Logarithme

Modèle:Homophone [[Fichier:Logarithm plots.png|vignette|Tracés des courbes des fonctions logarithmes en base 2, [[e (nombre)|Modèle:Math]] et 10.]]

En mathématiques, plus généralement en science, le logarithme d'un nombre donné répond à la question "À quelle puissance faut-il élever un certain nombre fixé, appelé la base du logarithme, pour obtenir le nombre donné ?", dans les cas où une telle puissance existe.

Cela permet de substituer le problème d’effectuer une addition à celui d’effectuer une multiplication, et ainsi de simplifier certains calculs.Modèle:ExempleDans ce cas, le plus simple, le logarithme est le nombre entier qui compte les répétitions de la base multipliée par elle-même. Dans cette opération, multiplier un nombre par la base équivaut à ajouter 1 à son logarithme. L'exponentiation généralise cette opération de multiplication par soi-même à des puissances intermédiaires entre les entiers, qu'on exprime en nombres réels.Modèle:ExemplePlus précisément, une fonction logarithme est la fonction réciproque d'une exponentiation, c'est-à-dire que le logarithme de base $b$ d'un nombre réel strictement positif est la puissance à laquelle il faut élever la base $b$ pour obtenir ce nombre.

Le logarithme de base $b$ du nombre $x$ se note Modèle:Math. Si la base est évidente d'après le contexte, ou si elle n'a pas d'importance, on peut écrire simplement Modèle:Math. Par définition, $b^{{\log }_{b}x}=x$.

John Napier a développé les logarithmes au début du Modèle:S-. L'utilité du logarithme pour le calcul vient du fait que la fonction logarithme transforme un produit en somme : ${\log }_b(x\cdot y)={\log }_{b}x+{\log }_{b}y$. Pendant trois siècles, la table de logarithmes et la règle à calcul, fondée sur une échelle logarithmique, ont servi pour le calcul, jusqu'à leur remplacement, dans le dernier quart du Modèle:S-, par des calculatrices électroniques.

Le logarithme permet en outre de présenter sous une forme concise des relations entre nombres d'ordre de grandeur très différents.

Logarithmes d'usage courant

Trois fonctions logarithmes sont d'usage courant :

• le logarithme népérien (ou naturel) dont la base est le [[e (nombre)|nombre Modèle:Math]], est fondamental en analyse mathématique car il est la primitive de la fonction $x\mapsto \frac{1}{x}$ s’annulant en 1 et la fonction réciproque de la fonction exponentielle ; il est souvent noté Modèle:Math sauf en informatique ou en théorie des nombres où Modèle:Math sans autre précision signifie en général logarithme népérien ;
• le logarithme décimal, dont la base est 10, reste le plus communément utilisé pour les calculs dans le domaine technologique ainsi qu'en chimie pour le calcul de pH ;
• le logarithme binaire, dont la base est 2, est utile en informatique théorique et pour certains calculs appliqués.

Le logarithme complexe généralise la notion de logarithme aux nombres complexes.

Motivation

Une échelle logarithmique permet de représenter sur un même graphique des nombres dont l'ordre de grandeur est très différent. Les sciences appliquées les utilisent fréquemment dans les formules, comme celles qui évaluent la complexité des algorithmes ou des fractales et celles qui dénombrent les nombres premiers. Ils décrivent les intervalles musicaux et selon le modèle de Weber-Fechner s'appliquent généralement en psychophysique.

Tout logarithme transforme

• un produit en somme : ${\log }_b(x\cdot y)={\log }_{b}x+{\log }_{b}y$
• un quotient en différence : ${\log }_b\left(\frac{x}{y}\right)={\log }_{b}x-{\log }_{b}y$
• une puissance en produit : ${\log }_b(x^y)=y{\log }_{b}x.$

Historique

Page de garde du livre de John Napier de 1614 : Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio

La présentation de correspondances entre suites arithmétiques et suites géométriques avec l'observation qu'une somme dans une suite correspond à un produit dans l'autre est ancienne et on la voit déjà chez Archimède (Modèle:-s-), Chuquet (Modèle:S-) et Stifel (début du Modèle:S-) en Europe, al-Samaw'alModèle:Sfn (Modèle:S-) et Ibn Hamza al-Maghribi (fin du Modèle:S-) dans le monde arabe , mais l'observation est plutôt tournée vers une utilisation algébriqueModèle:Sfn.

