Loi demi-logistique

En théorie des probabilités et en statistique, la loi demi-logistique est une loi de probabilité continue de la valeur absolue d'une variable aléatoire de loi logistique. Si Y est une variable aléatoire de loi logistique, alors

$X=|Y|$

est de loi demi-logistique. Cette loi dépend alors des deux mêmes paramètres que la loi logistique : $\mu \in ℝ$ et $\sigma >0$, représentée par la notation : $X\sim \frac{1}{2}\log (\mu ,\sigma )$.

Caractéristique

Densité de probabiltié

La densité de probabilité de la loi demi-logistique est donnée par :

$f_X(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{2\exp (\frac{x-\mu }{\sigma })}{\sigma {(1+\exp (\frac{x-\mu }{\sigma }))}^2}& \text{ si }x>\mu \\ 0& \text{ sinon.}\end{array}$

Dans le cas centré réduit, c'est-à-dire $\mu =0$ et $\sigma =1$, la densité de probabilité s'écrit :

$f_X(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{2{\mathrm{e}}^x}{(1+{\mathrm{e}}^x{)}^2}& \text{ si }x>0\\ 0& \text{ sinon.}\end{array}$

Fonction de répartition

La fonction de répartition de la loi demi-logistique est:

$F_X(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{\exp (\frac{x-\mu }{\sigma })-1}{\exp (\frac{x-\mu }{\sigma })+1}& \text{ si }x>\mu \\ 0& \text{ sinon.}\end{array}$

et pour le cas centré réduit :

$F_X(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{{\mathrm{e}}^x-1}{{\mathrm{e}}^x+1}& \text{ si }x>0\\ 0& \text{ sinon.}\end{array}$

En particulier, $F_X(x)=2f_X(x)-1$.

Liens avec d'autres lois

• $\ln \left(\frac{{\mathrm{e}}^X+1}{{\mathrm{e}}^X-1}\right)\sim \frac{1}{2}\log (0,1)$ si et seulement si $X\sim ℰ(1)$ (loi exponentielle).
• $\ln (X-1)\sim \frac{1}{2}\log (0,1)$ si et seulement si $X\sim \mathrm{Pareto}(1,2)$ (Distribution de Pareto).
• Si $X\sim U(0,1)$ (loi uniforme continue), alors $\ln \left(\frac{2-X}{X}\right)\sim \frac{1}{2}\log (0,1)$.

Références

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