, Paris 1955, {{p.|152-153}}.</ref>.

Les chiffres indiens sont importés d’[[Espagne]] en Europe chrétienne aux environs de l’[[1000|an mil]]. Cette introduction a souvent été attribuée à Gerbert d’Aurillac, devenu pape sous le nom de [[Sylvestre II|{{nobr rom|Sylvestre II}}]]. Il est cependant douteux qu'il en ait véritablement été le responsable. Dans tous les cas, le zéro n'est pas encore couramment utilisé en Europe chrétienne, les chiffres indiens servant surtout à marquer les jetons d’[[abaque (calcul)|abaque]] de 1 à 9<ref>{{Ouvrage|auteur = Nadia Ambrosetti|titre = L'eredità arabo-islamica nelle scienze e nelle arti del calcolo dell'Europa medievale|année = 2008|lieu = Milan|isbn = 978-88-7916-388-0|lire en ligne = {{Google Livres|wp23Le5nxMEC|page=96}}|éditeur = LED|consulté le = 2015-11-23 |langue = it|passage = 96-98}}</ref>.

[[Leonardo Fibonacci]] a une influence déterminante. Il reste plusieurs années à [[Béjaïa]], au [[Maghreb central]] (actuelle [[Algérie]]), et étudie auprès d’un professeur local. Il voyage également en [[Grèce]], en [[Égypte]], dans le [[Proche-Orient]] et confirme l’avis de [[Sylvestre II|{{nobr rom|Sylvestre II}}]] sur les avantages de la ''numération de position''. En 1202, il publie le ''[[Liber abaci]]'', recueil qui rassemble pratiquement toutes les connaissances mathématiques de l’époque et qui, malgré son nom, enseigne à calculer sans [[Abaque (calcul)|abaque]].

Dans son ouvrage ''Zéro, la biographie d'une idée dangereuse'', [[Charles Seife]] explique en quoi le zéro a permis la compréhension de nombreux concepts dans plusieurs domaines en plus des mathématiques, notamment la [[thermodynamique]] et la [[mécanique quantique]] ; entre autres, les travaux de [[Isaac Newton]], [[Gottfried Wilhelm Leibniz]], [[Richard Swineshead]] et [[Nicole Oresme]] à propos des suites mathématiques, lient étroitement zéro avec l'[[infini]].

=== Les deux zéros des Mayas ===
{| class="wikitable right"
! Signe || Sens
|-
| [[Image:MAYA-g-num-0-inc-v1.svg|class=skin-invert-image]] || 0 ordinal : dates
|-
| [[Image:0 maia.svg|class=skin-invert-image]] || 0 cardinal : durées
|}
{{Article détaillé|contenu=La page « [[Numération maya]] » comporte une section de même titre plus détaillée}}
Le zéro est utilisé par les [[Civilisation maya|Mayas]] durant le {{Ier millénaire}}, comme chiffre dans leur système de [[notation positionnelle|numération de position]], comme nombre et comme ordinal dans le calendrier, où il correspond à l’introduction des mois. [[Sylvanus Morley]] a confondu ces deux utilisations dans une transcription unique, négligeant le fait qu’il s’agit de deux concepts et de deux zéros différents<ref name="un et deux"/> : l’un correspond à un zéro ordinal des dates, l’autre est un zéro cardinal des durées<ref>[[André Cauty]], J.-M. Hoppan, É. Trélut, ''Numérotation et action. Le cas des numérotations mayas'', dans ''Journal des anthropologues'', {{numéro}}85-86, 2001 ([http://www.dogma.lu/txt/ET-numeration.pdf lire en ligne] {{pdf}}).</ref>, jamais confondus dans leurs usages par les scribes<ref>[[André Cauty]], ''Numérotations à deux « zéros » chez les Mayas'', Repères, IREM, {{numéro}}41, octobre 2000 ([https://publimath.univ-irem.fr/numerisation/WR/IWR00030/IWR00030.pdf lire en ligne] {{pdf}}).</ref>.

