Loi normale rectifiée

En théorie des probabilités et en statistique, la loi normale rectifiée est une modification de la loi normale lorsque ses valeurs négatives sont « remises à » 0. C'est une loi mixte issue d'un mélange entre une loi de probabilité discrète (mesure de Dirac en 0) et une loi de probabilité à densité (loi normale tronquée sur $]0,\mathrm{\infty }[$).

Une variable aléatoire qui suit une loi normale rectifiée est notée : $X\sim {𝒩}^{\text{R}}(\mu ,{\sigma }^2)$.

Densité de probabilité

La densité de probabilité d'une loi normale rectifiée est donnée par

$f(x;\mu ,{\sigma }^2)=\mathrm{\Phi }(-\frac{\mu }{\sigma })\delta (x)+\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{\mathrm{e}}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}\text{U}(x).$

Comparaison d'une loi normale, d'une loi normale rectifiée et d'une loi normale tronquée.

Ici, $\mathrm{\Phi }$ est la fonction de répartition de la loi normale :

$\mathrm{\Phi }(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}{\mathrm{e}}^{-t^2/2}\mathrm{d}tx\in ℝ,$

$\delta$ est la distribution de Dirac :

$\delta (x)=\{\begin{array}{cc}\mathrm{\infty },& x=0\\ 0,& x\ne 0\end{array}$

et, $\text{U}$ est la fonction de Heaviside:

$\text{U}(x)=\{\begin{array}{cc}0,& x\le 0,\\ 1,& x>0.\end{array}$

Forme alternative

Une alternative simple est de considérer le cas où

$S\sim 𝒩(\mu ,{\sigma }^2),X=\max (0,S),$

alors,

$X\sim {𝒩}^{\text{R}}(\mu ,{\sigma }^2)$

Références

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