Joint (mathématiques)

Le joint des deux segments bleu et vert est le polyèdre gris.

En mathématiques, le joint de deux espaces topologiques X et Y est une construction topologique ; c'est l'espace formé de tous les segments joignant les points de X aux points de Y.

Définition

Le joint de deux espaces topologiques X et Y, noté X ∗ Y, est le quotient du cylindre sur le produit cartésien de ces espaces, X×Y×I, avec les identifications $(x,y_1,0)\sim (x,y_2,0)$ et $(x_1,y,1)\sim (x_2,y,1)$.

Le sous-espace X ×Y×{0} a donc été écrasé sur X et le sous-espace X ×Y×{1} sur Y.

Si ces deux espaces sont pointés, leur joint réduit est le quotient du joint par le cylindre sur le couple des points de base.

Exemples

Le joint avec le point définit le cône sur cet espace.

Le joint d'un espace X avec deux points définit la suspension de X.