== Biologie ==
=== Perception animale du nombre zéro ===
{{article détaillé|Intelligence animale#Comptage}}
Des tests appropriés permettent d'évaluer la capacité des animaux à compter, à évaluer si un nombre est plus grand qu'un autre, et même à considérer le zéro (l'absence d'items) comme un nombre inférieur aux autres. Cette capacité a été démontrée chez les [[Perroquet jaco|gris du Gabon]]<ref>{{article| langue=en| périodique=Journal of Comparative Psychology| date=mai 2005| volume=119| numéro=2| pages=197-209| titre=Number comprehension by a grey parrot (Psittacus erithacus), including a zero-like concept| auteur1=Irene M. Pepperberg| auteur2=Jesse D. Gordon| doi=10.1037/0735-7036.119.2.197}}.</ref>, chez les [[macaque rhésus|singes rhésus]]<ref>{{article| langue=en| périodique=Journal of Experimental Psychology. General| date=mai 2009| volume=138| numéro=2| pages=258-269| doi=10.1037/a0015231| titre=Empty sets as part of the numerical continuum: conceptual precursors to the zero concept in rhesus monkeys| auteur1=D. J. Merritt| auteur2=R. Rugani R| auteur3=E. M. Brannon| issn=0096-3445}}.</ref> et chez les [[Apis mellifera|abeilles domestiques]]<ref>{{article| langue=en| titre=Numerical ordering of zero in honey bees| auteur1=Scarlett R. Howard| auteur2=Aurore Avarguès-Weber| auteur3=Jair E. Garcia1| auteur4=Andrew D. Greentree| auteur5=Adrian G. Dyer1| périodique=Science| lien périodique=Science (revue)| date=8 juin 2018| volume=360| numéro=6393| pages=1124-1126| doi=10.1126/science.aar4975}}.</ref>.

=== Les neurones du zéro ===
On a montré chez l'Homme que certains [[neurone]]s réagissent spécifiquement à la pensée du chiffre zéro, et d'autres à la notion de vide ou de « rien »<ref>{{Article| langue=fr| titre=Le zéro est le chiffre favori de certains de nos neurones| auteur1=Dmitij Kapitelman| périodique=[[Courrier international]]| numéro=1781| date=19 décembre 2024-8 janvier 2025| pages=76-77}}, traduction d'un article paru dans ''{{lien| trad=Die Zeit#Zeitmagazin| Zeit Magazin}}'' le {{date|1 décembre 2024}}.</ref>.

== Graphies actuelles ==
La graphie « 0 » n’est pas la seule utilisée dans le monde ; un certain nombre d’[[Système d'écriture|écritures]] {{incise|particulièrement celles des langues du sous-continent indien, du sud-est asiatique et d'extrême orient}} utilisent des graphies différentes.

