Demi-groupe de Munn

En mathématiques, et notamment en algèbre, le demi-groupe de Munn est le demi-groupe inversif des isomorphismes entre les idéaux principaux d'un demi-treillis. Ce demi-groupe est nommé d'après l'algébriste britannique Walter D. Munn.

Construction

Soit $E$ un demi-treillis. Pour $e\in E$, on note

$Ee=\{i\in E\mid i\le e\}$.

C'est un idéal principal de $E$. Pour $e,f\in E$, on note $T_{e,f}$ l'ensemble des isomorphismes de $Ee$ sur $Ef$.

Le demi-groupe de Munn du demi-treillis E est par définition l'ensemble $T_E=\{T_{e,f}:(e,f)|inE\}$, muni de l'opération de composition des applications.

On observe que $T_E$ est un sous-demi-groupe du demi-groupe inversif symétrique $I_E$ de toutes les bijections partielles de $E$. Les idempotents du demi-groupe de Munn sont les applications identités partielles à domaine $Ee$.

Théorème

Pour tout demi-treillis $E$, le demi-treillis des idempotents du demi-groupe de Munn $T_E$ est isomorphe à $E$.

Exemple

Soit $E=\{0,1,2,...\}$ l'ensemble des entiers naturel. Alors $E$ est un demi-treillis pour l'ordre usuel ($0<1<2<\cdots$). Les idéaux principaux de $E$ sont les parties finies $En=\{0,1,2,\dots ,n\}$ pour tout $n$. Par conséquent, deux idéaux principaux $Em$ et $En$ sont isomorphes si et seulement si $m=n$. L'ensemble $T_{n,n}$ des isomorphismes est réduit à l'application identité $1_{En}$ de En sur lui-même, et $T_{m,n}=\mathrm{\varnothing }$ si $m\ne n$. On a donc $T_E=\{1_{E0},1_{E1},1_{E2},\dots \}$ et comme tous ces éléments sont idempotents, $T_E$ est isomorphe à $E$.

Notes et références

• Modèle:Ouvrage.