Vers la fin du Modèle:S-, le développement de l'astronomie et de la navigation maritime d'une part et les calculs bancaires d'intérêts composés d'autre part poussent les mathématiciens à chercher des méthodes de simplification de calculs et en particulier le remplacement des multiplications par des sommes. L'invention de tables dites logarithmique permettant de faciliter les calculs comportant des produits est l’œuvre de mathématiciens du début du Modèle:S-: Jost Bürgi, Neper et Briggs, travail poursuivi par Johannes Kepler, Ezechiel de Decker et Adriaan Vlacq.

En 1647, Grégoire de Saint-Vincent, travaillant sur la quadrature de l’hyperbole, définit la fonction primitive de la fonction $x\mapsto \frac{1}{x}$ s’annulant en 1. Huygens remarquera en 1661 que cette fonction se trouve être une fonction logarithme particulière : le logarithme naturel.

La correspondance entre les fonctions exponentielles et logarithmes n’apparaît qu'après le travail de Leibniz sur la notion de fonction, en 1697, et se développe au cours du Modèle:S dans les écrits d'EulerModèle:Sfn.

La tentative d'application de la fonction logarithmique à la variable complexe date du Modèle:S- et donne lieu à une controverse entre Bernoulli et Leibniz résolue par Euler.

Propriétés des fonctions logarithmes

Dans cette section, nous donnons des propriétés d'une fonction logarithme, quelle que soit sa base Modèle:Mvar.

Propriétés algébriques

Les fonctions logarithme sont par définition les morphismes continus non constamment nuls de $({ℝ}_{+}^{*},\times )$ vers $(ℝ,+)$.

Pour tout réel Modèle:Mvar strictement positif et différent de 1, le logarithme de base Modèle:Mvar : Modèle:Math est la fonction continue définie sur ${ℝ}_{+}^{*}$ vérifiant l'équation fonctionnelle :

pour tous Modèle:Mvar et Modèle:Mvar réels strictement positifs,

${\log }_b(xy)={\log }_b(x)+{\log }_b(y)$

et

${\log }_b(b)=1$

Cette définition permet de déduire rapidement les propriétés suivantes :

${\log }_b(1)=0$

${\log }_b(x/y)={\log }_b(x)-{\log }_b(y)$

${\log }_b(x^y)=y{\log }_b(x)$

${\log }_b(b^n)=n$ pour tout entier naturel Modèle:Mvar, puis pour tout entier relatif Modèle:Mvar

${\log }_b(b^r)=r$ pour tout rationnel Modèle:Mvar.

Comme tout réel strictement positif Modèle:Mvar est la limite d'une suite dont le terme général est de la forme Modèle:Mvar, où Modèle:Math est une suite de rationnels convergeant vers un réel $\ell$, on détermine Modèle:Math comme étant la limite de Modèle:Mvar.

Changement de base

Deux fonctions logarithmes ne diffèrent que d’une constante multiplicative : pour tous réels strictement positifs Modèle:Mvar et Modèle:Mvar différents de 1 et pour tout réel Modèle:Math,

${\log }_b(x)=\frac{{\log }_a(x)}{{\log }_a(b)}$.

Toutes les fonctions logarithmes peuvent donc s’exprimer à l’aide d’une seule, par exemple la fonction logarithme népérien : pour tout réel strictement positif Modèle:Mvar différent de 1 et pour tout réel Modèle:Math,

${\log }_b(x)=\frac{\ln (x)}{\ln (b)}$.

Dérivée

La fonction Modèle:Math est dérivable sur ${ℝ}_{+}^{*}$ de dérivée :

${{\log }_b}^{\prime }(x)=\frac{1}{x\ln (b)}$ qui a même signe que Modèle:Math.

Donc la fonction Modèle:Math est strictement monotone, croissante quand Modèle:Mvar est supérieur à 1, décroissante dans le cas contraire.

