Combinaison convexe

Modèle:Ébauche En géométrie affine, une combinaison convexe de certains points est un barycentre de ces points avec des coefficients tous positifs. L'ensemble des combinaisons convexes de ces points est donc leur enveloppe convexe.

Définition

Étant donnés trois points $x_1,x_2,x_3$ dans un plan, le point P est une combinaison convexe des trois points, tandis que Q ne l'est pas (Q est seulement une combinaison barycentrique des trois points).

Soit E un espace affine réel (c'est-à-dire que les scalaires sont les nombres réels). Si $n\in {\mathbb{N}}^{*}$ et $x_1,\dots ,x_n$ sont des points de E, une combinaison convexe des $x_i$ est un point $p$ de la forme

$p=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{x}_i,$

où ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ sont des réels positifs de somme 1.

Problème du point extrême

Le problème du point extrême consiste à déterminer si un point P₀ est ou non une combinaison convexe de points P_i, 1 ≤ i ≤ n. Dobkin et Reiss ont montré que ce problème avait une complexité linéaire, en O(n), dans $ℝ$ et ${ℝ}^2$. Megiddo a montré que la complexité était linéaire en dimension finie, dans ${ℝ}^d$ avec d fini.

La résolution se ramène à savoir s'il existe une droite (dans ${ℝ}^2$), un plan (dans ${ℝ}^3$) ou un hyperplan (dans ${ℝ}^d$, d > 3) passant par P₀, tel que tous les points P_i sont du même côté de la droite, du plan ou de l'hyperplan. Cela revient donc au problème de séparation : séparer un ensemble de points par un hyperplan.

Dans le plan, la recherche peut se faire de la manière suivante. On effectue une transformation affine de sorte que P₀ ait pour coordonnées (0 ; 0) et P₁(0 ; 1) ; de ce fait, la droite de séparation, si elle existe, ne peut pas être l'axe des y. Le point P_i a pour coordonnées (x_i, y_i).

La droite cherchée passe par P₀, l'origine, et a donc pour équation :

y = ax, ce qui s'écrit également si x est non nul y/x = a.

Cette droite délimite deux demi-plans d'équation (y < ax) et (y > ax).

Si P₀ n'est pas dans l'enveloppe convexe, alors tous les points sont dans le même demi plan, c'est-à-dire que tous les points doivent être au-dessus de la droite (puisqu'au moins un point, P₁, l'est). On doit donc avoir pour tout i

y_i > ax_i

soit

• si x_i > 0, alors y_i/x_i > a ;
• si x_i < 0, alors y_i/x_i < a.

On a donc la condition nécessaire et suffisante pour que a existe, c'est-à-dire pour que P₀ soit hors de l'enveloppe convexe :

$\{\begin{array}{cc}\max \{y_i/x_i\mid x_i<0\}& <\min \{y_i/x_i\mid x_i>0\}\\ y_i>0& \text{ si }{x}_i=0.\end{array}$

Article connexe

• Calcul de l'enveloppe convexe
• Combinaison barycentrique