Milieu d'un segment

Le milieu du segment formé par les points de coordonnées (Modèle:Mvar₁, Modèle:Mvar₁) et (Modèle:Mvar₂, Modèle:Mvar₂)

En géométrie affine, le milieu d'un segment est l'isobarycentre des deux extrémités du segment. Dans le cadre plus spécifique de la géométrie euclidienne, c'est aussi le point de ce segment situé à égale distance de ses extrémités.

Symétrie centrale

Modèle:Article détaillé Deux points distincts A et AModèle:' sont symétriques par rapport à un point O si et seulement si O est le milieu du segment [AAModèle:']. Dans la symétrie centrale de centre O, le symétrique de O est O lui-même.

Milieu, médiatrice, plan médiateur

Modèle:Voir aussi L'ensemble des points du plan équidistants de deux points A et B constitue la médiatrice du segment [AB]. Le milieu du segment [AB] peut donc être défini comme l'intersection de la droite (AB) avec la médiatrice du segment [AB]. Cette définition est intéressante, car elle permet de placer le milieu du segment [AB] par une construction à la règle et au compas. Modèle:Théorème

Remarques

• Les arcs de cercles doivent avoir des rayons supérieurs à la moitié de la longueur du segment, pour que leur intersection ne soit pas vide.
• Il est en théorie possible de se contenter de la première étape en traçant les cercles en entiers : on obtient alors deux points d'intersection qu'il suffit de relier pour tracer la médiatrice. Cette méthode n'est toutefois pas toujours applicable concrètement, si le segment se trouve trop près du bord de la feuille de tracé par exemple.

Dans l'espace à trois dimensions, le milieu d'un segment est l'intersection de ce segment avec son plan médiateur.

Caractérisation vectorielle

Modèle:Voir aussi Dans un espace affine, le milieu d'un segment [AB] est l'isobarycentre de la paire {A, B}, c'est-à-dire le seul point I tel que

$\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$.

Cette égalité est équivalente à chacune des propriétés suivantes :

• $\overrightarrow{IA}=-\overrightarrow{IB}$ ;
• $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AI}$ ;
• il existe un point Modèle:Mvar tel que $\overrightarrow{OI}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$ ;
• pour tout point Modèle:Mvar, on a : $\overrightarrow{OI}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$.

Coordonnées

Modèle:Voir aussi Si le plan (ou l'espace) euclidien est muni d'un repère cartésien, les coordonnées du milieu d'un segment sont les demi-sommes de chacune des coordonnées des extrémités du segment. Autrement dit, dans le plan, le milieu du segment d'extrémités A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B) est le point de coordonnées $(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2})$. On a une propriété analogue dans l'espace en ajoutant une troisième coordonnée.

Dans un triangle

Modèle:Article détaillé Les milieux des trois côtés d'un triangle jouent un rôle important à plusieurs niveaux. Parmi les droites remarquables du triangle, on distingue notamment les médiatrices des côtés et les médianes, qui sont les droites passant par un sommet et le milieu du côté opposé.

Le théorème des milieux dans un triangle s'énonce ainsi : Modèle:Théorème Une réciproque de la première assertion du théorème existe : Modèle:Théorème