Hypographe

Hypographe de $f$

Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $𝔼$ à valeurs dans la droite réelle achevée $\overline{ℝ}:=ℝ\cup \{-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }\}$. L'hypographe de $f$ est l'ensemble noté $\mathrm{hyp}f$ et défini par

$\mathrm{hyp}f:=\{(x,\alpha )\in 𝔼\times ℝ:f(x)⩾\alpha \}.$

L'hypographe strict de $f$ est l'ensemble noté ${\mathrm{hyp}}_{s}f$ et défini par

${\mathrm{hyp}}_{s}f:=\{(x,\alpha )\in 𝔼\times ℝ:f(x)>\alpha \}.$

Exemples d'utilisation

L'hypographe permet de transférer aux fonctions des notions définies pour les ensembles. Par exemple, si $𝔼$ est un espace vectoriel, l'application $f:𝔼\to \overline{ℝ}$ est concave si son hypographe est convexe.

Article connexe

• Épigraphe (mathématiques)