Voir la source de Zéro puissance zéro


'''Zéro à la puissance zéro''', noté 0<sup>0</sup>, est une [[Expression (mathématiques)|expression mathématique]] qui n'a pas de valeur évidente. Il n'existe pas de [[consensus]] quant à la meilleure approche : définir l'expression (en lui donnant la valeur 1) ou la laisser non définie. Plusieurs justifications existent pour chacune des possibilités, et celles-ci sont décrites dans cet article. En [[algèbre]] et en [[théorie des ensembles]], il est généralement convenu que la réponse est 0<sup>0</sup> = 1, alors qu'en [[Analyse (mathématiques)|analyse]], l'expression n'est généralement pas définie. Les [[Programme informatique|programmes informatiques]] ont également différentes méthodes pour gérer cette expression.

== Exposants entiers ==
De nombreuses formules impliquant des [[entiers naturels]] nécessitent de définir 0<sup>0</sup> = 1. Par exemple, si l'on voit ''b''<sup>0</sup> comme un [[produit vide]], il faut le définir comme étant 1, même lorsque {{Formule|1=''b'' = 0}}. En [[combinatoire]], ''b''<sup>0</sup> est le nombre de [[N-uplet|0-uplets]] dans un ensemble à ''b'' éléments ; il y en a exactement un, même si {{Formule|1=''b'' = 0}}. De manière équivalente, l'interprétation de 0<sup>0</sup> dans la [[théorie des ensembles]] est le nombre de [[Fonction (mathématiques)|fonctions]] de l'[[ensemble vide]] dans l'ensemble vide ; il y a exactement une telle fonction, la fonction vide<ref name="Bourbaki">[[Nicolas Bourbaki]], Éléments de Mathématiques, Théorie des ensembles, Springer-Verlag, 2004, III.§3.5.</ref>.

== Polynômes et séries entières ==
De façon similaire, il est souvent nécessaire de définir 0<sup>0</sup> = 1 quand on travaille avec des [[polynôme]]s.

Un polynôme est une expression de la forme <math>a_0X^0+\cdots+a_nX^n</math> où <math>X</math> est l'[[indéterminée]] et les coefficients <math>a_n</math> sont des [[Nombre réel|nombres réels]] (ou plus généralement des éléments d'un [[anneau (mathématiques)|anneau]]). L'ensemble de ces polynômes est noté <math>\mathbb R[X]</math> et forme lui-même un anneau. Le polynôme <math>X^0</math> est l'[[Élément neutre|unité]] de cet anneau, en d'autres termes c'est l'unique élément vérifiant la propriété suivante : <math>X^0</math> multiplié avec n'importe quel autre polynôme <math>P(X)</math> donne simplement <math>P(X)</math><ref>{{Ouvrage|auteur1=[[Nicolas Bourbaki]]|titre=Algèbre|éditeur=Springer|année=1970|isbn=}}, §III.2 No. 9: "L'unique monôme de degré 0 est l'élément unité de <math>A[(X_i)_{i\in I}]</math> ; on l'identifie souvent à l'élément unité 1 de <math>A</math>".</ref>. Les polynômes peuvent être « évalués » en remplaçant ''X'' par n'importe quel nombre réel. Plus précisément, étant donné un nombre réel <math>x_0</math>, il existe un unique morphisme d'anneaux <math>\operatorname{ev}_{x_0}:\mathbb R[X]\to\mathbb R</math> tel que <math>\operatorname{ev}_{x_0}(x^1)=x_0</math><ref>{{Ouvrage|auteur1=[[Nicolas Bourbaki]]|titre=Algèbre|éditeur=Springer|année=1970|isbn=}}, §IV.1 No. 3.</ref>, appelé ''morphisme d'évaluation''. Étant un [[morphisme d'anneaux]], il satisfait alors <math>\operatorname{ev}_{x_0}(x^0) = 1</math>. En résumé, <math>x^0=1</math> pour toutes les spécialisations de ''x'' en un nombre réel, y compris ''x'' = 0.