{|align="center" border="0" cellspacing="0" cellpadding="2"
|-
|valign="top"|
{|border="1" cellspacing="0" cellpadding="2" style="margin:0 0 1em 1em;border:1px #AAA solid;border-collapse:collapse;background:var(--couleur-fond-boite-grise, #f9f9f9); color:inherit;"
|-
! Écriture !! Chiffre
|-
| [[Alphabet arabe|Arabe occidental]] ||align="center"| {{Uni|0030|script=Arab|styles=1}}
|-
| [[Alphabet arabe|Arabe oriental]] ||align="center"| {{Uni|0660|script=Aran}}
|-
| [[Alphabet persan]] ||align="center"| {{Uni|06F0|script=Aran}}
|-
| [[Bengali|Bengalî]] ||align="center"| {{Uni|09E6|script=Beng}}
|}
|valign="top"|
{|border="1" cellspacing="0" cellpadding="2" style="margin:0 0 1em 1em;border:1px #AAA solid;border-collapse:collapse;background:var(--couleur-fond-boite-grise, #f9f9f9); color:inherit;"
|-
! Écriture !! Chiffre
|-
| [[Birman (langue)|Birman]] ||align="center"| {{Uni|1040|script=Mymr}}
|-
| [[Devanagari]] ||align="center"| {{Uni|0966|script=Deva}}
|-
| [[Alphasyllabaire gujarati|Gujarati]] ||align="center"| {{Uni|0AE6|script=Gujr}}
|-
| [[Gurmukhî]] ||align="center"| {{Uni|0A66|script=Guru}}
|-
| [[Kannara]] ||align="center"| {{Uni|0CE6|script=Knda}}
|}
|valign="top"|
{|border="1" cellspacing="0" cellpadding="2" style="margin:0 0 1em 1em;border:1px #AAA solid;border-collapse:collapse;background:var(--couleur-fond-boite-grise, #f9f9f9); color:inherit;"
|-
! Écriture !! Chiffre
|-
| [[Khmer (langue)|Khmer]] ||align="center"| {{Uni|0ED0|script=Khmr}}
|-
| [[Malayalam]] ||align="center"| {{Uni|0D66|script=Mlym}}
|-
| [[Mongol bichig]]<br><small>et dérivées [[Langues mongoliques|mongoliques]] et [[Langues toungouses|toungouses]]</small> ||align="center"| {{Uni|1810|script=Mong}}
|-
| [[Oriya]] ||align="center"| {{Uni|0B66|script=Orya}}
|-
| [[Tamoul]] ||align="center"| {{Uni|0BE6|script=Taml}}
|-
| [[Télougou]] ||align="center"| {{Uni|0C66|script=Telu}}
|}
|valign="top"|
{|border="1" cellspacing="0" cellpadding="2" style="margin:0 0 1em 1em;border:1px #AAA solid;border-collapse:collapse;background:var(--couleur-fond-boite-grise, #f9f9f9); color:inherit;"
|-
! Écriture !! Chiffre
|-
| [[Alphabet thaï|Thaï]] ||align="center"| {{Uni|0E50|script=Thai}}
|-
| [[Tibétain]] ||align="center"| {{Uni|0F20|script=Tibt}}
|-
| [[Sinogramme]], version simple<ref>utilisée à la fois en [[chinois simplifié]], [[chinois traditionnel]] et [[japonais]], ainsi qu'autrefois en [[coréen]] et [[vietnamien]].</ref> ||align="center"| {{Uni|3007|script=Hans}}
|-
| [[Sinogramme]], version complexe<ref>utilisée à la fois en [[chinois simplifié]] et [[chinois traditionnel]] et [[japonais]], ainsi qu'autrefois en [[coréen]] et [[vietnamien]], elle est davantage utilisée, mais non exclusivement, comme forme complexe pour les [[chèque]]s et la [[monnaie]].</ref>||align="center"| {{Uni|96F6|script=Hant}}
|}
|}
Voici le zéro en [[affichage à sept segments]] :
<gallery widths="40" perrow="5" heights="40" style="text-align: center;" class="gauche">
Image:7-segment abcdef.svg|
</gallery>
On utilise des conventions typographiques comme le [[zéro barré|zéro barré ou le zéro pointé]] afin d'éviter de confondre ce chiffre avec d'autres [[glyphe]]s.

== Utilisations ==
Il est aujourd’hui à la base du système de mesure de la [[température]] :
* {{température|0|°C}} : température du passage de l’[[eau]] de l’[[état solide]] (glace) à l’[[liquide|état liquide]], à une pression ambiante de {{nombre|1013|[[Pascal (unité)|hPa]]}} dans le système Celsius;
* {{nombre|0|[[Kelvin|K]]}} : [[zéro absolu]], température la plus basse possible ({{température|-273.15|°C}}), pour laquelle {{quoi|l’énergie rotationnelle}}, [[Vibration moléculaire|vibrationnelle]] et [[Énergie cinétique|cinétique]] des [[molécule]]s est nulle.

Il n’y a pas d’[[année zéro]] dans le [[calendrier grégorien]]. En effet, l’usage du {{nobr|nombre 0}} en [[Europe]] est postérieur à la création de l’[[Ère chrétienne|anno Domini]] par [[Denys le Petit]] au {{s-|VI}}. Cependant pour simplifier les calculs d’éphémérides, les [[astronome]]s définissent une {{nobr|année 0}} qui correspond à l’année [[-1]] des historiens, l’an -1 des astronomes correspondant à l’an [[-2]] des historiens et ainsi de suite.

C’est ainsi que le {{IIIe millénaire}} et le {{s-|XXI}} ont commencé le {{date-|1|janvier|2001}}.

[[Minuit]] peut se noter 00:00.

Dans de nombreux [[Langage de programmation|langages de programmation]] (tels le [[C (langage)|C]] ou le [[Python (langage)|Python]]), {{Lien|trad=Zero-based numbering|texte=l'indexation s'effectue à partir de 0}} et non de [[1 (nombre)|1]].
La raison en est que la numérotation d’éléments stockés de façon continue dans une zone de stockage (disque, mémoire{{etc.}}) se fait par décalage par rapport à une adresse de début : le premier élément est celui au début de la zone ({{nobr|+ 0}}), le second élément est le suivant ({{nobr|+ 1}}){{etc.}} L'indexation à partir de 1, encore utilisée par certains logiciels (comme [[MATLAB]]), est la source de nombreuses erreurs de [[Programmation informatique|programmation]].

