Module de relaxation

En rhéologie, le module de relaxation permet de rendre compte de la relaxation de contrainte, la déformation étant maintenue constante.

Introduction

La contrainte $\sigma$ à un temps $t$ ne dépend pour un fluide newtonien que du taux de déformation à ce même temps :

$\sigma (t)=\eta \dot{\gamma }(t)$.

Par contre, pour un fluide viscoélastique, cette même contrainte va dépendre de l'histoire des taux de déformation via le module de relaxation $G(t)$ (ou $E(t)$) :

$\sigma (t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{t}{\int }}G(t-t^{\prime })\dot{\gamma }(t^{\prime })d{t}^{\prime }$.

Physiquement, on s'attend à ce que cette fonction tende vers 0 lorsque t tend vers l'infini ; c'est la perte de mémoire des états les plus anciens.

Dans le cadre du modèle de Maxwell, on montre que le module de relaxation $G(t)$ vaut :

$G(t)=G_0{e}^{-t/\tau }$

où $\tau =\frac{\eta }{E}$ est le temps de relaxation du modèle de Maxwell.

Annexe : grandeurs complexes

Module complexe

Expérimentalement, on applique en DMA des déformations sinusoïdales. On définit une déformation complexe :

$\gamma (t)={\gamma }_0{e}^{i\omega t}$

ce qui amène à une contrainte complexe :

$\sigma (t)=i\omega \gamma (t)\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}G(x)exp(-i\omega x)dx=G^{*}(t)\gamma (t)$

avec :

$x=t-t^{\prime }$ ;

$G^{*}$, le module de cisaillement complexe. Celui-ci se décompose comme la somme d'une partie réelle et d'une partie imaginaire :

$G^{*}(\omega )=G^{\prime }(\omega )+i{G}^{″}(\omega )$

où :

$G^{\prime }$ est le module de conservation ;

$G^{″}$ est le module de perte.

Le facteur de perte indique la capacité d'une matière viscoélastique à dissiper de l'énergie mécanique en chaleur. Il est donné par l'équation :

$\tan \delta =\frac{G^{″}}{G^{\prime }}$

où $\delta$ est l'angle de phase ou de perte.

Une valeur faible du facteur de perte traduit un comportement élastique marqué : le matériau étant soumis à une sollicitation, la dissipation d'énergie par frottement interne est faible.

Viscosité complexe

Il est par ailleurs possible de définir une viscosité complexe de la manière suivante :

$\sigma ={\eta }^{*}(\omega )\dot{\gamma }=({\eta }^{\prime }(\omega )-i{\eta }^{″}(\omega ))\dot{\gamma }$

avec :

${\eta }^{\prime }=\frac{G^{″}}{\omega }$, associée au module de perte,

${\eta }^{″}=\frac{G^{\prime }}{\omega }$, associée au module de conservation.

Voir aussi

Articles connexes

• Module d'élasticité
• Viscoanalyseur
• Vieillissement des matériaux
• Fluage
• Modèle de Palierne