Logarithme intégral

Courbe du logarithme intégral.

En mathématiques, la fonction logarithme intégral Modèle:Math est une fonction spéciale définie pour tout nombre réel strictement positif Modèle:Math par l'intégrale :

$\mathrm{l}\mathrm{i}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{\ln (t)}.$

où Modèle:Math désigne le logarithme népérien.

La fonction $t\mapsto 1/\ln (t)$ n'est pas définie en Modèle:Math, et l'intégrale pour Modèle:Math doit être interprétée comme la valeur principale de Cauchy : Modèle:Retrait

Équivalent à l'infini

Quand Modèle:Math tend vers Modèle:Math, on a l'équivalence Modèle:Retrait c'est-à-dire que Modèle:Retrait

D'après le théorème des nombres premiers, la fonction de compte des nombres premiers Modèle:Math est équivalente à Modèle:Math, donc à Modèle:Math, qui en fournit par ailleurs une meilleure approximation.

Propriétés

La fonction Modèle:Math est liée à l'exponentielle intégrale Modèle:Math par la relation Modèle:Math pour tout nombre réel strictement positif Modèle:Math. Ceci mène aux développements en séries de Modèle:Math, comme : Modèle:Retrait où Modèle:Math est la constante d'Euler-Mascheroni.

On en déduit le développement au voisinage de 1 du logarithme intégral : $\mathrm{l}\mathrm{i}(1+u)=\mathrm{E}\mathrm{i}(\ln (1+u))=\ln |u|+\gamma +\frac{1}{2}u+o(u)$.

La fonction Modèle:Math a une seule racine, elle se trouve en Modèle:Math ; ce nombre est connu comme étant la constante de Ramanujan-Soldner.

Fonction d'écart logarithmique intégral

La fonction d'écart logarithmique intégral est une fonction spéciale Modèle:Math très similaire à la fonction logarithme intégral, définie de la façon suivante :

$\mathrm{L}\mathrm{i}(x)=\mathrm{l}\mathrm{i}(x)-\mathrm{l}\mathrm{i}(2)=\underset{2}{\overset{x}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{\ln (t)}$

Une valeur approchée de Modèle:Math est 1,045 163 8Modèle:,, alors que Modèle:Math = 0.

On peut montrer à l'aide d'intégrations par parties successives que, pour tout entier Modèle:Math, on a le développement asymptotique suivant à l'infini de Modèle:Math (donc aussi de Modèle:Math) : Modèle:Retrait

Pour n = 0, on retrouve l'équivalent ci-dessus.

Signification en théorie des nombres

Comme dit dans la section « Équivalent », le théorème des nombres premiers établit que:

$\pi (x)\sim \mathrm{li}(x)$

où $\pi (x)$ exprime la quantité de nombres premiers inférieurs à $x$.

Avec l'hypothèse de Riemann, l'estimation suivante plus forte est possible :

$\mathrm{li}(x)-\pi (x)=O(\sqrt{x}\log x)$

Pour des petits $x$, $\mathrm{li}(x)>\pi (x)$, mais on sait, indépendamment de l'hypothèse de Riemann, que cette différence change de signe un nombre infini de fois quand $x$ augmente. La première occurrence devrait survenir au voisinage de Modèle:Nombre.

Voir aussi

Articles connexes

• Cosinus intégral
• Sinus intégral
• Intégrale non élémentaire
• Constante de Ramanujan-Soldner
• Théorème des nombres premiers
• Nombre de Skewes

Bibliographie

Modèle:Handbook of Mathematical Functions (Abramowitz et Stegun).