Loi hypo-exponentielle

En théorie des probabilités et en statistique, la loi hypo-exponentielle ou loi d'Erlang généralisée est une loi de probabilité continue, à support semi-infini qui trouve des applications dans les mêmes domaines que la loi d'Erlang : théorie des files d'attente, ingénierie de trafic, etc. Le terme hypo vient du fait que le coefficient de variation de la loi est inférieur à un, comparativement à la loi hyper-exponentielle dont le coefficient de variation est supérieur à un et à la loi exponentielle dont le coefficient vaut un.

Une variable aléatoire qui suit une loi hypo-exponentielle sera notée : $Y\sim \mathrm{H}\mathrm{y}\mathrm{p}\mathrm{o}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$.

Définition

La loi hypo-exponentielle définie comme la loi de la somme de n variables aléatoires $X_i,i=1,\dots ,n$ de loi exponentielle indépendantes de paramètres respectifs : ${\lambda }_i,i=1,\dots ,n$ :

$Y=\sum _{i=1}^n{X}_i$ avec $X_i\sim ℰ({\lambda }_i)$.

Le coefficient de variation minimum de la loi hypo-exponentielle est $1/n$.

Densité de probabilité

Dans le cas où les paramètres ${\lambda }_i$ sont tous distincts, la densité de probabilité de la loi hypo-exponentielle se calcule par récurrence pour obtenir la formule :

$f_X(x)=\{\begin{array}{cc}\sum _{i=1}^n\prod _{j\ne i}\frac{{\lambda }_j}{{\lambda }_j-{\lambda }_i}{\lambda }_i{\mathrm{e}}^{-{\lambda }_{i}x}& \text{ si }x>0\\ 0& \text{ sinon }\end{array}$

Fonction de répartition

La fonction de répartition de la loi hypo-exponentielle est donnée par :

$F_X(x)=\{\begin{array}{cc}1-\sum _{i=1}^n\prod _{j\ne i}\frac{{\lambda }_j}{{\lambda }_j-{\lambda }_i}{\mathrm{e}}^{-{\lambda }_{i}x}& \text{ si }x>0\\ 0& \text{ sinon }\end{array}$

avec le même critère pour le paramètres ${\lambda }_i:{\lambda }_i\ne {\lambda }_j,\text{ si }i\ne j$.