{{Ancre|Le zéro comme notation des bases 2, 8, 10, 16...}}

== Le zéro comme notation des bases 2, 8, 10, 16… ==

Dans la [[Système décimal|base dix]] que l’on utilise, le [[chiffre]] le plus à droite indique les [[1 (nombre)|unités]], le deuxième chiffre indique les dizaines, le troisième les centaines, le quatrième les milliers…

Le zéro joue donc un rôle particulier dans le [[Notation positionnelle|système arithmétique positionnel]], quel qu’il soit du reste.

Rappelons que l’usage de la base dix, en provenance de l’Inde, s’est imposé en France par rapport à d’autres [[Base (arithmétique)|bases]], par exemple 12 et 60 qui étaient utilisées dans certaines [[civilisation]]s, le [[système vicésimal]] ayant laissé des traces dans la langue française, et le [[système duodécimal]] des modes de calcul chez les Britanniques.

Lorsqu’il y a des unités résiduelles, par exemple dans trente-deux (32), le chiffre des unités (2) permet de comprendre que l’autre chiffre (3) indique les [[dix|dizaines]].

Si l’on a un nombre entier de dizaines (par exemple trois dizaines, trente), il n’y a pas d’unité résiduelle. Il faut donc un caractère qui permette de marquer que le 3 correspond aux dizaines, et ce caractère est le 0 ; c’est ainsi que l’on comprend que « 30 » signifie « trois dizaines ».

On aurait pu utiliser n’importe quel autre caractère, par exemple un point ; ainsi, deux-cent trois se noterait « 2.3 ».

L’utilisation d’un caractère « bouche-trou » remonte à la [[numération mésopotamienne]], comme indiqué ci-dessus, mais il ne s’agit pas du concept d’« absence de quantité », il s’agit juste d’une commodité de notation. Dans la [[numération romaine]], cet artifice n’est pas utile puisque les unités ({{I}}, {{V}}), les dizaines ({{X}}, {{Rom-maj|L|50}}), les centaines ({{Rom-maj|C|100}}, {{Rom-maj|D|500}}) et les milliers ({{Rom-maj|M|1000}}) sont notés avec des caractères différents. En contrepartie, la notation de nombres supérieurs à {{formatnum:8999}} devient problématique et les [[Reconnaissance de formes|reconnaissances de structures]] pour le [[calcul mental]] rapide bien plus pénibles.

== Le zéro comme absence de quantité ==

Le fait d’exprimer l’[[rien|absence de quantité]] par un nombre n’est pas une évidence en soi. L’absence d’un objet s’exprime par la phrase « il n’y en a pas » (ou « plus »).

Les nombres sont déjà une [[Abstraction (philosophie)|abstraction]] : on ne s’intéresse pas à la qualité d’un objet, mais uniquement à sa quantité, sa dénombrabilité (le fait que des objets soient similaires mais distincts). Le zéro décrit le concept abstrait du déni ou de l'absence de quantité.

Lorsque l’on additionne ou multiplie deux nombres, on peut rationaliser l'opération comme un regroupement de deux tas d’objets semblables, deux troupeaux, etc. Cette image ne tient plus lorsque l’on manipule le zéro.

L’invention du zéro a permis l’invention des [[Nombre négatif|nombres négatifs]].

== Propriétés arithmétiques et algébriques ==
Zéro est le premier nombre [[entier naturel]], dans l'ordre usuel.

Il est [[divisible]] par tout autre [[entier relatif]].

