Quasi-norme

En mathématiques, une quasi-norme est une application d'un espace vectoriel dans l'ensemble des réels positifs ou nuls. Elle dispose presque des propriétés lui conférant le statut de norme. Une propriété est manquante : l'inégalité triangulaire, qui est remplacée parModèle:, : il existe une constante Modèle:Math (nécessairement supérieure ou égale à 1 si l'espace n'est pas nul — il suffit de prendre y = 0 et x non nul —, et pouvant être choisie ainsi dans ce dernier cas) telle que pour tous vecteurs Modèle:Mvar et Modèle:Mvar,

$\Vert x+y\Vert ⩽K(\Vert x\Vert +\Vert y\Vert )$.

Exemple

Les [[Espace Lp|espaces Modèle:Math]] sont munis d'une quasi-norme ║ ║Modèle:Ind, définie pour Modèle:Math par

${\Vert f\Vert }_p={(\int |f{|}^p\mathrm{d}\mu )}^{1/p}$.

Si Modèle:Math, ║ ║Modèle:Ind est une norme (Modèle:Math) mais si Modèle:Math, c'est seulement une quasi-norme (Modèle:Math).

Article connexe

Semi-norme