Processus ergodique

Modèle:Voir homonymes Un Modèle:Terme défini est un processus stochastique pour lequel les statistiques peuvent être approchées par l'étude d'une seule réalisation suffisamment longue.

Ergodicité au premier ordre

Le théorème ergodique affirme que, sous condition, $\frac{1}{\left|D\right|}\underset{D}{\int }z\left(x\right)\mathrm{d}x$ converge vers une limite Modèle:Formule pour presque toutes les réalisations Modèle:Formule, mais ne garantit pas l'égalité des Modèle:Formule à l'espérance Modèle:Formule.

Lien avec la stationnarité

Un signal peut être:

• stationnaire mais non ergodique : par exemple le signal Modèle:Formule constant pour chaque réalisation.
• ergodique mais non stationnaire : par exemple le signal $Z(x;\omega )=\cos (x)$.

Ergodicité d'un processus temporel ou spatial

L'ergodicité assure que les moyennes temporelles sont identiques aux moyennes statistiques, ce qui permet de connaître entièrement la statistique à partir d'une seule réalisation. Pratiquement cette dernière se réduit en général à un enregistrement de durée limitée et l'on ne peut connaître qu'une estimation des moyennes. En pratique, cette propriété est souvent opératoire en ce sens qu'une étude de la chronique sur une période longue peut permettre de déceler une déviation de la stationnarité et de l'ergodicité.

À l'inverse, un phénomène spatial est en pratique un phénomène unique d'extension bornée. Dans ce cas, l'hypothèse d'ergodicité peut difficilement être testée.

Micro-ergodicité

Soit un processus spatial de fonction aléatoire Modèle:Formule sur un domaine Modèle:Formule borné. On appellera Modèle:Terme défini tout paramètre déterminé, avec une approximation donnée, si l'on connaît une réalisation Modèle:Formule de Modèle:Formule sur Modèle:Formule. Dans le cas général, la moyenne et la variance ne sont pas micro-ergodiques, par contre le comportement du variogramme à l'origine l'est sous condition que le variogramme se comporte comme Modèle:Formule avec Modèle:Formule. Modèle:Portail