Confluence (informatique)

Le nom « confluence » est le même que celui utilisé en géographie : deux cours d'eau se rejoignent.

En mathématiques, ou en informatique, la confluence d'une relation binaire ${\to }_R$ est définie comme la propriété suivante :

Pour tous éléments $M,M_1,M_2$ tels que $M\underset{R}{\overset{*}{\to }}{M}_1$ et $M\underset{R}{\overset{*}{\to }}{M}_2$, il existe un élément $M^{\prime }$ tel que $M_1\underset{R}{\overset{*}{\to }}{M}^{\prime }$ et $M_2\underset{R}{\overset{*}{\to }}{M}^{\prime }$.

La confluence est équivalente à la propriété de Church-Rosser.

Confluence locale

La confluence locale est une propriété plus faible que la confluence, utile pour les systèmes de réécriture. Elle est définie par :

Pour tous éléments $M,M_1,M_2$ tels que $M{\to }_R{M}_1$ et $M{\to }_R{M}_2$, il existe un élément $M^{\prime }$ tel que $M_1\underset{R}{\overset{*}{\to }}{M}^{\prime }$ et $M_2\underset{R}{\overset{*}{\to }}{M}^{\prime }$.

Toute relation confluente est localement confluente mais une relation localement confluente n'est pas forcément confluente. Par exemple, la relation localement confluente

A ← B ↔ C → D

n'est pas confluente : en effet, A ← B → → D et il n'y a pas de E tel que A →* E *← D.

Le lemme de Newman énonce qu'une relation qui termine et qui est localement confluente est confluente.

Voir aussi

• Lemme de Newman
• Paire critique