Nombre de chiffres avant la virgule

Si Modèle:Mvar est un entier supérieur ou égal à 2 et Modèle:Math, la [[Base (arithmétique)#Développement en base entière|représentation propre de Modèle:Mvar en base]] Modèle:Mvar possède Modèle:Mvar chiffres avant la virgule si et seulement si $b^{n-1}⩽x<b^n$, soit $n-1⩽{\log }_{b}x<n$. Le nombre de chiffres Modèle:Mvar est donc égal à $\lfloor {\log }_{b}x\rfloor +1$.

Et lorsque Modèle:Mvar tend vers l'infini, on a donc ${\log }_{b}x\sim n(x)$.

Fonction réciproque (antilogarithme)

Représentation dans le cas Modèle:Math. Le graphe de la fonction logarithmique Modèle:Math (bleu) est obtenu en reflétant celui de la fonction Modèle:Mvar (rouge) par rapport à la diagonale Modèle:Nobr

La fonction ${\log }_b:{ℝ}_{+}^{*}\to ℝ$ est la bijection réciproque de la fonction exponentielle de base Modèle:Mvar, parfois appelée antilogarithme de base Modèle:Mvar :

$\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{o}{\mathrm{g}}_{\mathrm{b}}:ℝ\to {ℝ}_{+}^{*},x\mapsto b^x$.

Autrement dit, les deux façons possibles de combiner (ou composer) les logarithmes et l’élévation à des puissances redonnent le nombre original :

• pour tout réel Modèle:Math, prendre la puissance Modèle:Nobr de Modèle:Math, puis le logarithme en base Modèle:Math de cette puissance, redonne Modèle:Math :$\mathrm{\forall }x\in {ℝ}_{+}^{*}{\log }_b(b^x)=x{\log }_b(b)=x$ ;
• inversement, pour tout réel Modèle:Math strictement positif, prendre d'abord le logarithme en base Modèle:Math, puis élever Modèle:Math à sa puissance, redonne Modèle:Math :$b^{{\log }_b(y)}=y.$

Les fonctions réciproques sont étroitement liées aux fonctions originales. Leurs graphes, qui se correspondent lorsqu’on échange les coordonnées Modèle:Math et Modèle:Math (ou par réflexion par rapport à la diagonale Modèle:Math), sont montrés à droite dans le cas où Modèle:Math est un réel strictement supérieur à 1 : un point Modèle:Math sur le graphe (rouge) de la fonction antilogarithme Modèle:Math fournit un point Modèle:Math sur le graphe (bleu) du logarithme et vice versa. Comme Modèle:Math, la fonction Modèle:Math est croissante et quand Modèle:Math tend vers Modèle:Math, Modèle:Math tend vers Modèle:Math, tandis que lorsque Modèle:Math approche zéro, Modèle:Math tend vers Modèle:Math. Dans le cas où le réel Modèle:Math est strictement compris entre 0 et 1, la fonction Modèle:Math est décroissante et ces limites sont interverties.

En matière de calcul, l'antilog ramène des logarithmes aux valeurs. Soit à évaluer une formule Modèle:Mvar combinant multiplications, divisions et exponentiations, et soit Modèle:Mvar la formule définissant le logarithme de Modèle:Mvar en combinant sommes, différences et produits des (logarithmes) des données. La valeur de Modèle:Mvar peut s'obtenir comme l'antilog de la valeur de Modèle:Mvar, ce qui conclut le calcul. On peut ainsi remplacer l'évaluation $F=(x\times y\times z{)}^{1/3}$

par

$F={\mathrm{antilog}}_b\left(\frac{{\log }_b(x)+{\log }_b(y)+{\log }_b(z)}{3}\right)$.

Fonctions logarithme courantes

Logarithme népérien

Le logarithme népérien, ou logarithme naturel, est la fonction logarithme dont la dérivée est la fonction inverse définie de ${ℝ}_{+}^{*}$ dans $ℝ$ : $x\mapsto \frac{1}{x}$.

La fonction de Neper est par convention notée « Modèle:Math » ou « Modèle:Math », notation couramment utilisée en théorie des nombres et en informatique.

