Isomorphisme de catégories

Modèle:Ébauche En théorie des catégories, deux catégories $𝒞$ et $𝒟$ sont isomorphes s'il existe deux foncteurs F : $𝒞$ → $𝒟$ et G : $𝒟$ → $𝒞$ tels que l'un est inverse de l'autre, c'est-à-dire tels que FG = 1_D (le foncteur identité de $𝒟$) et GF = 1_C.

Cette notion, assez restrictive, peut être élargie en la notion d'équivalence de catégories.

Exemple

Soit $𝒞$ la catégorie des espaces topologiques munis d'une topologie d'Alexandroff, et $𝒟$ la catégorie des ensembles munis d'un préordre. Alors les deux catégories sont isomorphes au moyen des deux foncteurs suivants :

• F associe à un espace topologique le même espace, muni de la relation de préordre suivante : $x\le y$ si et seulement si x est adhérent à {y}. F transforme une application continue f de X dans Y en la même application, mais vue comme application croissante de F(X) dans F(Y).
• G associe à un espace préordonné le même espace muni de la topologie engendrée par les ouverts $\{y|x\le y\}$. G transforme une application croissante f de A dans B en la même application, mais vue comme application continue de G(A) dans G(B).