Suite harmonique

Modèle:Homon Modèle:ÉbaucheEn mathématiques, une suite harmonique est une suite dont chaque terme est la moyenne harmonique des termes précédent et suivant. Une condition équivalente est que son inverse soit une suite arithmétique.

Définition par récurrence simple

Une suite harmonique est une suite réelle $(u_n{)}_{n⩾n_0}$ telle qu'il existe un nombre $r$ appelé raison pour lequel :

$\mathrm{\forall }n⩾n_0\frac{1}{u_{n+1}}=\frac{1}{u_n}+r$

soit :

$\mathrm{\forall }n⩾n_0{u}_{n+1}=\frac{u_n}{r{u}_n+1}$

Il s'agit donc d'une suite homographique.

Par exemple pour $u_0=12,r=1/12$, la suite prend les valeurs 12, 6, 4, 3, 12/5, 2, 12/7,... , suite visualisée ci-contre.

Définition explicite

En notant $a=\frac{1}{u_{n_0}}-n_{0}r$ :

$\mathrm{\forall }n⩾n_0{u}_n=\frac{1}{a+nr}$

Dans l'exemple précédent, $u_n=\frac{12}{n+1}$.

Autre exemple : la suite harmonique ${\left(\frac{T}{n}\right)}_{n\in {\mathbb{N}}^{*}}$ est la suite des périodes associées aux harmoniques de la fréquence $\frac{1}{T}$.

Définition par récurrence double

La relation de définition s'écrit :

$\mathrm{\forall }n⩾n_0\frac{2}{u_{n+1}}=\frac{1}{u_n}+\frac{1}{u_{n+2}}$

ce qui donne :

$\mathrm{\forall }n⩾n_0{u}_{n+2}=\frac{u_n{u}_{n+1}}{2u_n-u_{n+1}}$

Voir aussi

• Série harmonique