Nombre de Kynea

En mathématiques récréatives, le Modèle:Math-ième nombre de Kynea (où Modèle:Math est un entier naturel) est l'entier

$(2^n+1{)}^2-2.$

Les nombres de Kynea furent étudiés par Cletus Emmanuel, qui les baptisa du prénom d'une petite fille.

Propriétés

Les dix premiers nombres de Kynea (suite Modèle:OEIS2C) sont

2, 7, 23, 79, 287, 1 087, 4 223, 16 639, 66 047 et 263 167.

Leurs classes de congruence modulo 7 sont

2, 0, 2, 2, 0, 2, 2, 0, 2, 2

donc pour tout entier Modèle:Math, le (Modèle:Math)-ième nombre de Kynea n'est pas premier.

• $k(6)=41\times 103$Modèle:Refsou
• $k(11)=1399\times 3001$Modèle:Refsou
• $k(14)=15913\times 16871$Modèle:Refsou
• $k(20)=47\times 353\times 66271697$Modèle:Refsou
• $k(24)=23\times 41\times 71\times 353\times 11909543.$Modèle:Refsou

Le Modèle:Math-ième nombre de Kynea est égal à Modèle:Math, ainsi qu'à Modèle:Math.

Sa représentation binaire si Modèle:Math (suite Modèle:OEIS2C) est un 1, suivi de n – 1 zéros, suivis de n + 1 uns, puisque

$4^n+2^{n+1}-1=2^{2n}+\sum _{i=0}^n{2}^i.$

Donc, par exemple, 23 est 10111 en binaire, 79 est 1001111, etc.

Nombres de Kynea premiers

Les dix plus petits nombres de Kynea premiers (suite Modèle:OEIS2C) et leurs indices (suite Modèle:OEIS2C) sont :

indice n	0	1	2	3	5	8	9	12	15	17
nombre de Kynea premier	2	7	23	79	1 087	66 047	263 167	16 785 407	1 073 807 359	17 180 131 327

Le plus grand nombre de Kynea premier connu, d'indice n = 281 621, vaut approximativement 5,46 × 10^169 552. Il a été trouvé par Cletus Emmanuel en 2005, en utilisant le k-crible de Phil Carmody et OpenPFGW. C'est le Modèle:46e de Kynea premier.