Indice de Voorhoeve

En mathématiques, et plus particulièrement en analyse, lModèle:'indice de Voorhoeve est un nombre réel positif associé à certaines fonctions à valeurs complexes, introduit par Modèle:Lien en 1976. Il permet d'étendre le théorème de Rolle à ces fonctions, en jouant un rôle analogue à celui qui, dans le cas réel, est joué par le nombre de zéros de la fonction sur un intervalle.

Définition

Soit f une fonction holomorphe sur un voisinage ouvert de l'intervalle réel $I=[a,b]$. L'indice de Voorhoeve de f, $V_I(f)$, est un réel positif défini par

$V_I(f)=\frac{1}{2\pi }\underset{a}{\overset{b}{\int }}|\frac{d}{dt}\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{g}f(t)|dt=\frac{1}{2\pi }\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|\mathrm{I}\mathrm{m}\left(\frac{f^{\prime }}{f}\right)\right|dt.$

(certains auteurs utilisent un facteur de normalisation autre que 1/2π).

Une généralisation du théorème de Rolle

Une conséquence du théorème de Rolle est que si f (à valeurs réelles) est continûment différentiable sur I, et que $N_I(f)$ est son nombre de zéros sur cet intervalle, alors $N_I(f)\le N_I(f^{\prime })+1$.

L'indice de Voorhoeve vérifie la relation analogue $V_I(f)\le V_I(f^{\prime })+\frac{1}{2}$, permettant de borner le nombre de zéros d'une fonction holomorphe dans un certain domaine.

Références

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