Lemme de Fitting

En mathématiques, le lemme de Fitting est un énoncé d'algèbre d'après lequel si M est un module indécomposable et de longueur finie alors tout endomorphisme de M est soit bijectif, soit nilpotent. Il en résulte que l'anneau des endomorphismes de M est local.

Énoncé

Si Modèle:Math est un module de longueur finie Modèle:Math et Modèle:Math un endomorphisme de Modèle:Math alors

$M=\ker (f^n)\oplus \mathrm{i}\mathrm{m}(f^n).$

Démonstration

Par hypothèse sur la longueur de Modèle:Math, on a

$\ker (f^{n+1})=\ker (f^n)\text{et}\mathrm{i}\mathrm{m}(f^{n+1})=\mathrm{i}\mathrm{m}(f^n).$

De ces égalités on déduit respectivement

$\ker (f^n)\cap \mathrm{i}\mathrm{m}(f^n)=0\text{et}\ker (f^n)+\mathrm{i}\mathrm{m}(f^n)=M.$

Conséquences

• Sous les hypothèses du lemme, Modèle:Math se restreint en un endomorphisme nilpotent de Modèle:Math et un automorphisme de Modèle:Math.
• Si Modèle:Math est de plus indécomposable alors Modèle:Math est soit nilpotent, soit inversible, et l'anneau Modèle:Math est local.
• Ce lemme permet de démontrer le théorème de Krull-Schmidt sur l'unicité de la décomposition d'un module de longueur finie en somme directe d'indécomposables.

Notes et références

• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Planetmath