Pour tout [[nombre réel]] (ou [[nombre complexe|complexe]]) <math>a</math> :
* {{math|''a'' + 0 {{=}} 0 + ''a'' {{=}} ''a''}} (0 est [[élément neutre]] pour l’addition) ;
* {{math|''a'' × 0 {{=}} 0 × ''a'' {{=}} 0'}}  (0 est [[élément absorbant]] pour la multiplication) ;
* si {{math|''a'' ≠ 0}} alors {{math|''a''{{exp|0}} {{=}} 1}} ;
* [[Zéro puissance zéro|0{{exp|0}}]] est considéré tantôt comme égal à 1 (en algèbre et en [[théorie des ensembles]])<ref>[http://forums.futura-sciences.com/mathematiques-superieur/166012-finir-0-0-a.html Pour en finir avec 0{{exp|0}}] sur forums.futura-sciences.com</ref>, tantôt comme indéfini pour l'évaluation des limites en analyse (c’est une [[forme indéterminée]] du calcul des [[limite (mathématiques)|limites]]) ;
* la [[Factorielle#Valeur de 0!|factorielle de 0]] est égale à 1 ;
* {{math|''a'' + (–''a'') {{=}} 0}} ;
* {{sfrac|''a''|0}} est non défini (voir article [[division par zéro]]) ;
* {{sfrac|0|0}} non défini, en remarquant toutefois que le calcul {{sfrac|''dx''|''dy''}} lorsque les deux valeurs tendent vers zéro est la base du [[calcul différentiel]] ;
* Pour tout entier ''n'' > 0, la [[Racine d'un nombre|racine n-ième]] de 0 est égale à 0 ;
* Zéro est le seul nombre qui est à la fois réel, positif, négatif et imaginaire pur.

=== Usage étendu de ''zéro'' en mathématiques ===
* Zéro est l’élément neutre dans un [[groupe abélien]] muni de la loi {{math|+}} ou l’élément neutre pour l’addition dans un [[anneau unitaire|anneau]].
* Un zéro d’une fonction est un point dans le domaine de définition de la fonction dont l’image par la fonction est zéro ; aussi appelé [[Racine d'un polynôme|racine]], surtout dans le cas d’une [[fonction polynomiale]]. Voir [[zéro (analyse complexe)]].
* En [[géométrie]], la [[Espace affine#Définitions et premières propriétés|dimension]] d’un [[point (géométrie)|point]] est 0.
* En [[espace topologique|topologie]], la [[dimension topologique]] de l’[[ensemble de Cantor]] est 0, quoiqu’il ait une [[dimension de Hausdorff]] non nulle.
* En [[géométrie analytique]], 0 a pour nom l’[[origine]], notée aussi O (un cas où l’ambiguïté est bénigne).
* Le concept de « presque impossible » en [[probabilité]].
* Une [[fonction nulle]] est une [[fonction (mathématiques)|fonction]] qui ne prend que la valeur 0. Un [[Morphisme de groupes|morphisme]] nul est une fonction nulle particulière. Une fonction nulle est l’[[élément neutre]] dans un groupe additif de fonctions.
* Zéro est l’une des trois valeurs prises par la [[fonction de Möbius]]. Appliquée à un entier {{math|''x''{{2}}}} ou {{math|''x''{{2}}''y''}}, la fonction de Möbius retournera zéro.
* C’est un [[Suite de Pell|nombre de Pell]].

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|0|8245746|type=n}}
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets|wiktionary = zéro}}
{{Infobox Liste de fichiers
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}}

=== Articles connexes ===
* [[Axiomes de Peano]]
* [[Chiffres arabes]]
* [[Système de numération indo-arabe]]
* [[Lokavibhâga]]
* [[Système décimal sans zéro]]
* [[Théorème des zéros de Hilbert]]
* [[Zéro barré]]

=== Bibliographie ===
* [[Georges Ifrah]], ''Histoire universelle des chiffres, l’intelligence des hommes racontée par les nombres et le calcul'', Robert Laffont, collection Bouquins. {{ISBN|978-2-221-90100-7}}. {{nobr|Tome 1}}, {{nombre|1042|pages}}, {{nobr|tome 2}}, {{nombre|1010|pages}}. Janvier [[1994]]. (illustrations en couleur)
* {{Ouvrage |auteur=Charles Seife |titre=Zéro |sous-titre=la biographie d’une idée dangereuse |lieu=Paris |éditeur=Hachette |année=2007 |isbn=978-2-01-279192-3}}.

=== Radiographie ===
*[https://www.franceculture.fr/emissions/eureka/eureka-emission-du-jeudi-12-aout-2021 « Zéro : dans l'ombre des nombres »] , ''Eurêka !'' , [[France Culture]], 12 aout 2021.

=== Vidéographie ===
* {{vidéo}} [https://www.futura-sciences.com/sciences/videos/longue-histoire-zero-5330/ La longue histoire du zéro] sur ''Futura sciences''.

{{Palette
|Notion de nombre
|Nombres|nombre=0
|Chiffres
}}
{{Portail|nombre}}

[[Catégorie:Zéro|*]]
[[Catégorie:Rien]]
[[Catégorie:Chiffre arabe]]