Cette perspective est importante pour de nombreuses identités polynomiales en combinatoire. Par exemple, la [[formule du binôme de Newton]] <math>(1 + x)^n = \sum_{k = 0}^n \binom{n}{k} x^k</math> n'est valable pour {{Formule|1=''x'' = 0}} que si {{Formule|1=0<sup>0</sup> = 1}}<ref>"Some textbooks leave the quantity 0<sup>0</sup> undefined, because the functions ''x''<sup>0</sup> and 0<sup>''x''</sup> have different limiting values when ''x'' decreases to 0. But this is a mistake. We must define {{math|1=''x''<sup>0</sup> = 1}}, for all ''x'', if the binomial theorem is to be valid when {{math|1=''x'' = 0}}, {{math|1=''y'' = 0}}, and/or {{math|1=''x'' = −''y''}}. The binomial theorem is too important to be arbitrarily restricted! By contrast, the function 0<sup>''x''</sup> is quite unimportant".{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Ronald Graham]], [[Donald Knuth]], and [[Oren Patashnik]]|titre=[[Concrete Mathematics]]|lieu=Reading (Mass.)/Menlo Park (Calif.)/Paris etc.|éditeur=Addison Wesley Longman Publishing Co|date=1989-01-05|numéro d'édition=1|pages totales=625|passage=162|isbn=0-201-14236-8|titre chapitre=Binomial coefficients}}</ref>. De même, la définition des anneaux de [[Série entière|séries entières]] demandent que <math>x^0 = 1</math> pour toute valeur de ''x''. Ainsi, les identités comme <math>\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n</math> et <math>e^{x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}</math> ne sont valables en ''x'' = 0 que si {{Formule|1=0<sup>0</sup> = 1}}.

== Exposants réels ==
[[Fichier:X^y.png|droite|vignette|Graphique de {{Formule|1=''z'' = ''x''<sup>''y''</sup>}}. Les courbes en rouge (avec ''z'' constant) donnent des limites différentes à mesure que {{Formule|(''x'', ''y'')}} se rapproche de {{Formule|(0, 0)}}. Les courbes vertes (de pente constante, {{Formule|1=''y'' = ''ax''}}) donnent toutes une limite de 1.]]
Les limites faisant appel à des opérations algébriques peuvent souvent être évaluées en remplaçant des sous-expressions par des limites. Si l'expression qui en résulte ne permet pas de déterminer la limite initiale, l'expression est appelée une [[forme indéterminée]]<ref>{{Ouvrage|prénom1=S. C.|nom1=Malik|auteur2=Savita Arora|titre=Mathematical Analysis|lieu=New York|éditeur=[[John Wiley & Sons|Wiley]]|année=1992|pages totales=903|passage=223|isbn=978-81-224-0323-7|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=L25yJhCll78C&printsec=frontcover}}{{Début citation}}In general the limit of ''φ''(''x'')/''ψ''(''x'') when 1=''x'' = ''a'' in case the limits of both the functions exist is equal to the limit of the numerator divided by the denominator. But what happens when both limits are zero? The division (0/0) then becomes meaningless. A case like this is known as an indeterminate form. Other such forms are ∞/∞, 0 × ∞, ∞ − ∞, 0<sup>0</sup>, 1<sup>∞</sup> and ∞<sup>0</sup>.{{Fin citation}}</ref>.

Lorsque ''f'' et ''g'' sont des fonctions à valeurs réelles qui tendent toutes deux vers 0 en un certain point ''t'' pouvant être un nombre réel ou ±∞ (avec {{Formule|''f''(''t'') > 0}}), alors la fonction ''f''(''t'')<sup>''g''(''t'')</sup> n'a pas forcément comme limite 1. Suivant l'expression exacte de ''f'' et ''g'', la limite de ''f''(''t'')<sup>''g''(''t'')</sup> peut être n'importe quel nombre réel positif, ou +∞, ou [[Limite (mathématiques)|diverger]]. Par exemple, les fonctions ci-dessous sont de la forme ''f''(''t'')<sup>''g''(''t'')</sup> avec {{Formule|''f''(''t''), ''g''(''t'') → 0}} quand {{Formule|''t'' → 0<sup>+</sup>}}, mais les limites sont différentes :
::<math> \lim_{t \to 0^+} {t}^{t} = 1, \quad \lim_{t \to 0^+} \left(e^{-\frac{1}{t^2}}\right)^t = 0, \quad \lim_{t \to 0^+} \left(e^{-\frac{1}{t^2}}\right)^{-t} = +\infty, \quad \lim_{t \to 0^+} \left(e^{-\frac{1}{t}}\right)^{at} = e^{-a}</math>.

