Algorithme de Neville

En analyse numérique, l'algorithme de Neville est un algorithme d'interpolation polynomiale dû à Modèle:Lien.

L'algorithme de Neville est une méthode récursive du calcul de la valeur du polynôme d'interpolation en un point donné, avec lequel il est aisé d'ajouter des points d'interpolation au fur et à mesure. Il est moins adapté pour fournir une expression du polynôme d'interpolation. Il est parfois confondu avec l'algorithme d'Aitken.

Description de l'algorithme

Soit un jeu de n+1 points donnés (x_i, y_i) où les x_i sont distincts deux à deux, et le polynôme d'interpolation p(x) de degré au plus n vérifiant :

$p(x_i)=y_i,i=0,\dots ,n.$

L'algorithme de Neville évalue ce polynôme pour le point d'abscisse x.

Soit p_i,j(x) le polynôme de degré j qui passe par les points (x_k, y_k) pour k = i, i + 1, …, i+j.

Les p_i,j(x) satisfont à la relation de récurrence

$p_{i,0}(x)=y_i,$	$0\le i\le n,$
$p_{i,j+1}(x)=\frac{(x_i-x)p_{i+1,j}(x)+(x-x_{i+j+1})p_{i,j}(x)}{x_i-x_{i+j+1}},$	$0\le j<n\text{ et }0\le i<n-j.$

Cette relation de récurrence permet de calculer p_0,n(x), qui est la valeur cherchée. Il nécessite O(nModèle:2) opérations en virgule flottante.

Par exemple, pour n = 4, on peut utiliser la relation de récurrence pour remplir le tableau triangulaire ci-dessous, de gauche à droite.

$p_{0,0}(x)=y_0$
	$p_{0,1}(x)$
$p_{1,0}(x)=y_1$		$p_{0,2}(x)$
	$p_{1,1}(x)$		$p_{0,3}(x)$
$p_{2,0}(x)=y_2$		$p_{1,2}(x)$		$p_{0,4}(x)$
	$p_{2,1}(x)$		$p_{1,3}(x)$
$p_{3,0}(x)=y_3$		$p_{2,2}(x)$
	$p_{3,1}(x)$
$p_{4,0}(x)=y_4$

On obtient ainsi p_0,4(x), la valeur à l'abscisse x du polynôme d'interpolation passant par les 5 points donnés.

Démonstration

Soit p_i,j(x) le polynôme de degré j qui passe par les points (x_k, y_k) pour k = i, i + 1, …, i+j, et soit f_i,j le coefficient du terme de degré j de ce polynôme, c'est-à-dire :

$p_{i,j}(x)=f_{i,j}{x}^j+...$

p_i,j(x) passe par les points numérotés i, i + 1, …, i+j

p_i+1,j(x) passe par les points numérotés i + 1, …, i+j,i+j+ 1

p_i,j+1(x) passe par les points numérotés i, i + 1, …, i+j,i+j+ 1

Les polynômes p_i,j+1(x) et p_i,j(x) ont les points i, i + 1, …, i+j en commun. Il suit que la soustraction p_i,j+1(x) - p_i,j(x) de ces deux polynômes s'annulera pour les j+1 abscisses de ces points. Autrement dit les abscisses $x_i$, ... , $x_{i+j}$ sont racines du polynôme p_i,j+1(x) - p_i,j(x). Comme p_i,j+1(x) - p_i,j(x) est un polynôme de degré j+1, il possède au plus j+1 racines. Donc finalement nous connaissons toutes ses racines, ce sont les abscisses: $x_i$, ... , $x_{i+j}$. Nous pouvons dès lors écrire ce polynôme sous forme factorisée :

$p_{i,j+1}(x)-p_{i,j}(x)=f_{i,j+1}(x-x_i)(x-x_{i+1})...(x-x_{i+j})$

En employant la même méthode, on trouve aussi :

$p_{i,j+1}(x)-p_{i+1,j}(x)=f_{i,j+1}(x-x_{i+1})(x-x_{i+2})...(x-x_{i+j+1})$

En divisant ces deux relations membre à membre, on obtient :

$\frac{p_{i,j+1}(x)-p_{i,j}(x)}{p_{i,j+1}(x)-p_{i+1,j}(x)}=\frac{x-x_i}{x-x_{i+j+1}}$

dont on peut isoler p_i,j+1 pour retrouver la relation de récurrence de Neville :

$p_{i,j+1}(x)=\frac{(x_i-x)p_{i+1,j}(x)+(x-x_{i+j+1})p_{i,j}(x)}{x_i-x_{i+j+1}}$

Par ailleurs, en employant la même méthode que précédemment, on peut obtenir :

$p_{i+1,j}(x)-p_{i,j}(x)=(f_{i+1,j}-f_{i,j})(x-x_{i+1})(x-x_{i+2})...(x-x_{i+j})$

et en utilisant l'égalité évidente :

$p_{i,j+1}(x)-p_{i,j}(x)=p_{i,j+1}(x)-p_{i+1,j}(x)+p_{i+1,j}(x)-p_{i,j}(x)$

on obtient :

$f_{i,j+1}(x-x_i)=f_{i,j+1}(x-x_{i+j+1})+(f_{i+1,j}-f_{i,j})$

qui fournit un algorithme récursif de calcul de ces coefficients :

$f_{i,0}=y_i,$	$0\le i\le n,$
$f_{i,j+1}=\frac{f_{i+1,j}-f_{i,j}}{x_{i+j+1}-x_i}$	$0\le j<n\text{ et }0\le i<n-j.$

Ces coefficients sont appelés différences divisées, notées :

$f_{i,j}=f[x_i,\dots ,x_{i+j}],$

et sont utilisés pour calculer le polynôme d'interpolation de Newton.

Exemple

L'algorithme de Neville est plus économique numériquement que l'interpolation newtonienne lorsque le nombre de points à évaluer est faible (typiquement, inférieur aux nombre de points d'interpolation). Au delà, il vaut mieux calculer une fois pour toutes les différences divisées, et utiliser la méthode de Newton.

L'algorithme de Neville est utilisé notamment dans la méthode de Romberg, une méthode d'intégration numérique.

Voir aussi

• Interpolation polynomiale
• Interpolation lagrangienne
• Interpolation newtonienne
• Extrapolation de Richardson

Bibliographie

• Modèle:Ouvrage

Liens externes

• Modèle:MathWorld
• Module for Neville Interpolation by John H. Mathews