Logarithme binaire

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Tracé de lb n, la fonction logarithme de base 2.

En mathématiques, le logarithme binaire (log₂ n) est le logarithme de base 2. C’est la fonction réciproque de la fonction puissance de deux : Modèle:Math. Le logarithme binaire de Modèle:Mvar est la puissance à laquelle le nombre 2 doit être élevé pour obtenir la valeur Modèle:Mvar, soit : $\mathrm{lb}(x)=a\iff x=2^a$.

Ainsi, le logarithme binaire de 1 est 0, le logarithme binaire de 2 est 1, le logarithme binaire de 4 est 2, le logarithme binaire de 8 est 3.

On le Modèle:Quand Modèle:Math (pour Modèle:Lang), mais la norme ISO 80000-2 indique que Modèle:Math devrait être symbolisé par Modèle:Math. En fait, en analyse de la complexité des algorithmes, dans un contexte dans lequel il n'y a pas de confusion possible, il est parfois simplement noté Modèle:Math.

Musique

En musique, le logarithme binaire intervient dans la formule permettant de déterminer la valeur en cents d’un intervalle. Cette valeur est égale en cents à 1200 fois le logarithme binaire du rapport de fréquence de l'intervalle. Le rapport de fréquence d'un intervalle est le quotient de la fréquence la plus haute sur la fréquence la plus basse de cet intervalle. Un cent vaut exactement un centième de demi-ton.

Informatique

En informatique, l'orientation binaire du matériel fait souvent du logarithme binaire le plus facile à calculer et le plus précis, les autres en étant dérivés.

En effet, soit Modèle:Math la représentation virgule flottante binaire d'un nombre réel non nul Modèle:Mvar, où Modèle:Mvar est un entier porteur de l'ordre de grandeur, et Modèle:Mvar un significande tel que 1 ≤ |m| < 2. Alors, si m > 0 :

$x=m\times 2^e\text{entraine}\mathrm{lb}(x)=e+\mathrm{lb}(m).$

et le calcul de Modèle:Math se ramène ainsi au domaine [1 ; 2[

Par exemple, 10 = 2Modèle:Exp × 1,25, lb(10)= 3 + lb(1,25).

où lb(1,25) est la partie fractionnaire du logarithme cherché.

Chaque bit de lb(1,25) peut se calculer directement bit à bit à l'aide des relations :

$\mathrm{lb}(1)=0;\mathrm{lb}(x)=\mathrm{lb}(x^2)/2;\mathrm{lb}(x)=\mathrm{lb}(x/2)+1.$

Quand on cherche un nouveau bit de Modèle:Mvar (0 < Modèle:Mvar < 2) :

• on élève Modèle:Mvar au carré
  • si Modèle:Mvar vaut au moins 2, on note 1, on divise Modèle:Mvar par 2 et on poursuit ;
  • sinon, on note 0 et on poursuit.

Ainsi

$\begin{array}{cc}\mathrm{lb}(10)& =11_2+\mathrm{lb}(1,25)=11_2+\mathrm{lb}(1,5625)/2\\ & =11,0_2+\mathrm{lb}(2,44140625)/4=11,01_2+\mathrm{lb}(1,220703125)/4\\ & =11,01_2+\mathrm{lb}(1,490116119)/8=11,010_2+\mathrm{lb}(2,220446049)/16\\ & =11,0101_2+\mathrm{lb}(1,110223025)/16=11,01010_2+\mathrm{lb}(1,232611)/32=11,010100_2+\mathrm{lb}(1,519330)/64=11,010100_2+\mathrm{lb}(2,308)/128.....\end{array}$

Or 11,0101001₂ = 3,3203125, et on a déjà 2^3,3203125 = 9,9888...

Remarque

La valeur Modèle:Math entraîne que le codage binaire d'un entier décimal occupera au moins 3,32 bits par chiffre décimal, soit 4 bits pour un chiffre, 7 bits pour 2 chiffres et 10 bits pour 3 chiffres (ou tranche de 3 chiffres).

Voir aussi

• Cologarithme
• Logarithme, symbole normalisé Modèle:Math
• Logarithme naturel (base e), symbole normalisé Modèle:Math
• Logarithme décimal (base 10), symbole normalisé Modèle:Math
• Virgule flottante