Méthodes d'Adams-Bashforth

Les méthodes d'Adams-Bashforth sont des méthodes de résolution numérique des équations différentielles, basées sur un schéma à pas multiple. Contrairement aux méthodes de Runge-Kutta qui n'utilisent qu'un pas mais nécessitent plusieurs calculs, les méthodes d'Adams-Bashforth permettent d'alléger les calculs tout en gardant un ordre similaire.

Description

Soit l'équation différentielle à résoudre : Modèle:Retrait

On considère une suite de temps Modèle:Math pour lesquelles on calcule les valeurs Modèle:Math. Pour cela, les méthodes usuelles utilisent un schéma utilisant une relation entre Modèle:Math et Modèle:Math pour le calcul de Modèle:Math. Les méthodes d'Adams-Bashforth vont quant à elles utiliser plusieurs valeurs Modèle:Math.

Soit Modèle:Math une solution exacte de l'équation. On a alors : Modèle:Retrait

On suppose que les points Modèle:Math et les pentes Modèle:Nobr soient connues pour Modèle:Math.

On calcule alors le polynôme d'interpolation de Lagrange de ces points : Modèle:Retrait avec les polynômes de Lagrange suivants Modèle:Retrait

On fait alors l'approximation : Modèle:Retrait

La méthode d'Adams-Bashforth à Modèle:Math pas s'écrit donc : Modèle:Retrait avec Modèle:Retrait

On remarque alors qu'à chaque étape, alors que les méthodes de Runge-Kutta demandaient plusieurs évaluations de Modèle:Mvar à chaque étape, les méthodes d'Adams-Bashforth n'en nécessitent qu'une seule.

Exemples

Le tableau suivant donne les valeurs des coefficients $b_{n,i,r}=\mathrm{\Delta }t{b}_{i,r}$ dans le cas où le pas est constant :

	$r$	$b_{0,r}$	$b_{1,r}$	$b_{2,r}$	$b_{3,r}$
	0	1
	1	$\frac{3}{2}$	$-\frac{1}{2}$
	2	$\frac{23}{12}$	$-\frac{16}{12}$	$\frac{5}{12}$
	3	$\frac{55}{24}$	$-\frac{59}{24}$	$\frac{37}{24}$	$-\frac{9}{24}$

On reconnaît pour r=0 la méthode d'Euler.

Erreur de la méthode

On peut vérifier que l'erreur de consistance d'une méthode d'Adams-Bashforth à r+1 pas satisfait : Modèle:Retrait Il s'agit donc d'une méthode d'ordre r+1, pour peu que les r premières valeurs soient calculées par une méthode de Runge-Kutta d'ordre suffisant.

La stabilité de la méthode est cependant assez médiocre : Modèle:Théorème

Cependant, les valeurs de β_r augmentent avec r. Dans la pratique, on se limitera au cas r=1 ou 2, ou il faudra alors envisager une méthode à pas variable.

Voir aussi

• Résolution numérique des équations différentielles
• Extrapolation (mathématiques)