Théorème de plongement de Mitchell

Le théorème de plongement de Mitchell, aussi connu sous le nom du théorème de Freyd-Mitchell, est un énoncé important portant sur les catégories abéliennes ; il énonce que ces catégories, bien que définies abstraitement, sont en fait des catégories concrètes de modules. Ceci permet alors de partir à la chasse au diagramme dans de telles catégories. Ce théorème est attribué aux mathématiciens Barry Mitchell et Peter Freyd.

Principe

Précisément, le théorème s'énonce ainsi : pour A une petite catégorie abélienne, il existe un anneau R, unitaire et non commutatif en général, ainsi qu'un foncteur F: A → R-Mod, plein, fidèle et exact, de la catégorie A dans la catégorie des R-modules à gauche.

Ce foncteur F établit une équivalence entre A et une sous catégorie pleine de R-Mod compatible avec les notions de noyaux et conoyaux et donc compatible avec la notion de suite exacte. Cependant, ce foncteur ne conserve pas les propriétés d'un objet de A d'être projectif ou injectif (un module sur un anneau est toujours injectif et projectif sur la catégorie constituée par lui-même et 0 et comme seuls morphismes 0, et les multiples de l'identité).

Aperçu de la preuve

Soit $ℒ\subset \mathrm{Fun}(𝒜,Ab)$ la catégorie des foncteurs exacts à gauche de la catégorie abélienne $𝒜$ vers la catégorie des groupes abéliens $Ab$. On construit un plongement contravariant $H:𝒜\to ℒ$ tel que $H(A)=h^A$ pour tout $A\in 𝒜$, où $h^A$ est le foncteur Hom covariant tel que $h^A(X)={\mathrm{Hom}}_{𝒜}(A,X)$. Le lemme de Yoneda nous donne la nature pleine et fidèle de $H$. On a directement l'exactitude à gauche de $H$ car $h^A$ est déjà exact à gauche. La preuve de l'exactitude à droite de $H$ est plus dure, on peut la retrouver dans les Lecture Notes in Mathematics 76 de R. G. Swan.

On prouve ensuite que $ℒ$ est une catégorie abélienne en utilisant la théorie de la localisation (de Swan). C'est la partie difficile de la preuve.

Il est facile de vérifier que la catégorie abélienne $ℒ$ est une catégorie AB5 avec un générateur $\underset{A\in 𝒜}{⨁}{h}^A$. C'est en fait une catégorie de Grothendieck qui admet donc un cogénérateur $I$.

L'anneau des endomorphismes $R:={\mathrm{Hom}}_{ℒ}(I,I)$ est celui dont on a besoin pour la catégorie des R-modules.

Avec $G(B)={\mathrm{Hom}}_{ℒ}(B,I)$, on a un autre plongement contravariant, exact et pleinement fidèle, en posant $G:ℒ\to R\mathrm{-Mod}.$ Le produit $GH:𝒜\to R\mathrm{-Mod}$ est le plongement covariant exact que l'on recherche, il est pleinement fidèle.

A noter que la preuve du théorème de Gabriel–Quillen , pour les catégories exactes, est presque identique.

Références

• Modèle:Ouvrage
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