Profondeur d'un module

En algèbre commutative, la profondeur d'un module sur un anneau commutatif anneau $A$ est un concept qui intervient notamment dans la définition d'un anneau de Cohen-Macaulay : ce dernier est caractérisé par le fait que pour tout idéal premier $P$ de $A$, l'anneau local $A_P$ est de profondeur (en tant que $A_P$-module) égale à sa dimension de Krull, au sens des définitions données ci-dessous.

Définitions

Soit $M$ un module sur un anneau commutatif $A$. Un élément $a$ de $A$ est dit $M$-régulier si le seul vecteur $x$ de $M$ tel que $ax=0$ est le vecteur nul. Les éléments $A$-réguliers sont donc exactement les éléments réguliers $A$ (éléments non diviseurs de 0).

Une suite $(a_1,\dots ,a_n)$ d'éléments de $A$ est une une suite $M$-régulière si pour tout $i<n$, l'élément $a_i$ est régulier pour le module $M/(a_{1}M+\dots +a_{i-1}M)$.

Lorsque $A$ est un anneau noethérien, $M$ est de type fini et $I$ est un idéal de $A$ tel que $IM\ne M$ , le plus grand entier $n$ tel qu'il existe une suite $M$-régulière d'éléments appartenant à $I$ est appelé la $I$-profondeur de $M$. Si de plus $A$ est local d'idéal maximal $m$, la $m$-profondeur de $M$ est simplement appelée la profondeur de $M$.

Un anneau noethérien $M$ est un anneau de Cohen-Macaulay si pour tout idéal premier $P$ de $A$, l'anneau local $A_P$ est de profondeur (en tant que $A_P$-module) égale à sa dimension de Krull.

Exemples

1. Tout anneau local régulier est un anneau de Cohen-Macaulay.
2. Soit $A$ le localisé de $ℂ[x,y]/(xy,y^2)$ en l'idéal maximal engendré par $x,y$. C'est un anneau de dimension 1, mais de profondeur nulle car tout élément de son idéal maximal est diviseur de 0.

Propriétés

Soient $A$, $B$ des anneaux locaux noethériens, soit $A\to B$ un morphisme plat et $M$ un $A$-module de type fini. Alors

${\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}}_B(M{\otimes }_{A}B)={\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}}_A(M)+{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}}_{B{\otimes }_{A}k}(M{\otimes }_{A}k)$,

où $k$ est le corps résiduel de $A$ .