En d'autres termes, la fonction de deux variables <math>(x,y)\mapsto x^y</math>, qui est continue sur l'ensemble {{Formule|{(''x'', ''y'') : ''x'' > 0},}} [[Classification des discontinuités|ne peut être prolongée]] en une [[Continuité (mathématiques)|fonction continue]] en {{Formule|(0, 0)}}<ref>{{article|auteur=L. J. Paige|titre=A note on indeterminate forms|jstor=2307224|journal=American Mathematical Monthly|volume=61|numéro=3|date=mars 1954|pages=189–190|doi=10.2307/2307224}}</ref>. Toutefois, sous certaines conditions, par exemple lorsque ''f'' et ''g'' sont deux [[Fonction analytique|fonctions analytiques]] et ''f'' est positive sur un intervalle ouvert {{Formule|]0, ''b''[}}, la limite à droite est toujours 1<ref>[http://www.faqs.org/faqs/sci-math-faq/specialnumbers/0to0/ sci.math FAQ: What is 0^0?]</ref>{{,}}<ref>{{article|doi=10.2307/2689754|jstor=2689754|pages=41–42|titre=The Indeterminate Form 0<sup>0</sup>|journal=[[Mathematics Magazine]]|volume=50|numéro=1|périodique=[[Mathematical Association of America]]|année=1977|auteur1=Rotando|prénom1=Louis M.|auteur2=Korn|prénom2=Henry}}</ref>{{,}}<ref>{{article|doi=10.2307/3595845|jstor=3595845|pages=55–56|titre=On the Indeterminate Form 0<sup>0</sup>|journal=[[The College Mathematics Journal]]|volume=34|numéro=1|périodique=[[Mathematical Association of America]]|année=2003|auteur1=Lipkin|prénom1=Leonard J.}}</ref>.

== Exposants complexes ==
Dans le [[Nombre complexe|plan complexe]], la fonction ''z''<sup>''w''</sup> peut être définie pour les ''z'' non nuls en choisissant une [[Logarithme complexe|branche]] de log ''z'' puis en prenant ''z''<sup>''w''</sup> = {{Formule|''e''<sup>''w'' log ''z''</sup>}}. Cela ne permet pas de définir 0<sup>''w''</sup> car il n'y a pas de branche de {{Formule|log ''z''}} définie en {{Formule|1=''z'' = 0}}, et encore moins dans un voisinage de 0<ref>"Since log(0) does not exist, 0<sup>''z''</sup> is undefined. For {{math|Re(''z'') > 0}}, we define it arbitrarily as 0." George F. Carrier, Max Krook and Carl E. Pearson, ''Functions of a Complex Variable: Theory and Technique '', 2005, p.&nbsp;15</ref>{{,}}<ref>"For {{math|1=''z'' = 0}}, {{math|''w'' ≠ 0}}, we define {{math|1=0<sup>''w''</sup> = 0}}, while 0<sup>0</sup> is not defined." Mario Gonzalez, ''Classical Complex Analysis'', Chapman & Hall, 1991, p.&nbsp;56.</ref>{{,}}<ref>"... Let's start at {{math|1=''x'' = 0}}. Here ''x''<sup>''x''</sup> is undefined."  Mark D. Meyerson, The ''x''<sup>''x''</sup> Spindle, ''Mathematics Magazine'' '''69''', no. 3 (June 1996), 198-206.</ref>.

== Histoire de différents points de vue ==
Le débat sur la définition de <math>0^0</math> existe depuis au moins le {{s-|XIX}}. À l'époque, la plupart des mathématiciens étaient d'accord avec le fait que <math>0^0 = 1</math>, jusqu'à 1821 quand [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]]<ref>Augustin-Louis Cauchy, ''Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique'' (1821). Dans ses ''Œuvres Complètes'', séries 2, volume 3.</ref> lista <math>0^0</math> dans une table des [[Forme indéterminée|formes indéterminées]], au même rang que [[0/0|<math>\frac{0}{0}</math>]]. 

Dans les années 1830, [[Guglielmo Libri Carucci dalla Sommaja|Libri]]<ref>Guillaume Libri, Note sur les valeurs de la fonction 0<sup>0<sup>x</sup></sup>, ''[[Journal für die reine und angewandte Mathematik]]'' '''6''' (1830), 67–72.</ref>{{,}}<ref>Guillaume Libri, Mémoire sur les fonctions discontinues, ''Journal für die reine und angewandte Mathematik'' '''10''' (1833), 303–316.</ref> publia un argument, pour démontrer que <math>0^0 = 1</math>. [[August Ferdinand Möbius|Möbius]]<ref name="Möbius1834">{{article|auteur=A. F. Möbius|titre=Beweis der Gleichung 0<sup>0</sup> = 1, nach J. F. Pfaff|traduction titre=Proof of the equation 0<sup>0</sup> = 1, according to J. F. Pfaff|url=http://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=mdp.39015036988163;view=1up;seq=142|journal=Journal für die reine und angewandte Mathematik|volume=12|année=1834|pages=134–136}}</ref> prit son parti, affirmant que <math>\lim_{t \to 0^+} f(t)^{g(t)} \;=\; 1</math> si <math>\lim_{t \to 0^+} f(t) \;=\; \lim_{t \to 0^+} g(t) \;=\; 0</math>. Un commentateur, qui signa simplement « S », fournit le contre-exemple <math>(e^{-1/t})^t</math>. Ce contre exemple rendant caduque l'argument de Libri ce qui calma le débat pour quelque temps. 

