Lemme de Zabrejko

Le lemme de Zabrejko est un résultat de topologie datant de 1969. Le lemme permet de démontrer des théorèmes importants de l'analyse fonctionnelle : les théorèmes de Banach-Steinhaus, de Banach-Schauder et du graphe fermé.

Énoncé

Soit $(X,\Vert \Vert )$ un espace de Banach, et soit $p:X\to {ℝ}^{+}$ une semi-norme qui est conditionnellement sigma-sous-additive, c'est-à-dire :

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}_n\text{ converge }\Rightarrow p\left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}_n\right)⩽\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}p(x_n)⩽\mathrm{\infty }.$

Alors $p$ est continue, c'est-à-dire qu'il existe $M<\mathrm{\infty }$ tel que $\mathrm{\forall }x\in Xp(x)⩽M\Vert x\Vert$.