Orthant

Dans un espace de dimension 2, il y a 4 orthants (appelés quadrants)

En géométrie, un orthant est la généralisation dans un espace euclidien de dimension quelconque Modèle:Mvar du quadrant d'un plan ou de l'octant en dimension 3.

Un orthant en dimension Modèle:Mvar peut être considéré comme l'Intersection de Modèle:Mvar demi-espaces orthogonaux. Par permutation, il y a Modèle:Math orthants dans un espace de dimension Modèle:Mvar.

De façon spécifique, un orthant fermé dans ${ℝ}^n$ est le sous-ensemble défini par une contrainte de signe sur chaque coordonnée cartésienne. Ce sous-ensemble est défini par le système d'inéquations :

${\epsilon }_1{x}_1⩾0,{\epsilon }_2{x}_2⩾0,{\epsilon }_n{x}_n⩾0$

où chaque Modèle:Mvar a pour valeur +1 ou −1. L'orthant positif (resp. négatif) est celui que l'on obtient en prenant tous les Modèle:Math (resp. Modèle:Math); on le note souvent ${ℝ}_{+}^n$ (resp. ${ℝ}_{-}^n$).

Un orthant ouvert dans ${ℝ}^n$ est un sous-ensemble défini par le système d'inéquations strictes :

${\epsilon }_1{x}_1>0,{\epsilon }_2{x}_2>0,{\epsilon }_n{x}_n>0$

où chaque Modèle:Mvar a pour valeur +1 ou −1.

Par dimension:

1. En dimension 0, un orthant est un point
2. En dimension 1, un orthant est une demi-droite.
3. En dimension 2, un orthant est un quadrant.
4. En dimension 3, un orthant est un octant.