Plus de détails historiques se trouvent dans les travaux de Donald Knuth (1992).

Aujourd'hui, les mathématiciens interprètent les arguments ci-dessus de deux manières :
* certains disent que la valeur de <math>0^0</math> dépend du contexte, et donc que définir l'expression pose problème<ref>Examples include Edwards and Penny (1994). ''Calculus'', 4th ed, Prentice-Hall, p. 466, and Keedy, Bittinger, and Smith (1982). ''Algebra Two.'' Addison-Wesley, p. 32.</ref> ;
* d'autres (et particulièrement [[Donald Knuth]]) pensent que <math>0^0</math> devrait toujours être défini comme étant égal à 1<ref name="Knuth1992">Donald E. Knuth, Two notes on notation, ''[[The American Mathematical Monthly|Amer. Math. Monthly]]'' '''99''' no. 5 (May 1992), 403–422 ([[arxiv:math/9205211|arXiv:math/9205211 &#x5B;math.HO&#x5D;]]).</ref>.

== Dans les programmes informatiques ==

=== Standard IEEE sur les nombres à virgule flottante ===
La norme [[IEEE 754]] sur les nombres à [[virgule flottante]] est utilisée dans la conception de la plupart des bibliothèques qui traitent ces nombres. Elle recommande un certain nombre d'opérations pour calculer une puissance<ref name="Muller_2010">{{Ouvrage|titre=Handbook of Floating-Point Arithmetic|éditeur=[[Birkhäuser]]|année=2010|numéro d'édition=1|passage=216|isbn=|lccn=2009939668|doi=10.1007/978-0-8176-4705-6|nom1=Muller|prénom1=Jean-Michel |nom2=Brisebarre |prénom2=Nicolas |nom3=de Dinechin|prénom3=Florent |nom4=Jeannerod|prénom4=Claude-Pierre|nom5=Lefèvre|prénom5=Vincent|nom6=Melquiond |prénom6=Guillaume|nom7=Revol |prénom7=Nathalie|nom8=Stehlé|prénom8=Damien |nom9=Torres|prénom9=Serge }}  {{isbn|978-0-8176-4705-6}} (online), {{isbn|0-8176-4704-X}} (print)</ref> :
* <tt>pow</tt> définit 0<sup>0</sup> comme étant égal à 1. Si la puissance est un entier, le résultat est le même que pour la fonction <tt>pown</tt>, sinon le résultat est le même que pour <tt>powr</tt> (sauf certains cas exceptionnels).
* <tt>pown</tt> définit 0<sup>0</sup> comme étant égal à 1. La puissance doit nécessairement être un entier. La valeur est définie pour les bases négatives ; par exemple, <tt>pown(-3,5)</tt> est -243.
* <tt>powr</tt> traite 0<sup>0</sup> comme étant [[NaN]] (''Not-a-Number'' – non défini). Le résultat est aussi NaN pour les cas comme <tt>powr(-3,2)</tt> où la base est négative. La valeur est définie par ''e<sup>exposant</sup>''<sup>×log(base)</sup>.
La variante <tt>pow</tt> est inspirée par la fonction <tt>pow</tt> fonction de la norme [[C (langage)|C99]], principalement à des fins de compatibilité<ref>http://grouper.ieee.org/groups/754/email/msg03270.html (beginning of the discussion about the power functions for the revision of the IEEE 754 standard, May 2007)</ref>. Elle est surtout utile pour les [[Langage de programmation|langages de programmation]] avec une seule fonction « puissance ». Les variantes <tt>pown</tt> et <tt>powr</tt> ont été introduites en raison de conflits d'utilisation de la fonction puissance et des différents points de vue indiqués ci-dessus<ref>http://grouper.ieee.org/groups//754/email/msg03292.html (suggestion of variants in the discussion about the power functions for the revision of the IEEE 754 standard, May 2007)</ref>.

