Équation de Gross-Pitaevskii

L’équation de Gross–Pitaevskii est l'équation qui régit l'état et la dynamique d'un gaz de bosons ultra-froids (condensat de Bose-Einstein) sous l'approximation d'Hartree. Sa forme indépendante du temps s'écrit :

$(-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2+V_{ext}(𝐫)+Ng|\mathrm{\Phi }(𝐫){|}^2)\mathrm{\Phi }(𝐫)=\mu \mathrm{\Phi }(𝐫)$,

où $\mathrm{\Phi }$ est la fonction d'onde à une particule, $m$ la masse d'une particule, $\hslash$ la constante de Planck réduite, $\mu$ le potentiel chimique, et $g$ une constante dépendante de la longueur de diffusion du potentiel d'interaction. Elle porte le nom des physiciens Eugene Gross et Modèle:Lien.

Obtention de l'équation de Gross-Pitaevskii

On considère un gaz dilué de $N$ bosons ultra-froids dans un potentiel de confinement $V_{ext}$, interagissant entre eux via un potentiel ne dépendant que de la distance entre 2 bosons $V_{int}(|{𝐫}_i-{𝐫}_j|)$. Le hamiltonien de ce système est donc :

$H=\sum _{i=1}^N(\frac{{{𝐩}_i}^2}{2m}+V_{ext}({𝐫}_i))+\frac{1}{2}\sum _{i\ne j}^N{V}_{int}(|{𝐫}_i-{𝐫}_j|)$.

Dans l’approximation de Hartree, la fonction d’onde totale $\mathrm{\Phi }$ du système est considérée comme étant le produit des fonctions d’onde à une particule $\mathrm{\Phi }$ :

$\mathrm{\Psi }({𝐫}_1,{𝐫}_2,\dots ,{𝐫}_N)=\mathrm{\Phi }({𝐫}_1)\mathrm{\Phi }({𝐫}_2)\dots \mathrm{\Phi }({𝐫}_N)$.

Une telle forme pour la fonction d'onde totale $\mathrm{\Phi }$ signifie que les bosons sont tous dans le même état, ce qui est raisonnable à ultra-basse température. De plus, cette fonction d'onde reste inchangée par permutation de 2 particules, ce qui correspond bien à un système bosonique.

Puisque le gaz est dilué, la distance moyenne entre atomes est beaucoup plus grande que la distance caractéristique d’interaction. On considère alors que :

$V_{int}(|{𝐫}_i-{𝐫}_j|)\approx g\delta (|{𝐫}_i-{𝐫}_j|)$,

où $\delta$ est la fonction de Dirac. La Modèle:Lien nous donne la valeur de la constante de normalisation $g=\frac{4\pi {\hslash }^{2}a}{m}$ où $a$ est la longueur de diffusion à énergie nulle de la collision élastique en onde s entre deux bosons, $\hslash$ est la constante de Planck réduite et $m$ la masse d'un boson.

On peut montrer que si la fonction d’onde à une particule $\mathrm{\Phi }$ satisfait l'équation de Gross-Pitaevskii, alors la fonction d’onde totale $\mathrm{\Psi }$ minimise l’énergie du hamiltonien $H$ sous la contrainte de normalisation $\int |\mathrm{\Psi }{|}^{2}dV=1$.

Remarques sur l'équation de Gross-Pitaevskii

• Il est remarquable que cette équation corresponde à l'équation de Schrödinger du gaz parfait à laquelle on ajoute un terme non linéaire. L'équation de Gross-Pitaevskii est d'ailleurs souvent appelée équation de Schrödinger non linéaire par les mathématiciens.

• Le choix de la condition de normalisation est essentiel pour l'obtention de l'équation de Gross-Pitaevskii. Cependant, en changeant cette normalisation, on change l'équation. Elle devient par exemple $(-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2+V_{ext}(𝐫)+g|\mathrm{\Phi }(𝐫){|}^2)\mathrm{\Phi }(𝐫)=\mu \mathrm{\Phi }(𝐫)$ si on choisit $\int |\mathrm{\Phi }{|}^{2}dV=N$. Malgré les apparences, ceci n'est qu'un artifice mathématique, et ne change rien à la physique sous-jacente.