Identité de Binet-Cauchy

Modèle:Ébauche En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre, l’identité de Binet–Cauchy, due à Jacques Philippe Marie Binet et Augustin-Louis Cauchy, dit que :

$\left(\sum _{i=1}^n{a}_i{c}_i\right)\left(\sum _{j=1}^n{b}_j{d}_j\right)=\left(\sum _{i=1}^n{a}_i{d}_i\right)\left(\sum _{j=1}^n{b}_j{c}_j\right)+\sum _{1\le i<j\le n}(a_i{b}_j-a_j{b}_i)(c_i{d}_j-c_j{d}_i)$

pour des ensembles quelconques de nombres réels ou complexes (ou, plus généralement, d'éléments d'un anneau commutatif). Dans le cas particulier où a_i = c_i et b_j = d_j, elle se réduit à l'identité de Lagrange.

Relation avec l'algèbre extérieure

Utilisant le produit scalaire et le produit extérieur, l'identité peut s'écrire

$(a\cdot c)(b\cdot d)=(a\cdot d)(b\cdot c)+(a\wedge b)\cdot (c\wedge d)$

où a, b, c, et d sont des vecteurs à n coordonnées. On peut encore la voir comme une formule donnant le produit scalaire de deux produits extérieurs en fonction de produits scalaires :

$(a\wedge b)\cdot (c\wedge d)=(a\cdot c)(b\cdot d)-(a\cdot d)(b\cdot c).$

Dans le cas particulier de vecteurs égaux (a=c et b=d), la formule devient (identité de Lagrange)

$|a\wedge b{|}^2=|a{|}^2|b{|}^2-|a\cdot b{|}^2$.

Démonstration

Développant le dernier terme, et ajoutant et retranchant des sommes complémentaires bien choisies, on obtient :

$\sum _{1\le i<j\le n}(a_i{b}_j-a_j{b}_i)(c_i{d}_j-c_j{d}_i)$

$=\sum _{1\le i<j\le n}(a_i{c}_i{b}_j{d}_j+a_j{c}_j{b}_i{d}_i)+\sum _{i=1}^n{a}_i{c}_i{b}_i{d}_i-\sum _{1\le i<j\le n}(a_i{d}_i{b}_j{c}_j+a_j{d}_j{b}_i{c}_i)-\sum _{i=1}^n{a}_i{d}_i{b}_i{c}_i$,

ce qui permet de regrouper ainsi  :

$=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_i{c}_i{b}_j{d}_j-\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_i{d}_i{b}_j{c}_j.$

Factorisant les termes indexés par i, l'identité en résulte.

Généralisation

Une forme plus générale, connue comme la formule de Binet-Cauchy, dit que, si A est une matrice m×n et B est une matrice n×m, on a

$\det (AB)=\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{S\subset \{1,\dots ,n\}}{|S|=m}}\det (A_S)\det (B_S),$

où, S étant un sous-ensemble de {1, ..., n} ayant m éléments, A_S est la matrice m×m dont les colonnes sont celles de A ayant leurs indices dans S, et de même B_S est la matrice m×m formée des lignes de B d'indices dans S ; dans cette formule, la somme est prise sur tous les sous-ensembles possibles.

L'identité de Binet-Cauchy s'en déduit comme cas particulier, en posant

$A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_1& \dots & a_n\\ b_1& \dots & b_n\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}{c}_1& d_1\\ ⋮& ⋮\\ c_n& d_n\end{array}\right).$