=== Dans les langages de programmation ===
Les [[Bibliothèque standard|bibliothèques standard]] du [[C (langage)|C]] et du [[C++]] ne spécifient pas le résultat de 0<sup>0</sup> (une erreur de domaine peut se produire). Dans la norme C99, plus précisément son annexe normative F, le résultat est demandé être égal à 1, car cette valeur est plus utile que [[NaN]] pour les applications les plus importantes<ref>{{Ouvrage|auteur1=John Benito|titre=Rationale for International Standard—Programming Languages—C|éditeur=|date=avril 2003|format=pdf|passage=182|isbn=|lire en ligne=http://www.open-std.org/jtc1/sc22/wg14/www/C99RationaleV5.10.pdf|numéro édition=5.10 }}</ref> (par exemple, avec des puissances entières). Le standard [[Java (langage)|Java]]<ref>{{lien web|url=http://docs.oracle.com/javase/8/docs/api/java/lang/Math.html#pow-double-double-|titre=Math (Java Platform SE 8) pow|éditeur=Oracle}}</ref> et la [[Méthode (informatique)|méthode]] <code>Système.Math.Pow</code><ref>{{lien web|url=http://msdn.microsoft.com/en-us/library/system.math.pow.aspx|titre=.NET Framework Class Library Math.Pow Method|éditeur=Microsoft}}</ref> du [[framework .NET]] traitent aussi 0<sup>0</sup> comme étant égal à 1.

=== Logiciels mathématiques ===
* [[SageMath]] simplifie ''b''<sup>0</sup> en 1, même si des contraintes sont placées sur ''b''<ref>{{lien web|url=http://sagenb.org/home/pub/2433/|titre=Sage worksheet calculating x^0|éditeur=Jason Grout}}</ref>. Il prend 0<sup>0</sup> comme étant égal à 1, mais ne simplifie pas 0<sup>''x''</sup> pour d'autres valeurs de ''x''.
* [[Maple]] fait la distinction entre les ''entiers'' 0, 1, ... et les ''[[Virgule flottante|flottants]]'' 0.0, 1.0, ... (généralement notés 0., 1., ...). Si ''x'' ne s'évalue pas en un nombre, alors les expressions ''x''<sup>0</sup> et ''x''<sup>0.0</sup> sont respectivement évaluées en 1 (''entier'') et 1.0 (''float''). D'autre part, l'expression 0<sup>''x''</sup> est évaluée en l'entier 0, alors que 0.0<sup>''x''</sup> est évalué comme 0.<sup>''x''</sup>. Si à la fois la base et l'exposant sont égaux à zéro (ou s'évaluent en zéro), le résultat est de ''type Float(non défini)'' si l'exposant est le ''float'' 0.0 ; avec un entier comme exposant, l'évaluation de 0<sup>0</sup> donne l'''entier'' 1, tandis que celle de 0.<sup>0</sup> donne le ''float'' 1.0.
* Macsyma simplifie également ''b''<sup>0</sup> en 1, même si aucune contrainte n'est placée sur ''b'', mais émet un message d'erreur pour 0<sup>0</sup>. Pour ''x''>0, il simplifie 0<sup>''x''</sup> en 0{{Référence nécessaire|date=juillet 2010}}.
* [[Mathematica]] et [[WolframAlpha]] simplifient ''b''<sup>0</sup> en 1, même si des contraintes sont placés sur ''b''<ref>{{lien web|url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=b^0|titre=Wolfram Alpha calculates b^0|éditeur=Wolfram Alpha LLC, accessed April 25, 2015}}</ref>. Alors que Mathematica ne simplifie pas 0<sup>''x''</sup>, WolframAlpha retourne deux résultats, 0 pour {{Formule|''x'' > 0}}, et « indéterminé » pour un nombre réel ''x''<ref>{{lien web|url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=0^x|titre=Wolfram Alpha calculates 0^x|éditeur=Wolfram Alpha LLC, accessed April 25, 2015}}</ref>. Mathematica et WolframAlpha déclarent tous les deux 0<sup>0</sup> comme étant une « forme indéterminée »<ref>{{lien web|url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=0^0|titre=Wolfram Alpha calculates 0^0|éditeur=Wolfram Alpha LLC, accessed April 25, 2015}}</ref>.
* [[MATLAB|Matlab]], [[Python (langage)|Python]], [[Magma (logiciel)|Magma]], [[GAP (logiciel de calcul formel)|GAP]], [[Singular]], [[PARI/GP]] et les calculatrices de Google et des [[iPhone]] évaluent 0<sup>0</sup> en 1.

== Références ==
{{Références}}

{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Exponentielle]]
[[Catégorie:Zéro]]