Suite de Riesz

Modèle:Voir homonymes En mathématiques, une suite de vecteurs (x_n) dans un espace de Hilbert $(H,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$ est appelée suite de Riesz s'il existe des constantes $0<c\le C<+\mathrm{\infty }$ telles que

$c(\sum _n|a_n{|}^2)\le {\Vert \sum _n{a}_n{x}_n\Vert }^2\le C(\sum _n|a_n{|}^2)$

pour toute suite de scalaires (a_n) dans l'espace ℓ².

Une suite de Riesz est appelée base de Riesz si

$\overline{\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(x_n)}=H$ .

Théorèmes

Si H est un espace de dimension finie, alors toute base de H est une base de Riesz.

Soit φ dans l'espace L²(R), soit

${\varphi }_n(x)=\varphi (x-n)$

et soit $\hat{\phi }$ la transformée de Fourier de φ. On définit des constantes c et C telles que $0<c\le C<+\mathrm{\infty }$. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes:

$1.\mathrm{\forall }(a_n)\in {\ell }^2,c(\sum _n|a_n{|}^2)\le {\Vert \sum _n{a}_n{\phi }_n\Vert }^2\le C(\sum _n|a_n{|}^2)$

$2.c\le \sum _n{|\hat{\phi }(\omega +2\pi n)|}^2\le C$

La première des conditions ci-dessus est la définition pour que (φ_n) forme une base de Riesz pour le sous-espace qu'elle engendre.

Voir aussi

• Base de Hilbert
• Espace de Hilbert

Références

• Modèle:Article

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