Exponentielle complexe

Modèle:Article court L'exponentielle complexe est une fonction qui prolonge la fonction exponentielle réelle de base e à la variable complexe et possède les mêmes propriétés essentielles que cette dernière.

Pour tout nombre complexe z, la série entière Modèle:Centrer est convergente. Sa somme est l'exponentielle de Modèle:Mvar, notée Modèle:Math ou Modèle:Math.

Propriétés

On peut proposer une définition de Pi s'appuyant sur l'exponentielle complexe.

Le module et l'argument de Modèle:Math (pour Modèle:Mvar et Modèle:Mvar réels) sont respectivement Modèle:Math et Modèle:Math.

Les développements limités (ou développements en série des fonctions) de l'exponentielle, du cosinus et du sinus permettent de trouver que :

$\mathrm{\forall }y\in ℝ,\exp (\mathrm{i}y)=\cos (y)+\mathrm{i}\sin (y)$

dont on peut déduire :

$\mathrm{\forall }z=x+\mathrm{i}y\in ℂ,\exp (z)=\exp (x+\mathrm{i}y)=\exp (x)\exp (\mathrm{i}y)=\exp (x)[\cos (y)+\mathrm{i}\sin (y)]$

Liens externes

• Modèle:MathWorld