Foncteur essentiellement surjectif
En théorie des catégories, un foncteur est dit essentiellement surjectif si chaque objet de la catégorie d'arrivée est isomorphe à un objet image du foncteur.
Définition formelle
Soient C et D deux catégories. Un foncteur F : C → D est dit essentiellement surjectif si pour tout objet Y de D, il existe un objet X de C tel que , c'est-à-dire qu'il existe dans un isomorphisme.
Propriétés
L'une des seules utilités pour un foncteur d'être essentiellement surjectif, est que s'il est aussi pleinement fidèle, il définit alors une équivalence de catégories.
Exemples
- Le foncteur d'abélianisation Ab : Grp → Ab, de la catégorie des groupes vers celle des groupes abéliens, est essentiellement surjectif, car tout groupe abélien est isomorphe à l'abélianisé de son groupe sous-jacent.
- Lorsque la classe fonctionnelle d'objets associée est surjective, le foncteur est trivialement essentiellement surjectif.
- Lorsque tous les objets de la catégorie d'arrivée sont isomorphes entre eux, le foncteur est aussi trivialement essentiellement surjectif.