Équation de bilan de la quantité de mouvement

En mécanique des fluides, l'équation de bilan de la quantité de mouvement découle du principe fondamental de la dynamique appliqué à un fluide. Avec l'équation de conservation de la masse et l'équation de la chaleur elle fait partie des équations de Navier-Stokes.

Formulation générale

De façon générale, le bilan de la quantité de mouvement s'exprime sous la forme :

$\frac{\partial \left(\rho \overrightarrow{v}\right)}{\partial t}+\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot (\rho \overrightarrow{v}\otimes \overrightarrow{v})=-\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}p+\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overline{\stackrel{‾}{\tau }}+\rho \overrightarrow{f}$

Dans ces équations :

• $t$ représente le temps (unité SI : Modèle:Unité) ;
• $\rho$ désigne la masse volumique du fluide (unité SI : Modèle:Unité) ;
• $\overrightarrow{v}=(v_1,v_2,v_3)$ désigne la vitesse eulérienne d'une particule fluide (unité SI : Modèle:Unité) ;
• $p$ désigne la pression (unité SI : Modèle:Unité) ;
• $\overline{\stackrel{‾}{\tau }}={\left({\tau }_{i,j}\right)}_{i,j}$ est le tenseur des contraintes visqueuses (unité SI : Modèle:Unité) ;
• $\overrightarrow{f}$ désigne la résultante des forces massiques s'exerçant dans le fluide (unité SI : Modèle:Unité) ;

L'opérateur $\otimes$ désigne le produit dyadique

$\overrightarrow{u}\otimes \overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}\times {\overrightarrow{v}}^{\mathrm{T}}$

avec $\times$ le produit matriciel classique.

Suivant le problème que l'on aura à traiter, des modèles simplifiés peuvent être envisagés.

Cas particuliers

Fluide parfait (équation d'Euler)

Dans le cas d'un fluide parfait (c'est-à-dire en considérant que les effets de viscosité sont négligeables), l'équation d'Euler est retrouvée.

Fluide réel incompressible newtonien

Dans ce cas la loi de comportement s'écrit : ${\tau }_{ij}=2\mu D_{ij}$ où $\mu$ est la viscosité dynamique et $D_{ij}=\frac{1}{2}(v_{i,j}+v_{j,i})$ est le tenseur des vitesses de déformation. De plus la masse volumique $\rho$ est considérée comme constante.

La conservation de la quantité de mouvement s'écrit alors :

$\frac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t}+\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot (\overrightarrow{v}\otimes \overrightarrow{v})=-\frac{1}{\rho }\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}p+\nu {\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^{2}v+\overrightarrow{f}$

où $\nu =\frac{\mu }{\rho }$ est la viscosité cinématique.

Cette équation peut s'exprimer sous la forme vectorielle :

$\frac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t}+\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left(\frac{v^2}{2}\right)+\overrightarrow{\text{rot}}\overrightarrow{v}\wedge \overrightarrow{v}=\overrightarrow{f}-\frac{1}{\rho }\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}p-\nu \overrightarrow{\text{rot}}(\overrightarrow{\text{rot}}\overrightarrow{v})$

Annexes

Bibliographie

• P. Chassaing, Mécanique des fluides, éléments d'un premier parcours Modèle:3eédition, Toulouse, éditions Cépaduès, 2010

Articles connexes

• Équations de Navier-Stokes
• Équations d'Euler