Conjecture de Brocard

n	pn	pn2	Nombres premiers	Δ
1	2	4	5, 7	2
2	3	9	11, 13, 17, 19, 23	5
3	5	25	29, 31, 37, 41, 43, 47	6
4	7	49	53, 59, 61, 67, 71…	15
5	11	121	127, 131, 137, 139, 149…	9
Δ est le nombre de nombres premiers.

En théorie des nombres, la conjecture de Brocard est une conjecture du nom d'Henri Brocard selon laquelle il y a au moins quatre nombres premiers entre p_n² et p_n+1², pour tout n > 1, où p_n est le n^ème nombre premier :

$\mathrm{\forall }n⩾2,\pi (p_{n+1}^2)-\pi (p_n^2)⩾4,$

ou Modèle:Math désigne la fonction de compte des nombres premiers.

Le nombre de nombres premiers entre les carrés de nombres premiers est de 2, 5, 6, 15, 9, 22, 11, 27... (Modèle:OEIS).

La conjecture de Legendre selon laquelle il y a toujours un nombre premier entre deux carrés implique directement qu'il y a au moins deux nombres premiers entre deux premiers carrés pour p_n ≥ 3 puisque p_n+1 - p_n ≥ 2.

Notes et références

• Modèle:Article