Application sous-linéaire

Illustration de la fonction $f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{4}{3}x& \text{si}x\ge 0\\ \frac{1}{2}x& \text{si}x<0\end{array}$

Soit $V$ un espace vectoriel sur ℝ. On dit qu'une application $s:V\to ℝ\cup \{+\mathrm{\infty }\}$ est sous-linéaire lorsque :

• pour tous vecteurs $x$ et $y$ de $V$, $s(x+y)\le s(x)+s(y)$ (on dit que $s$ est sous-additive),
• pour tout vecteur $x$ et tout $\lambda \ge 0$, $s(\lambda x)=\lambda s(x)$ (on dit que $s$ est positivement homogène).

Une application sous-linéaire est aussi dénommée pseudo-jauge en analyse fonctionnelle.

Les applications sous-linéaires sont convexes.

Comme exemples d'applications sous-linéaires, citons les semi-normes ou, plus généralement, toute jauge d'un convexe contenant l'origine. Une jauge est une pseudo-jauge à valeurs positives.