Équations de Hamilton-Jacobi

En mécanique hamiltonienne, les équations de Hamilton-Jacobi sont des équations associées à une transformation du hamiltonien dans l'espace des phases, et qui permettent de simplifier la résolution des équations du mouvement.

Transformations canoniques

Une transformation canonique est une transformation $(\overrightarrow{q},\overrightarrow{p})\to (\overrightarrow{Q},\overrightarrow{P}),H(\overrightarrow{q},\overrightarrow{p})\to K(\overrightarrow{Q},\overrightarrow{P})$ de l'espace des phases qui conserve les équations canoniques : Modèle:Retrait

(On note $\frac{\partial }{\partial \overrightarrow{x}}={\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}_{\overrightarrow{x}}=\sum _{i=1}^N\frac{\partial }{\partial x_i}{\overrightarrow{e}}_i$ où $\overrightarrow{x}=\sum _{i=1}^N{x}_i{\overrightarrow{e}}_i$.)

On peut montrer qu'une transformation est canonique si et seulement si elle préserve les crochets de Poisson fondamentaux :

Fonctions génératrices

L'action peut s'écrire en fonction des variables de l'espace des phases :

Or les équations canoniques vérifiées par $H(\overrightarrow{q},\overrightarrow{p})$ impliquent que $f$ vérifie les équations d'Euler-Lagrange :

On a donc stationnarité de l'action si et seulement si $H(\overrightarrow{q},\overrightarrow{p})$ vérifie les équations canoniques, et de même pour $K(\overrightarrow{Q},\overrightarrow{P})$. On en déduit que si H et K vérifient leurs équations canoniques, on a stationnarité des actions correspondantes, soit :

d'où la condition dite d'invariance :

Une telle fonction F est appelée fonction génératrice de la transformation $(\overrightarrow{q},\overrightarrow{p})\to (\overrightarrow{Q},\overrightarrow{P}),H(\overrightarrow{q},\overrightarrow{p})\to K(\overrightarrow{Q},\overrightarrow{P})$.

Fonction principale de Hamilton, équation de Hamilton-Jacobi

On note N le nombre de degrés de liberté du système, $(\overrightarrow{q},\overrightarrow{p},\overrightarrow{Q},\overrightarrow{P})$ représentent 4N variables, qui sont reliées entre elles par les 2N relations de la transformation $(\overrightarrow{q},\overrightarrow{p})\to (\overrightarrow{Q},\overrightarrow{P})$. On a donc 2N variables indépendantes, et donc plusieurs choix pour les variables de la fonction génératrice. Si on choisit d'utiliser les variables $(\overrightarrow{q},\overrightarrow{P})$, on a une fonction génératrice $S(\overrightarrow{q},\overrightarrow{P})$ que l'on appelle fonction principale de Hamilton. Pour avoir effectivement une fonction de $(\overrightarrow{q},\overrightarrow{P})$, il faut appliquer une transformation de Legendre à $F$ : $S(\overrightarrow{q},\overrightarrow{P})=F+\overrightarrow{Q}\cdot \overrightarrow{P}$.

On a alors $\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}t}+\dot{\overrightarrow{Q}}\cdot \overrightarrow{P}+\overrightarrow{Q}\cdot \dot{\overrightarrow{P}}=\frac{\partial S}{\partial \overrightarrow{q}}\cdot \dot{\overrightarrow{q}}+\frac{\partial S}{\partial \overrightarrow{P}}\cdot \dot{\overrightarrow{P}}+\frac{\partial S}{\partial t}$

et la condition d'invariance devient

On a choisi $(\overrightarrow{q},\overrightarrow{P})$ comme variables indépendantes, on peut donc identifier et l'on obtient :

Les deux premières équations permettent de déterminer la transformation $(\overrightarrow{q},\overrightarrow{p})\to (\overrightarrow{Q},\overrightarrow{P})$ à partir de la donnée de la fonction $S(\overrightarrow{q},\overrightarrow{P})$, et en combinant la première et la dernière équation, on a l'équation de Hamilton-Jacobi :

Application

Le but d'une telle transformation est de simplifier la résolution des équations du mouvement. Par exemple, en imposant $K=0$, on a simplement $\dot{\overrightarrow{Q}}=\overrightarrow{0}$ et $\dot{\overrightarrow{P}}=\overrightarrow{0}$, soit $\overrightarrow{Q}$ et $\overrightarrow{P}$ constants. Il reste alors à déterminer $(\overrightarrow{Q}(\overrightarrow{q},\overrightarrow{p}),\overrightarrow{P}(\overrightarrow{q},\overrightarrow{p}))$ pour obtenir la solution $(\overrightarrow{q}(t),\overrightarrow{p}(t))$, or la transformation est entièrement déterminée par la donnée de la fonction génératrice, qui est solution de l'équation aux dérivées partielles

$H(\overrightarrow{q},\frac{\partial S}{\partial \overrightarrow{q}},t)+\frac{\partial S}{\partial t}=0.$

Remarque

Dans ce cas, la condition d'invariance devient $\overrightarrow{p}\cdot \dot{\overrightarrow{q}}-H=\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t}\Rightarrow S=\int L\mathrm{d}t$. La fonction génératrice $S$ est alors simplement l'action du système.

Cette équation n'est pas a priori plus simple à résoudre que les équations de départ (en particulier s'il s'agit d'un Hamiltonien classique $H(\overrightarrow{q},\overrightarrow{p},t)=\frac{{\overrightarrow{p}}^2}{2m}+V(\overrightarrow{q},\overrightarrow{p},t)$, on a alors des termes non linéaires). Cependant, si l'Hamiltonien ne dépend pas explicitement du temps, il est conservé (d'après le théorème de Noether), on a donc directement :

d'où

et l'équation à résoudre est simplifiée :

Articles connexes

• Mécanique hamiltonienne
• Transformation canonique
• Commande optimale