Théorème de Frisch-Waugh

Le théorème de Frisch-Waugh ou théorème de Frisch-Waugh-Lovell est un théorème en économétrie nommé en référence à Ragnar Frisch, Frederick V. Waugh et Michael C. Lovell.

Formalisation

Soit le modèle de régression linéaire suivant :

$Y = X_{1} β_{1} + X_{2} β_{2} + u$

avec $X_{1}$ et $X_{2}$ deux matrices de taille $n \times k_{1}$ et $n \times k_{2}$ .

D'après le théorème de Frisch-Waugh, l'estimation du vecteur de coefficients $β_{2}$ sera la même que dans le modèle linéaire suivant :

$M_{X_{1}} Y = M_{X_{1}} X_{2} β_{2} + M_{X_{1}} u,$

avec $M_{X_{1}}$ la matrice de projection orthogonale sur le complément orthogonal de l'espace vectoriel engendré par les colonnes de $X_{1}$ :

$M_{X_{1}} = I - X_{1} ({X_{1}}^{'} X_{1})^{- 1} {X_{1}}^{'} .$