La base de la fonction logarithme népérien, notée e, est appelée nombre de Néper ou nombre d'EulerModèle:,.

Une valeur approchée est :

$\mathrm{e}\approx 2,718$.

Logarithme décimal

C’est le logarithme le plus pratique dans les calculs numériques manuels, il est noté Modèle:Math ou Modèle:Math. La norme ISO 80000-2 indique que log₁₀ devrait être noté lg, mais cette notation est rarement utilisée.

On le retrouve dans la création des échelles logarithmiques, les repères semi-logarithmiques ou log-log, dans la règle à calcul, dans le calcul du pH, dans l’unité du décibel.

Il précise à quelle puissance il faut élever 10 pour retrouver le nombre de départ : l'image d'un nombre par Modèle:Math est l'entier relatif auquel il faut élever 10 pour obtenir l'antécédent. Par exemple :

En base dix :

${\log }_{10}(10)=1\text{ car }10^1=10$

${\log }_{10}(100)=2\text{ car }10^2=100$

${\log }_{10}(1000)=3\text{ car }10^3=1000$

${\log }_{10}(0,01)=-2\text{ car }10^{-2}=0,01$

La valeur du logarithme d’autres nombres que des puissances de 10 demande un calcul approché. Le calcul de Modèle:Math par exemple peut se faire à la main, en remarquant que 2Modèle:Exp ≈ 1000 donc Modèle:Math donc Modèle:Math.

Pour tout réel strictement positif Modèle:Mvar différent de 1 et pour tout réel Modèle:Math,

${\log }_b(x)=\frac{{\log }_{10}(x)}{{\log }_{10}(b)}$.

Logarithme binaire

Modèle:Article détaillé La norme ISO 80 000 recommande de noter Modèle:Math le logarithme en base 2.

Le logarithme binaire, d'usage spécialisé dans le calcul des intervalles musicaux à partir d'un rapport de fréquences, pour obtenir des octaves, des demi-tons ou des cents, a trouvé beaucoup plus d'application en informatique. Les ordinateurs travaillant en système binaire, le calcul d'un logarithme en base 2 se fait par l'algorithme le plus précis et le plus efficace.

Un nombre x codé en virgule flottante binaire se décompose en une mantisse m, comprise entre 1 (inclus) et 2 (exclu) et un exposant p, indiquant la puissance de 2 qui multiplie la mantisse pour obtenir le nombre. L'exposant est la partie entière du logarithme binaire, tandis que le logarithme binaire de la mantisse est compris entre 0 (inclus) et 1 (exclu).

$x=2^p\times m⟹\text{lb}(x)=p+\text{lb}(m).$

Ce qui ramène le calcul à celui du logarithme binaire d'un nombre entre 1 (inclus) et 2 (exclu). Si on multiplie ce nombre par lui-même, et que le résultat dépasse 2, c'est que le nombre est supérieur à Modèle:Racine : le chiffre suivant, après la virgule, est un 1, dans le cas contraire, c'est un 0. On continue par itération jusqu'à la précision souhaitée.

Les deux logarithmes précédents se déduisent de celui-ci par :

$\ln (x)=\frac{\mathrm{l}\mathrm{b}(x)}{\mathrm{l}\mathrm{b}(\mathrm{e})}\text{ et }{\log }_{10}(x)=\frac{\mathrm{l}\mathrm{b}(x)}{\mathrm{l}\mathrm{b}(10)}$.

Cologarithme

Modèle:Article détaillé Le cologarithme d'un nombre est l'opposé du logarithme de ce nombre et le logarithme de son inverse : ${\mathrm{colog}}_{b}x=-{\log }_{b}x={\log }_b\frac{1}{x}$.

Généralisations

Le logarithme complexe est la fonction réciproque de l'exponentielle complexe et généralise ainsi la notion de logarithme aux nombres complexes. Le logarithme discret généralise les logarithmes aux groupes cycliques et a des applications en cryptographie à clé publique.

Voir aussi

Liens externes

• Simone Trompler, Histoire des logarithmes, publié en ligne en 2002 par l’Université libre de Bruxelles